Gleichungen – Wie löse ich diese mathematisch korrekt?

Mathematische Gleichungen sind mit einer Waage, die im Gleichgewicht ist, verglichen werden. Wenn du auf beiden Seiten der Waage das gleiche Gewicht dazugibst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Auch wenn du auf beiden Seiten der Waage die Gewichte verdoppelst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Wichtig ist, dass du auf beiden Seiten das Gleiche machst, sonst ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht.

Beim Lösen von mathematischen Gleichungen sollen auch immer auf beiden Seite des Gleichheitszeichens die gleichen Rechenschritte passieren.

Was sind Gleichungen?

Eine Gleichung mit einer Variablen (Unbekannten) ist eine Behauptung der Form Linke Seite = Rechte Seite. Wobei Linke Seite und Rechte Seite Terme darstellen, die von der Variable abhängen. Dabei steht die Variable für ein beliebiges Element einer Grundmenge G, die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein sollte. Ist die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so kannst du üblicherweise annehmen, daß sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist.

Eine Gleichung bleibt dabei wahr, wenn du beide Seiten (rechte Seite und linke Seite vom Gleichheitszeichen) miteinander vertauscht. werden. Auch wenn du beide Seiten der Gleichung entweder mit der gleichen Zahl addierst oder subtrahierst, bleibt sie gleich. Oder auch beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizierst oder durch die gleiche Zahl dividierst (bei einer Divsion darf die Zahl jedoch nicht Null sein).

Wie löse ich eine Gleichung?

Eine Gleichung lösen heißt, jenen Zahlenwert für die angegebene →Gleichungsvariable (a, b, x, y …) suchen, der die Gleichung erfüllt. Also jenen Wert errechnen, den du dann bei einer Probe statt der Variable in die Gleichung einsetzen kannst und die Gleichung eine wahre Aussage darstellt.

Wichtig dabei ist, dass du jeweils beide Seiten der Gleichung mit dem jeweiligen Rechenschritt bearbeitest. Also wenn du zum Beispiel die rechte Seite der Gleichung mit 2 multiplizierts, musst du auch die gesamte linke Seite mit 2 multiplizieren.

Die →Lösung der Gleichung ist ein Element x ∈ G, für welches die Behauptung Linke Seite = Rechte Seite eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und ist üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.

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