Ein zentrales Thema in der →Differentialrechnung ist das Tangentenproblem. Du wirst sehen, mit Hilfe von Grenzwerten und Steigungsberechnung ist es gar nicht so schwierig, damit umzugehen.

Beim Tangentenproblem geht es um die Frage, ob in einem bestimmten Punkt einer Kurve eine Tangente vorhanden ist und wie groß deren Steigung ist. Mittels Differenzenquotient und Differentialquotient kannst du diese sehr einfach berechnen.

Das Tangentenproblem

Die Aufgabe, die Tangente an die Bildkurve einer Funktion f(x) zu einem beliebigen Punkt P mit den Koordinaten x und f(x) zu legen, führt bei der Ermittlung der Steigung zu einem Quotienten besonderer Art, dem Differentialquotienten. Die Untersuchung der Eigenschaften des Differentialquotienten einer Funktion ist Gegenstand der Differentialrechnung. Als Voraussetzung dafür solltest du wissen, wie du die Steigung einer Geraden bildest.

Der Graph einer Funktion f verläuft zwischen den Punkten P₁und P₂verschieden steil. Über die →Steilheit des Graphen kannst du an einer bestimmten Stelle x₀zwischen P_x1und P_x2keine genaue Angabe machen. Es lässt sich lediglich eine mittlere Steilheit zwischen P₁und P₂angeben, die der Steigung der Geraden g durch diese Punkte entspricht. Der Graph wird sozusagen zwischen den Punkten P₁und P₂durch die Gerade linearisiert.

Wir suchen die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P₁. Dazu lassen wir den Summanden x immer kleiner werden, bis aus der Sekante eine Tangente wird. Der Wert von y bestimmt die Lage des Punktes P₂. Für x gleich Null fallen P₁und P₂zusammen.

Durch Null darfst du aber nicht teilen, somit musst du zumindest versuchen, so nahe wie möglich an den Nennwert Null heranzukommen – das heißt, du musst den Summanden x möglichst klein werden lassen. Er soll also gegen Null gehen, aber den Wert Null gerade nicht erreichen. Im Differentialquotienten geht dann der Wert für xgegen Null. Und es wird ein Grenzwert (Limes) gebildet.