Kugel – Berechnung der Oberfläche und Volumen

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere von Kugeln. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugeln bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Kugeln besitzen unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner sind Kugeln drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Was ist eine Kugel?

Kugeln besitzen weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten. In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit Radius r an jedem Punkt der Oberfläche die gaußsche Krümmung. Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene abgebildet werden kann.

Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel (Geodäte) liegt auf einem Großkreis, also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.

Kugeln haben die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf. Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugeln die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie sind. Mathematische Kugeln sind eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Kugeln kannst du auch als Rotationskörper aufgefassen. Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid.

Zylinder – Oberfläche und Volumen eines Drehzylinders

In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemein als eine ebene Kurve in einer Ebene. Vor allem dann, wenn entlang einer Gerade, die nicht in der Ebene enthalten ist, diese um eine feste Strecke verschoben wird. Je zwei sich entsprechenden Punkte der Kurven und der verschobenen Kurve werden durch eine Strecke verbunden. Die Gesamtheit dieser parallelen Strecken bildet die zugehörige Zylinder-Fläche. Die Kurve nennt man Leitkurve. Eine auf dem Zylinder liegende Gerade heißt Erzeugende oder Mantellinie.

Ist die Kurve ein Kreis, entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Falls a→⊥Ebene ist, ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder. Ist die Kurve eine geschlossene Kurve, kann man die Mantelfläche mit den beiden Begrenzungsflächen wieder als Oberfläche eines Körpers auffassen. Ist die Kurve nicht geschlossen, z. B. ein Parabelbogen, so ist der Zylinder nur die oben erklärte Mantelfläche, die allerdings Teil einer Oberfläche eines Körpers sein kann.

Die geometrische Besonderheit einer Zylinderfläche besteht in der folgenden Tatsache:

  • Eine Zylinderfläche enthält Geraden, sie ist eine Regelfläche, und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden.
  • Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderfläche für die Herstellung von Blechverkleidungen interessant.
  • Ist die erzeugende Kurve ein Polygon, so spricht man von einem Prisma.

Was ist ein Zylinder?

Ein Zylinder ist im einfachsten Fall eine Fläche, deren Punkte von einer festen Gerade, der Achse, denselben Abstand r haben. Da solch eine Fläche unendlich ausgedehnt ist, beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz h.

Sind die Schnittebenen senkrecht zur Achse, entsteht ein senkrechter (oder gerader) Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h. Die so beschnittene Fläche nennt man Mantelfläche des Zylinders, die Schnittflächen senkrecht zur Achse kannst du jeweils als Grundfläche bezeichnen.

Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Strecke um die (parallele) Zylinderachse erzeugt denken kann, wird er auch Drehzylinder genannt. Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende.

In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Schnittkreisflächen eingeschlossen wird.

Was ist ein Baumdiagramm?

Das Baumdiagramm wird verwendet, um den möglichen Ablauf eines mehrstufigen Zufallsexperiments mit endlich vielen möglichen Ergebnissen in seiner komplexen Struktur zu erfassen, darstellen und analysieren. Zudem ist es damit möglich, auf Grundlage der ersten und zweiten Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten für atomare und zusammengesetzte Ereignisse eines solchen Experiments in einfacher Weise zu berechnen.

Um beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten einen guten Überblick zu behalten, legen wir sogenannte Baumdiagramme an. Aus einem Baumdiagramm kannst du die unterschiedlichen Ausgänge, und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, eines Zufallsexperimentes ablesen. Der große Vorteil solcher Baumdiagramme ist, dass du auch mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen kannst.

Wie verwende ich das Baumdiagramm?

Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente eingesetzt.

Dabei verzweigt sich ein stilisierter Baum auf jeder Stufe des Zufallsexperiments in Äste, die den möglichen Ergebnissen bzw. Ereignissen der entsprechenden Stufe des Zufallsexperiments entsprechen, wobei die Verzweigungsstelle mit den entsprechenden Ergebnissen bzw. Ereignissen beschriftet wird. Baumdiagramme werden häufig von links nach rechts, aber nicht selten auch von oben nach unten gezeichnet.

Das Baumdiagramm verwendet man in der Stochastik zur Darstellung möglicher Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten. Mit einem Baumdiagramm kann man unter anderem die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Versuchsausgänge in einfacher Weise bestimmen.

Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.

Das Baumdiagramm dient dazu Zufallsexperimente übersichtlich darzustellen. Dies macht insbesondere dann sind, wenn das Zufallsexperiment aus mehreren Stufen besteht. Wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmter Pfad oder mehrere Pfade eintreten, berechnet man mit den Pfadregeln.

Die Pfadwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein solches Ergebnis eintritt. Um die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperimentes zu berechnen, ermittelst du die zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Produktregel

Für die Berechnung der oben genannten Wahrscheinlichkeiten gelten zwei Pfadregeln.

Erste Pfadregel (Produktregel):

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines atomaren Ereignisses gleich seiner Pfadwahrscheinlichkeit, d.h. gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis im Baumdiagramm entspricht.

Zweite Pfadregel(Summenregel):

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines (zusammengesetzten) Ereignisses gleich der Summen der Wahrscheinlichkeiten aller der Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen.

Der Satz von Bayes

Der Satz von Bayes ermöglicht es, die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen, falls eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten bereits bekannt ist. Dieser mathematische Satz ist auch unter den Namen Formel von Bayes oder Bayes Theorem bekannt.

Für zwei Ereignisse A und B mit P(B) größer 0 lässt sich die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, berechnen. Dies geschieht durch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, mit dem Satz von Bayes.

P(A|B)= P(B|A)*P(A) / P(B)

Hierbei ist P(A|B) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, P(B∣A) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, P(A) die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A und P(B) die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Satz von Bayes

Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen. Man geht von einem bekannten Wert P(B∣A) aus, ist aber eigentlich an dem Wert P(A∣B) interessiert. Beispielsweise ist es von Interesse, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand eine bestimmte Krankheit hat, wenn ein dafür entwickelter Schnelltest ein positives Ergebnis zeigt. Aus empirischen Studien kennt man in der Regel die Wahrscheinlichkeit dafür, mit der der Test bei einer von dieser Krankheit befallenen Person zu einem positiven Ergebnis führt.

Die gewünschte Umrechnung ist nur dann möglich, wenn man die Prävalenz der Krankheit kennt, das heißt die (absolute) Wahrscheinlichkeit, mit der die betreffende Krankheit in der Gesamtpopulation auftritt.

Für das Verständnis kann ein Entscheidungsbaum oder eine Vierfeldertafel helfen. Das Verfahren ist auch als Rückwärtsinduktion bekannt.

Mitunter begegnet man dem Fehlschluss, direkt von P(B∣A) auf P(A∣B) schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) zu berücksichtigen. Beispielsweise indem angenommen wird, die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten müssten ungefähr gleich groß sein. Wie der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur dann der Fall, wenn auch P(A) und P(B) ungefähr gleich groß sind.

Ebenso ist zu beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten für sich allein nicht dazu geeignet sind, eine bestimmte Kausalbeziehung nachzuweisen.

Varianz und Standardabweichung in der Statistik

Die Varianz ist ein Streuungsmaß, welches die Verteilung von Werten um den Mittelwert kennzeichnet. Berechnen kannst du diese, indem du die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom arithmetischen Mittel durch die Anzahl der Messwerte dividierst. Außerdem ist diese ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt. Mathematisch kann man sie als die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert definieren. 

Die Varianz kann man physikalisch als Trägheitsmoment interpretieren. Des Weiteren ist sie das Quadrat der Standardabweichung, des wichtigsten Streuungsmaßes in der Stochastik. Die Varianz kann mit einem Varianzschätzer, z. B. der Stichprobenvarianz, geschätzt werden.

Eigenschaften der Varianz

Zu den Eigenschaften der Varianz gehören, dass sie niemals negativ ist und sich bei Verschiebung der Verteilung nicht ändert. Die Varianz einer Summe unkorrelierter Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen. Ein Nachteil der Varianzen für praktische Anwendungen ist, dass sie im Unterschied zur Standardabweichung eine andere Einheit als die Zufallsvariable besitzen. Da sie über ein →Integral definiert wird, existiert sie nicht für alle Verteilungen, d. h., sie kann auch unendlich sein.

Eine Verallgemeinerung ist die Kovarianz. Im Unterschied zur Varianz, die die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, ist die Kovarianz ein Maß für die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Aus dieser Definition folgt, dass die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst gleich der Varianz dieser →Zufallsvariablen ist.

Was sagt die empirische Standardabweichung aus?

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals rund um dessen Mittelwert (arithmetisches Mittel). Vereinfacht gesagt, ist die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt.

Sie gehört zu den Streuungsmaßen und beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Messwerte vom empirischen Mittelwert. Sie stellt damit eine Art durchschnittliches Abweichungsquadrat dar. Die positive Wurzel der empirischen Varianz ist die empirische Standardabweichung. Verwende die Standardabweichung, um die Streubreite der Daten um den Mittelwert zu ermitteln. Ein höherer Wert der Standardabweichung verweist auf eine größere Streubreite der Daten.

 

Was ist die Statistik?

Statistik wird einerseits als eigenständige mathematische Disziplin über das Sammeln, die Analyse, die Interpretation oder Präsentation von Daten betrachtet. Andererseits als Teilgebiet der Mathematik, insbesondere der Stochastik, angesehen. Dabei kannst du die Statistik auch als Lehre von Methoden zum Umgang mit quantitativen Informationen (Daten) verstehen. Unter anderem macht sie es möglich eine systematische Verbindung zwischen Erfahrung (Empirie) und Theorie herzustellen. Darunter versteht man auch die Zusammenfassung bestimmter Methoden zur Analyse empirischer Daten. Ein alter Ausdruck dafür war Sammelforschung.

Die Statistik wird in die folgenden drei Teilbereiche eingeteilt

  1. Die deskriptive Statistik (auch beschreibende oder empirische). Vorliegende Daten werden in geeigneter Weise beschrieben, aufbereitet und zusammengefasst. Mit ihren Methoden verdichtet man quantitative Daten zu Tabellen, graphischen Darstellungen und Kennzahlen.
  2. Die induktive Statistik (auch mathematische, schließende, beurteilende oder Inferenzstatistik). Bei der induktiven Art leitet man aus den Daten einer Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit ab. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Grundlagen für die erforderlichen Schätz- und Testverfahren.
  3. Die explorative Statistik (auch hypothesen-generierende, analytische oder Data-Mining). Dies ist methodisch eine Zwischenform der beiden vorgenannten Teilbereiche, bekommt als Anwendungsform jedoch zunehmend eine eigenständige Bedeutung. Mittels deskriptiver Verfahren und induktiver Testmethoden sucht sie systematisch mögliche Zusammenhänge (oder Unterschiede) zwischen Daten in vorhandenen Datenbeständen und will sie zugleich in ihrer Stärke und Ergebnissicherheit bewerten. Die so gefundenen Ergebnisse lassen sich als Hypothesen verstehen, die erst, nachdem darauf aufbauende, induktive Testverfahren mit entsprechenden (prospektiven) Versuchsplanungen sie bestätigen, als statistisch gesichert gelten können.

Der Unterschied zwischen deskriptiver und explorativer Methode wird auch an den Fragestellungen deutlich. Bei der deskriptive Statistik kannst du dich fragen, wie man eine Verteilung eines Merkmals beschreiben kann. Bei der explorative Statistik fragst du dich, was an einer Verteilung eines Merkmals bemerkenswert oder ungewöhnlich ist.

Vor allem benötigen wir die Statistik, um informierte, das heißt, richtige oder bessere Entscheidungen für Probleme treffen zu können. Diese beziehen sich nicht auf Einzelfälle, sondern auf Gesamtheiten oder Massenerscheinungen. Oder von denen ganze Bevölkerungen beziehungsweise Populationen betroffen sind.

Die wichtigsten Diagrammtypen:

  • Säulendiagramm. Das Säulendiagramm ist die am häufigsten verwendete und einfachste Diagrammart
  • Balkendiagramm
  • Additives Diagramm
  • Kurvendiagramm
  • Flächendiagramm
  • Kreisdiagramm
  • Verbunddiagramm
  • Netzdiagramm.

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