Eine Zahlenfolge ist eine Vorschrift, die jeder eine zuordnet. Zahlenfolgen werden in der Mathematik oft zusammen mit Reihen behandelt.

Im Zusammenhang mit Folgen wird oft die Monotonie untersucht. Hier stellt man sich die Frage, ob die einzelnen Folgeglieder wertmäßig steigen oder fallen. Eine Folge ist monoton steigend / wachsend, wenn jedes Element mindestens genauso groß wie das vorangehende Element ist.

Arithmetische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a1 bezeichnet das erste Glied.

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge: 3, 8, 13, 18, 23, …

Was sind geometrische Folgen?  

Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Eine Folge heißt also geometrisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden Folgeglied durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht.

Eine rekursive Folge ist eine Folge bei der die Bildungsvorschrift vom n-ten Glied vom Vorgängerglied abhängt.

Wenn man hier wissen will, was das achte Glied ist, muss man also das siebente Glied kennen. Für dieses jedoch braucht man das sechste Glied. Das 6. Glied bekommt man aber nur, wenn man das fünfte kennt – so geht es immer weiter.

Man geht also solange rückwärts, bis man beim ersten Glied angekommen ist.

Häufig ist es auch möglich eine rekursive Bildungsvorschrift in eine explizite umzuschreiben und umgekehrt. Explizite Bildungsvorschriften sind dabei die “ganz normalen” Vorschriften.

Um von einer rekursiven auf die explizite Darstellung zu kommen, gehst du wie immer beim Finden der Bildungsvorschrift vor und versuchst erstmal eine Gesetzmäßigkeit zu finden.

Das bekommt man meist gut hin, indem man die ersten Glieder versucht in Abhängigkeit zum ersten zu schreiben.

Man sagt, eine Folge alterniert, wenn sich die Vorzeichen der einzelnen Folgeglieder immer wieder (bis ins Unendliche) ändern, d.h. von “plus” zu “minus” und umgekehrt.

Manchmal wird auch von einer alternierenden Folge gesprochen, wenn die Funktion stets zwischen steigender und fallender Monotonie wechselt. Diese eher unübliche Verallgemeinerung wird weiter unten besprochen.

Reibung ist die Hemmung von Bewegung. Zu unterscheiden ist hierbei zwischen der Haftreibung, bei der keine Bewegung der Körper zueinander stattfindet und der Gleitreibung, bei der sich die Oberflächen relativ zueinander bewegen.

Gleitreibung tritt auf, wenn ein Körper durch eine Kraft gegen einen anderen Körper gedrückt wird und der eine Körper relativ zu dem anderen Körper gleitet. Die sogenannte Gleitreibungskraft entsteht dadurch, dass die Oberflächen der Materialien mit dem Mikroskop betrachtet niemals vollkommen glatt, sondern etwas rauh sind. Dadurch „verhaken“ sich die Teilchen an den beiden Oberflächen miteinander. Dies zeigt sich dann makroskopisch als Kraft, die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. 

Wenn ein Körper mit seiner Gewichtskraft F_G = Normalkraft F_N  auf eine horizontale Gleitfläche drückt und durch die Kraft F mit gleich bleibender Geschwindigkeit v bewegt wird. Muss er beim Verschieben die Gleitreibungskraft überwinden. Sie wirkt immer tangential in der Berührungsfläche. 

Den Richtungssinn Reibung findest du aus folgender Überlegung: 

Die Reibungskraft versucht, den schnelleren Körper zu verzögern, den langsameren (oder stillstehenden) dagegen zu beschleunigen. Ruhen beide Körper, bestimmt der zu erwartende Bewegungszustand den Richtungssinn der Reibungskraft. 

Der →Kräfteplan zeigt die vier miteinander im Gleichgewicht stehenden Kräfte. Du siehst, dass mit zunehmender Reibungskraft F_R der Winkel ρ zwischen Normalkraft F_N und einer Ersatzkraft F_e größer wird und dass die Reibungskraft der Tangensfunktion dieses Winkels proportional ist. Man nennt ihn den Reibungswinkel ρ. Seine Tangensfunktion wird als Reibungszahl μ bezeichnet. 

Gleitreibung liegt vor, wenn zwei Körper aufeinander gleiten. Ein Beispiel: Ziehen wir an dem Klotz so stark, dass er sich bewegt, liegt anschließend ein gleiten der beiden Körper vor. Die Geschwindigkeit ist somit ungleich Null. Die Gleitreibung ist dabei geringer als die Haftreibung.

Die Reibungskraft ist proportional zur Gewichtskraft eines Körpers und unabhängig von der Größe der Auflagefläche.

Arten der Reibung

• Haftreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen haftet, die Körper also relativ zueinander in Ruhe sind.
• Gleitreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen gleitet, die Körper also relativ zueinander in Bewegung sind.
• Rollreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen abrollt.

Der Reibungskoeffizient, auch Reibungszahl genannt (Formelzeichen µ oder f), ist eine Größe der Dimension Zahl für das Verhältnis der Reibungskraft zur Anpresskraft zwischen zwei Körpern.

Wann beginnt ein Körper auf einer schiefen Ebene zu rutschen?

Ist die Hangabtriebskraft groß genug, um die zwischen Körper und schiefer Ebene wirkende Reibungskraft zu überwinden, so beginnt der Körper zu gleiten. Schlittenfahren auf einer schiefen Ebene. Je länger also die schiefe Ebene ist, desto kleiner ist die entlang der Ebene wirkende Hangabtriebskraft.

Der Tangens ist die dritte und letzte Winkelfunktion, die wir bearbeiten. Er beschreibt das Verhältnis zwischen einem Winkel, der Ankathete und der Gegenkathete des Winkels. Dieser gibt das Verhältnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck an. Ein Verhältnis entspricht in der Mathematik dem Quotienten zweier Größen.

Um die Größe des Winkels α zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete bestimmen. Also teilt man die Gegenkathete durch die Ankathete und setzt das Ergebnis in die Umkehrfunktion von Tangens ein. Man kann leicht einsehen, dass tan(0°) = 0 ist und dass tan(α) über alle Grenzen geht, wenn alpha sich 90° nähert. Das heißt, dass tan(90°) nicht definiert ist. Die Stelle α = 90° ist eine Polstelle. Weiter ist zu vermuten, dass die Tangenswerte stetig mit zunehmendem Winkel monoton steigen.

Was ist die Umkehrfunktion des Tangens?

Die Funktionen Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens (gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen sin^-1 | cos^-1 | tan^-1 ) sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens, das heißt sie ordnen einem Verhältnis einen Winkel zu. Tangens und Kotangens sind →trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangenswert des Winkels α wird mit tan α bezeichnet, der Kotangens des Winkels α mit cot α und liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen.

Jede lineare Funktion besitzt als →Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels α zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung m (oder auch k) der Geraden, das heißt m = tan α. Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels α das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete

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Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie du dich bestens für das Mathe-Abitur vorbereiten kannst. Korrigierte Abitur Prüfungen aus vergangenen Jahren durchrechnen, der „Mathe Hefter“ und individuelle Mathematik Hilfe durch Privaten Nachhilfeunterricht können den Unterschied für dich bei der anstehenden Klausur ausmachen. 

Mathe Hefter und korrigierte Prüfungen

Der Mathe Hefter ist ein System, das überraschend gut funktioniert. Schreibe selbstständig Seiten mit Wiederholungen und Aufgaben und ordne sie dann nach Stoff oder Kapitel in einen Hefter ein. Somit hast du eine gute Sammlung an Aufgaben, die du immer wieder durcharbeiten kannst.

Wenn du mit korrigierten Abi-Prüfungen aus den vergangen Jahren arbeitest, ist es ganz wichtig, dass die alten Mathe-Abitur Prüfungen eine Lösung enthalten. Dies ist die einzige Möglichkeit für dich, deine Rechenergebnisse zu überprüfen. Ohne Lösungen kannst du dein aktuelles Niveau nicht richtig einschätzen und eventuelle Fehler verstehen. Wenn du Aufgaben aus vergangenen Abiturjahrgängen bearbeitest, wirst du auch besser einschätzen können, was dich bei der Matura erwartet.

Privater Mathe-Nachhilfeunterricht für das Mathe-Abitur

Der private Mathematik Unterricht ist eine exzellente Alternative, um dich auf das Mathe-Abitur vorzubereiten. Der Lehrer oder die Lehrerin (z.B. Student/in oder Schüler/in, ehemalige/r Mathelehrer/in usw.) sind für dich jederzeit zur Stelle, um dich bei Fragen und bei Schwachpunkten zu unterstützen.

So werden dir schnell deine Fehler aufgezeigt und gleichzeitig wird dir der Stoff auf persönliche Art und Weise vermittelt, was dir dabei hilft, ihn besser zu verinnerlichen. Dabei wirst du anders als das häufig in der Schule der Fall sein kann, nicht von dieser Person kontrolliert oder überwacht. Vielmehr kannst du auf Augenhöhe über deinen aktuellen Leistungsstand sprechen.

Eine sehr gute Alternative, um mit der Hilfe eines Experten Mathe zu lernen, der gleichzeitig noch deine Motivation steigern kann. Und wenn du zeitlich oder örtlich etwas mehr Flexibilität benötigst, ist auch eine →Online Nachhilfe eine interessante Alternative für dich.

Wie Du das Mathe-Abitur vorhersehen kannst?

Damit du den ganzen Stoff des Mathe-Abiturs vorab noch einmal komplett wiederholen kannst, brauchst du viel Zeit. Dies erfordert natürlich viel Organisation und Antizipation von dir.

Je schneller du dich ans Wiederholen machst, desto höher sind die Chancen eines Erfolgs am großen Tag.

Während der Schulzeit solltest du pro Woche etwa 3 Stunden Mathe üben. Behalte dir diesen Rhythmus auch in den Ferien bei. Versuche nebenbei sogar, Mathe in deinen Alltag einzubauen.

Je regelmäßiger du wiederholst, desto besser wirst du die Prüfung absolvieren.

Wenn in der Geometrie von einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem Kreiskegel versteht man einen Körper, der durch einen Kreis (Grundkreis oder Basiskreis) und einen Punkt außerhalb der Ebene des Kreises (Spitze des Kegels) festgelegt ist.

Ein Kegel oder Konus ist ein geometrischer Körper. Dieser entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine Kreisscheibe, kannst du den Körper Kreiskegel nennen. Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Unter der Höhe des Kegels versteht man einerseits das Lot von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer senkrecht zur Grundfläche). Und andererseits aber auch die Länge dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).

Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche.

Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius r des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Die Gerade durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man die Achse des Kegels. Die Höhe h des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene. Diesen Abstand musst du senkrecht zur Basisebene messen.

Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drehkegel vor. Andernfalls spricht man von einem schiefen Kreiskegel oder elliptischen Kegel. Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich die stereografische Projektion als Kreistreue zunutze.

Was ist ein Kegel?

Die Bezeichnung „Drehkegel“ deutet darauf hin, dass es sich um einen Rotationskörper handelt. Er entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner beiden Katheten. In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-)Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt (s), da sie den Mantel „erzeugen“. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte des Winkels zwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel φ zwischen den Mantellinien und der Achse heißt halber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt gleichseitiger Kegel. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt. Schneidest du einen solchen Kegel mit einer Ebene, so erhältst du ein gleichseitiges Dreieck. Vor allem in der Technik wird für den Drehkegel auch das Wort Konus verwendet. Das zugehörige Eigenschaftswort konisch bezeichnet Objekte mit der Form eines Drehkegels oder eines (Dreh-)Kegelstumpfs.

Die Torsion beschreibt die Verdrehung eines Körpers, die durch die Wirkung eines Torsionsmoments entsteht. Versucht man einen Stab mit einem Hebel senkrecht zur Längsachse zu verdrehen, so wirkt auf diesen (neben einer etwaigen Querkraft) ein Torsionsmoment.

Eine Torsion tritt in Bauteilen immer dann auf, wenn Kräfte, Momente oder Kräftepaare wirken, deren Wirkungslinie nicht in der Balkenachse oder Trägheitsebene liegen.

Das Torsionsmoment T ergibt sich aus der Kraft F am Hebel multipliziert mit der Länge r des dazu verwendeten Hebels. Dies ist das Drehmoment – die Berechnung der Spannung und Verformung erfolgt in den nächsten Schritten.

Wie wirkt sich die Torsion aus?

Bei einer Torsionsbeanspruchung wird ein Bauteil (Stab oder Welle) mit einem Moment (Drehmoment/Torsionsmoment) belastet, das um die Längsachse wirkt. Das kommt meistens bei kreisförmigen Bauteilen vor, da diese sehr gut geeignet sind, um große Drehmomente zu übertragen. Durch die Einwirkung des Torsionsmoments verformen sich die Linien schraubenförmig, die parallel zur Längsachse auf dem Mantel des Bauteils sind. 

Ausschließlich für Kreis- und für geschlossene Kreisringquerschnitte ist das Torsionsträgheitsmoment gleich dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip

Für andere Querschnitte ist die Berechnung des Torsionsträgheitsmoments nur in besonderen Fällen in geschlossener Form möglich.

Zudem ist bei der Bestimmung des Torsionsträgheitsmoments oft von Bedeutung, ob es sich um verwölbungsfreie Querschnitte handelt oder nicht, und ob die Verwölbung behindert wird oder nicht.

Da die durch Torsion verursachten Schubspannungen in der Mitte eines Querschnitts geringer sind als zum Rand hin, ist es nach den Prinzipien des Leichtbaus sinnvoll, mehr Material an den Rand eines Querschnitts zu legen. Dieses Prinzip wird bei der Drehmomentübertragung durch Wellen in Form der Hohlwelle angewandt.

Bei dünnwandigen Querschnitten spielt es eine große Rolle, ob der Querschnitt geschlossen oder offen ist. Geschlossene Querschnitte sind deutlich widerstandsfähiger gegenüber Torsion als offene Querschnitte. Betrachtet man den geschlossenen Querschnitt eines Rundrohrs, dessen Wandstärke 10 % seines Radius beträgt, und vergleicht ihn mit einem geschlitzten Querschnitt mit ansonsten gleichen Eigenschaften. So sind Torsionsträgheitsmoment und folglich das für einen bestimmten Verdrehwinkel aufzubringende Moment beim geschlossenen Querschnitt um den Faktor 300 größer.

Was ist Steifigkeit?

Die Steifigkeit ist eine Größe in der Technischen Mechanik. Sie beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen elastische Verformung durch eine Kraft oder ein Moment (Biegemoment oder Torsionsmoment).