Die Guldinschen Regeln für Volumen und Oberfläche

Rotationskörper werden in der Geometrie jene Körper genannt, dessen Oberfläche durch Rotation einer erzeugenden Kurve um eine Rotationsachse gebildet werden. Das Volumen und die Oberfläche kannst du mit den sogenannten Guldinschen Regeln errechnen. Wobei die Rotationsachse auch Figurenachse genannt wird. Die Kurve liegt dabei in einer Ebene und auch die Achse liegt in ebenderselben. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus. Diesen kannst du durch die Rotation eines Kreises bilden. Auch Kegel und Zylinder sind Rotationskörper. 

Volumensberechnung laut Guldinschen Regeln

Das Volumen und die Oberfläche kannst du also mit den sogenannten Guldinschen Regeln errechnen. Ein Rotationskörper entsteht durch Drehung seiner Profilfläche um seine Symmetrieachse. Während einer Drehung „erzeugt“ die Profilfläche das Volumen des Körpers. Man kann sich vorstellen, dass jedes Flächenteilchen an der Erzeugung mit einem bestimmten Anteil beteiligt ist. 

Das kleine Flächenteilchen ∆A erzeugt das Ringvolumen ∆V = 2πx ∆A. Die Summe aller Teilvolumen ist das Gesamtvolumen V. Der Summenausdruck Σ∆A x ist die Momentensumme aller Teilflächen, bezogen auf die Drehachse und damit gleich dem Moment A x0 der ganzen Profilfläche A.

Daraus ergibt sich die Guldinsche Regel für das Volumen:

Das Volumen eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Profilfläche und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Das Volumen eines Rotationskörpers ist somit gleich dem Produkt aus dem Flächeninhalt der erzeugenden Fläche und dem Umfang des Kreises. Diesen kannst du durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugen.

Wie berechne ich die Oberfläche laut Guldin?

Oberflächen oder Mantelflächen von Rotationskörpern entstehen durch Drehung ihrer Profillinie um die Symmetrieachse. Dabei ist jedes Längenteilchen der Profillinie mit einem bestimmten Flächenanteil beteiligt. 

Die kleine Teillänge ∆l erzeugt bei einer Drehung die Ring äche ∆A = 2πx ∆l. Die Summe aller Teilflächen ist die Mantelfläche A. Der Summenausdruck Σ∆l x ist die Momentensumme aller Teillängen, bezogen auf die Drehachse und damit gleich dem Moment der ganzen Profillinie l.

Daraus ergibt sich die Guldin’sche Oberflächenregel: 

Die Oberfläche (Mantelfläche) eines Rotationskörpers ist das Produkt aus der Länge der Profillinie und ihrem Schwerpunktsweg bei einer Umdrehung. Der Flächeninhalt A einer Mantelfläche eines Rotationskörpers, dessen Rotationsachse die erzeugende Linie nicht schneidet, ist gleich dem Produkt aus der Länge der erzeugenden Linie (Profillinie) und dem Umfang des Kreises (Schwerpunktkreis), der durch die Rotation des Schwerpunktes der Profillinie erzeugt wird.

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