Grundlegende Regel der Differentialrechnung

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach G. W. Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurück.

Eine Anwendung der Produktregel in der Integralrechnung ist die Methode der partiellen Integration. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Sind die Funktionen u und v von einem Intervall D in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle xa differenzierbar, so ist auch die Funktion für alle x ∈ D definierte Funktion f an dieser Stelle differenzierbar, und es gilt (uv)′ = u′v + uv′ 

Wann braucht man die Produktregel bei der Differentialrechnung?

Einfach formuliert: man braucht sie immer dann, wenn eine Funktion der Form „Term mit x mal Term mit x “ vorliegt (wenn die Variable x heißt). Es ist egal, welchen Faktor man als u(x) bzw. v(x) bezeichnet.Die Produktregel kann sukzessive auch auf mehrere Faktoren angewandt werden.

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen →Funktionen zurück.

Sind die Funktionen u(x) und v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x = xa mit v(xa) ≠ 0 differenzierbar, dann ist auch die Funktion an der Stelle xa differenzierbar.

Wann braucht man die Quotientenregel?

Die Verwendung dieser Ableitungsregel liegt nahe, wenn der Funktionsterm ein Bruch ist. Allerdings gibt es Beispiele gebrochener Funktionen, bei denen man durch geeignetes Umformen ohne Quotientenregel schneller ans Ziel gelangt.

Das besondere an der →Exponential-Funktion ist, dass die einfache E-Funktion f(x) = ex abgeleitet ebenfalls wieder ex ist. Dies bedeutet, dass f'(x) = ex ist. Die Funktion f(x) hat damit eine identische Steigung wie f'(x). In den meisten Fällen liegt jedoch nicht einfach nur e hoch x vor.

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Das kann man sich leicht merken. Schwieriger wird es jedoch, wenn nicht nur ein x im Exponenten steht. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.

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