Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke (in der Ebene) ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs →Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Was besagen die Kongruenzsätze?

Die Kongruenzsätze SSS (Seite, Seite, Seite) und SWS (Seite, Winkel, Seite) besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel (einschließenden Winke) vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei →Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann.

Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Wann verwende ich den Sinussatz?

Die Seiten eines beliebigen Dreieckes verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Der Sinussatz enthält also mehrere Gleichungen. Eine dieser Gleichungen wird somit zur Seitenberechnung oder Winkelbestimmung benutzt. Dafür müssen in der Aufgabenstellung entweder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel oder eine Seite und zwei Winkel gegeben sein.

Wann verwende ich den Kosinussatz?

Der Kosinussatz besagt, dass das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen Seiten ist. Diese ist gleich dem doppelten Produkt dieser Seiten und des von ihnen eingeschlossenen Winkels.
Der Kosinussatz wird zum Berechnen von Dreiecksparametern verwendet. Vor allem dann, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik. Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) trigonometrisch behandelt werden, spricht man von →ebener Trigonometrie. Daneben gibt es die sphärische Trigonometrie. Diese befasst sich mit Kugeldreiecken (sphärischen Dreiecken) und die hyperbolische Trigonometrie. Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie.

Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.

Als Hilfsmittel kannst du die trigonometrischen Funktionen verwenden.  Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen. Sowie Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc). →Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen. Beispielsweise auf Polygone (Vielecke), auf Probleme der und auf Fragen vieler anderer Gebiete.

Die Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreieckes

Besonders einfach ist die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größte Innenwinkel. Ihm liegt die längste Seite (als Hypotenuse bezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten. Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen der Gegenkathete (dem gegebenen Winkel gegenüber) und der Ankathete (benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden.

Auch für allgemeine Dreiecke stehen dir etliche Formeln zur Verfügung. Diese gestatten es, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere der →Sinussatz und der Kosinussatz.

Was ist ein Höhenwinekl und Tiefenwinkel?

Unter einem Höhenwinkel α verstehen wir einen Winkel, der von der Horizontalen aufwärts gemessen wird. Eine Person blickt von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus. Die Spitze dieses Hochhauses sieht die Person unter dem Höhenwinkel α.

Mißt du einen Winkel von einer Horizontalen abwärts, erhältst du den Tiefenwinkel β. Eine Person, die von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus blickt (Horizontale), sieht den Fußpunkt eines Hochhauses unter dem Tiefenwinkel β.

Unter einem Sehwinkel γ verstehen wir die Addition von einem Tiefenwinkel (α) und einem Höhenwinkel (β). Beispiel: Von einer Person, die von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus blickt (Horizontale), erscheint die gesamte Größe eines Hochhauses (Fußpunkt bis Spitze) unter dem Winkel γ.

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Winkelfunktionen im Rechtwinkeligen Dreieck, Sinus, Cosinus, Tangens, Hypotenuse, An-/Gegenkathete

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