Kosinus und Sinus wichtige trigonometrische Funktionen

Sinus- und Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion). Vor Tangens und Kotangens, Sekans und Kosekans bilden sie die wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Kosinus werden unter anderem in der Geometrie für Dreiecksberechnungen in der ebenen und sphärischen Trigonometrie benötigt. Auch in der Analysis sind sie wichtig. Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen und elektromagnetische Wellen lassen sich als Zusammensetzung aus Sinus- und Kosinuswellen beschreiben, sodass die Funktionen auch in der Physik als harmonische Schwingungen allgegenwärtig sind.

Alle ebenen, zueinander ähnlichen Dreiecke haben gleiche Winkel und gleiche Längenverhältnisse der Seiten. Diese Eigenschaft wird benutzt, um Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck durchzuführen. Sind nämlich die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck bekannt, lassen sich die Maße von Winkeln und die Längen von Seiten berechnen. Deshalb haben die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck auch besondere Namen.

Definition von Kosinus und Sinus am rechtwinkligen Dreieck

Die Längenverhältnisse der drei Seiten im rechtwinkligen Dreieck sind nur vom Maß der beiden spitzen Winkel abhängig. Denn die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Und weil im rechtwinkligen Dreieck ein Winkel, nämlich der rechte Winkel, mit 90° bekannt ist, müssen die beiden anderen Winkel in der Summe ebenfalls 90° ergeben. Deswegen wird das Maß eines dieser Winkel durch das Maß des anderen Winkels bereits festlegt. Aufgrund der Dreieckssätze (z. B. WSW) hängen die Längenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck nur noch vom Maß eines der beiden spitzen Winkel ab.

Deshalb werden die Längenverhältnisse in Abhängigkeit eines der beiden spitzen Winkel wie folgt definiert. Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Länge der Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

  • Sinus eines Winkels = Gegenkathete des Winkels / Hypotenuse

Der Kosinus ist das Verhältnis der Länge der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Länge der Hypotenuse.

  • Kosinus eines Winkels = Ankathete des Winkels / Hypotenuse

Bei den für Dreiecke üblichen Bezeichnungen der Größen gilt, sin(α) = a / c und cos(α) = b / c. Wird statt von α von dem gegenüberliegenden Winkel β ausgegangen, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α wird zur Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α bildet nun die Ankathete von β. Da im rechtwinkligen Dreieck α + β = 90° gilt, folgt daraus, dass cos(α) = sin(90°−α) = sin (β) und sin(α) = cos(90°−α) = cos(β) ist.

 

Werde Teil von Lernflix

Bleib´ am Laufenden und versäume keinen neuen Beitrag von lernflix

Newsletter-anmeldunG