Das uneigentliche Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Ein uneigentliches Integral kannst du als Erweiterung des Riemann-Integrals, des Lebesgue-Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstehen. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

Der Grund für das uneigentliche Integral ist

Es gibt zwei Gründe, warum man uneigentliche Integrale betrachtet. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von −∞ bis ∞

Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man uneigentliche Integrale erster Art. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularität haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

Du hast bereits bestimmte Integrale kennengelernt. Diese kannst du mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen. Dabei ist das Intervall abgeschlossen.

Bei einem uneigentlichen Integral sind

• entweder die obere Integrationsgrenze ∞ und / oder die untere −∞
• oder die Funktion an einer der Integrationsgrenzen ist nicht definiert.

Im folgenden Video zeige ich dir, wie du ein uneigentliche Integrale berechnen kannst. Das Vorgehen ist dabei jedes Mal gleich.

• Du ersetzt die Integrationsgrenze ±∞ beziehungsweise die, an welcher die Funktion nicht definiert ist, durch eine variable Grenze.
• Du erhältst so einen Flächeninhalt, welcher von dieser variablen Grenze abhängt.
• Zuletzt bildest du den Grenzwert entsprechend der Grenze, welcher substituiert wurde.

Rotationskörper werden in der Geometrie jene Körper genannt, dessen Oberfläche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden. Das Volumen und die Oberfläche kannst du mit den sogenannten Guldinschen Regeln errechnen. Wobei die Rotationsachse auch Figurenachse genannt wird. Die Kurve liegt dabei in einer Ebene und auch die Achse liegt in ebenderselben. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus. Diesen kannst du durch die Rotation eines Kreises bilden. Auch Kegel und Zylinder sind Rotationskörper. 

Volumensberechnung laut Guldinschen Regeln

Das Volumen und die Oberfläche kannst du also mit den sogenannten Guldinschen Regeln errechnen. Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner Profilfläche um seine Symmetrieachse. Während einer Drehung „erzeugt“ die Profilfläche das Volumen des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. 

Das kleine Flächenteilchen ∆A erzeugt das Ringvolumen ∆V = 2πx ∆A. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck Σ∆A x ist die Momentensumme aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse und damit gleich dem Moment A x0 der ganzen Profilfläche A.

Daraus ergibt sich die Guldinsche Regel für das Volumen:

Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Das Volumen eines Rotationskörpers ist somit gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises. Diesen kannst du durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugen.

Wie berechne ich die Oberfläche laut Guldin?

Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil beteiligt. 

Die kleine Teillänge ∆l erzeugt bei einer Drehung die Ring äche ∆A = 2πx ∆l. Die Summe aller Teilflächen ist die Mantelfläche A. Der Summenausdruck Σ∆l x ist die Momentensumme aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie l.

Daraus ergibt sich die Guldin’sche Oberflächenregel: 

Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Der Flächeninhalt A einer Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Schwerpunktes der Profillinie erzeugt wird.

Unter der Scheitelform oder Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion versteht man eine bestimmte Form einer quadratischen Gleichung. Aus dieser kann man den Scheitelpunkt der Funktion direkt ablesen.

Die Umwandlung von der allgemeinen Form zur Scheitelform erfolgt mit quadratischer Ergänzung. Die Umwandlung von der Scheitelform zur allgemeinen Form geschieht durch Auflösen der Klammer mit Hilfe der binomischen Formeln und Zusammenfassen des Terms.

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel. Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Statt vom tiefsten Punkt spricht man auch vom Minimum der Funktion.

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist identisch mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum), wenn sie nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist, kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Man kann die Parabelschablone auch zum Zeichnen von Parabeln verwenden, die keine Normalparabeln sind, wenn man das Koordinatensystem entsprechend skaliert.

Scheitelform und Scheitelpunkte

Scheitelpunkte, kurz Scheitel, sind in der Geometrie besondere Punkte auf Kurven. Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sind die Schnittpunkte der Kurve mit den Symmetrieachsen. Sie sind gleichzeitig die Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Der Scheitelpunkt einer aufrecht stehenden Parabel, die Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist, ist Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen. Durch die Lage des Scheitelpunkts und den Streckfaktor ist der Graph einer quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Die rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts ist somit ein wichtiges Hilfsmittel, um den Graph einer quadratischen Funktion zu zeichnen.

Allgemeiner bezeichnet man in der Differentialgeometrie einen Punkt auf einer regulären Kurve als Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder Minimum) besitzt. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über die Existenz und die Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven.

Die absolute Häufigkeit (auch Absoluthäufigkeit) gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt, sie gibt somit eine Anzahl an. Hingegen beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten an der Gesamtzahl der Versuche ist. 

Der Begriff Absoluthäufigkeit ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Sie ist ein Maß der deskriptiven Statistik und soll sich vom Begriff der relativen abgrenzen. Die absolute Häufigkeit ist das Ergebnis einer einfachen Zählung von Objekten oder Ereignissen (besser Elementarereignissen). Sie gibt an, wie viele Elemente mit dem gleichen interessierenden Merkmal gezählt wurden.

Als Anzahl kann sie nur eine natürliche Zahl sein und auch nicht negativ werden. Wegen ihres festen Nullpunkts und der festen ganzzahligen Einheiten ist sie eine Absolutskala. Das heißt, ihr Nullpunkt und die Größe der Einheiten kann nicht sinnvoll verändert werden. Im Gegensatz zur relativen sind die Werte der absoluten also absolut, sprich unveränderlich. Ihr Wertebereich geht von 0 bis Unendlich.

Für den Vergleich von Teilmengen unterschiedlich großer Grundmengen eignet sich hingegen die absolute Häufigkeit nicht. Die Höhe der absoluten Häufigkeiten hängt vom Umfang der betrachteten Grundmenge ab, was diesen Vergleich unsinnig macht. Für einen solchen Vergleich verwendet man deshalb ein normiertes Maß, die relative Häufigkeit.

Wie berechne ich die Häufigkeit?

Relative Häufigkeiten berechnest du bezüglich einer zugrundeliegenden Menge. Diese Menge kann sowohl eine Grundgesamtheit als auch eine Stichprobe sein. Um die relative Häufigkeit zu definieren, nehmen wir an, dass die zugrundeliegende Menge n Elemente aufweist. Unter diesen Elementen tritt H_n(A)-mal das Ereignis A auf. Die relative Häufigkeit kannst du berechnen, indem du die Anzahl der Beobachtungen mit dem Merkmal A durch die Gesamtzahl aller Elemente in der zugrundeliegenden Menge dividierst.

Die relative Häufigkeit berechnest du, indem du die Absoluthäufigkeit eines Merkmals in einer zugrundeliegenden Menge durch die Anzahl der Objekte in dieser Menge teilst. Dadurch erkennst du, dass sie eine Bruchzahl ist und einen Wert zwischen 0 und 1 hat. Du kannst sie somit als Prozentwert angeben

Von Seilreibung spricht man, wenn ein biegeweiches Seil um einen meist runden Gegenstand geschlungen wird und an den zwei Seilenden Kräfte wirken. Aufgrund der Seilreibung ist dabei eine der beiden Kräfte geringer als die andere, ohne dass es zur Bewegung des Seils kommt. Dieser Effekt der Seilreibung wird zum Beispiel beim Befestigen eines Schiffs an einem Poller ausgenutzt. Ein Schiff kann so mit relativ kleiner Kraft festgehalten werden.

Der Hauptgrund für die Entstehung von Seilreibung sind tangentiale Haftreibungskräfte an jenen Stellen, wo das Seil die Flächen des umschlungenen Körpers berührt. Stell dir ein dünnes Seil vor, welches du um einen fest stehenden zylindrischen Körper (Band, Faden) legst. Beide Seilenden belastest du mit Gewichten gleicher Masse m. Das Seil befindet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand). 

Daran ändert sich auch dann nichts, wenn du eines der beiden Seilenden durch mehr Gewichte der Masse ∆m zusätzlich belastest und dies bis kurz vor den Rutschvorgang weitermachst. Ursache dafür ist die zwischen Seil und Mantelfläche des Zylinders wirkende Seilreibungskraft FR. Sie ist die Summe jener kleinen Reibungskräfte ∆FR = μ ∆FN, die verteilt auf der ganzen umspannten Mantelfläche wirken: FR = Σ∆FR. 

Wie berechne ich Seilreibung?

Eine Berechnungsgleichung für die größere Seilzugkraft F1 findest du wegen der verschieden großen Teil-Reibungskräfte ∆FR nur mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung. Dies haben jedoch bereits s chlaue Köpfe für uns getan, zuerst Euler getan, später auch Eytelwein, nach dem auch heute noch die Gleichung F1 = F2 eμα benannt wird. 

Die Eitelwein´sche Gleichung bestätigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft F1 wächst (linear) mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft F2 und (exponential) mit dem Produkt aus Reibungszahl μ und Umschlingungswinkel α. 

Der Umschlingungswinkel α muss mit der Einheit rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung, wenn der Winkel in Grad vorliegt. 

Häufig wird die Anzahl der Umschlingungen (Windungen) angegeben, z. B. zwei volle Windungen.

Bei allen Seilreibungsaufgaben liegt ein Seil um einen Zylinder (System Zylinder/Seil). Zum Verständnis einer Aufgabe versetzt man sich gedanklich als „Zuseher“ auf den Zylinder und versucht von dort aus, den Richtungssinn der Seilreibungskraft FR zu bestimmen. Es ist dann gleichgültig, ob der Zylinder fest steht oder ob er sich um seine Achse dreht. 

Hast du den Richtungssinn der Seilreibungskraft FR gefunden, weißt du auch, welche der beiden Zugkräfte an den Seilenden die größere Seilkraft F1 ist. Sie ist immer der Seilreibungskraft FR entgegen gerichtet. 

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Für mich war es immer das Wichtigste, bei Vorbereitungen auf Tests und Schularbeiten so früh wie möglich den Stoff zu kennen. Dadurch konnte ich mich auf eine entspannte Schularbeit vorbereiten. Mein Ziel war es, mich immer rechtzeitig auf die Klausuren vorzubereiten. Klingt fasst so, als ob ich ein Streber war, naja, ein bisschen vielleicht. Aber ich habe oft genug erlebt, dass viele meiner Mitschüler und Kommilitonen oft erst einen Tag vor der anstehenden Prüfung oder Arbeit angefangen haben zu lernen. Und musste feststellen, dass dies nach sehr viel Stress aussah. Und ja ich muss zugeben, dass ich damals als jugendlicher Schüler auch nicht anders war. Da wurden auf dem Schulweg im Bus noch schnell die Englisch-Vokabeln für den fälligen Test gepaukt und in der Pause vor dem Chemie Unterricht versuchte ich noch die Härtetabelle auswendig zu lernen.

Heute weiß ich es aber besser und hätte mir damals sehr viel Stress ersparen können.

Vor allem für Schulfächer wie Mathematik und Mechanik, in denen viel gerechnet wird, braucht man einfach viel Übung. Ein Sportler der für seinen Sport nicht genügend trainiert, kann niemals gut oder sehr gut werden. Genauso wie im Sport, ist es auch in der Mathematik wichtig, durch häufiges Üben zu einer Automatisierung der Abläufe zu kommen. Somit braucht man während einer Prüfung nicht viel über einzelne Rechenschritte nachzudenken. Daraus ergibt sich der wohl wichtigste Tipp für eine erfolgreiche Schularbeit oder Prüfung 

Üben, Üben und nochmals Üben…

Meine weiteren Tipps für eine entspannte Schularbeit

1. Du solltest den Schularbeiten-Stoff kennen. Klingt jetzt vielleicht etwas verrückt. Aber es ist doch schon vorgekommen, dass Schüler die falschen Themen vorbereitet haben oder komplett unnotwendige Kapitel durchlernten. Informiere dich also bestens über den anstehenden Lernstoff.
2. Erstelle dir zum Lernen einen realistischen Zeitplan. Vor allem für Schularbeiten in Mathematik und Mechanik solltest du wenigstens eine Woche für intensive Vorbereitung einplanen. Alles auf einmal zu wiederholen wird sich zeitlich nur schwer durchführen lassen. Und du hast ja auch noch ein Leben neben dem Lernen. Teile den Stoff in inhaltliche und zeitliche Blöcke auf. Überlege dir genau, wieviele Stunden dir am Tag für die Vorbereitung zur Verfügung stehen, ohne dass du andere Fächer vernachlässigen musst. Plane Pausen für dich ein, aber konzentriere dich während des Lernens wirklich nur auf das Lernen – ohne Ablenkung wie Smartphone (ja auch Chatten ist eine Ablenkung), Fernsehen usw.
3. Finde deine beste Lernzeit und deinen Lernort. Überlege dir, wann und wo du am leichtesten lernst. Nachmittags oder abends? Zuhause oder in der Schule? Finde heraus, ob du lieber in entspannter Ruhe oder mit leiser Hintergrundmusik lernst und den Lernstoff am leichtesten aufnehmen und wiedergeben kannst. Wenn du die optimale Zeit und den besten Ort für dich einmal gefunden hast, kannst du dies danach immer wieder anwenden, um dir das Lernen zu erleichtern. Ein erfahrener Nachhilfelehrer könnte dich dabei sogar unterstützen, die für dich besten Lernstrategien zu finden.
4. Beim Lernen ist es sehr wichtig, dir das Wissen nicht nur anzueignen, sondern auch zu trainieren, es abzurufen und wiederzugeben. Denn genau das tust du ja bei einer Schularbeit. Deswegen ist es besonders wichtig so viele Beispiele durchzurechnen, wie es während deiner Vorbereitung eben möglich ist. Denn auch deine Schularbeit ist ein Aufbau vieler Rechenbeispiele, die du in einer gewissen Zeit fertig haben solltest.
5. Während der Vorbereitung auf die Schularbeit soll auch der sicheren Umgang mit deinem Taschenrechner, Geodreieck und deinem Zirkel Teil des Lernens sein. Und auch hier kommt der sichere Umgang nur durch das häufige Üben. Es soll ja Schüler geben, die den Lehrer während der Schularbeit fragen, wie der Taschenrechner überhaupt einzuschalten ist. Du gehörst hoffentlich nicht dazu??!
6. Vergiss auch nicht dein Werkzeug, welches du für die Schularbeit benötigst, dir am Tag vor der Schularbeit in einem einwandfreien Zustand zurecht zu legen. Während der Schularbeit solltest du keine kostbare Zeit dadurch verschwenden, dass du Bleistift spitzen, Mine tauschen, Radiergummi suchen, Zirkelspitze festdrehen, Formelsammlung vom Sitznachbar spicken oder ähnliches machen musst.

Also, sei Vorbereitet und lerne rechtzeitig. Dann klappt es auch mit einer für dich positiven Note und du erlebst eine entspannte Schularbeit. 

Ich wünsche dir viel Erfolg bei deiner nächsten Schularbeit.