Wie löst man eine Extremwertaufgabe

Extremwertaufgabe

Bei einer Extremwertaufgabe ist der kleinste oder der größte Wert einer Funktion f(x) zu bestimmen. Es wird also ein Maximal- oder Minimalwert gesucht. Dies ist vor allem bei Berechnungen für maximale Kosten, Material, Volumen, Flächen etc. von großer Bedeutung.

Problemaufgaben dieser Art werden gelöst, indem man zunächst die im Inneren eines vorgegebenen Intervalls liegenden relative Extremwerte mithilfe der Differentialrechnung ermittelt. Bei einem offenen Intervall muss der kleinste bzw. größte Wert lediglich im Inneren des Intervalls liegen. Dadurch ergibt sich automatisch ein relativer Extremwert.

Was ist eine Zielfunktion?

Jene Funktion deren absolutes Maximum oder Minimum im Intervall bestimmt werden soll, bezeichnet man als Zielfunktion.

Diese Zielfunktion ist am Anfang der Lösungsfindung selbstverständlich unbekannt und du musst sie dementsprechend aufgestellen.

Beim Aufstellen der Zielfunktion sollte immer überlegt werden, welches Maximum bzw. Minimum gefordert ist. Ist beispielsweise ein maximales Volumen gefordert, stellst du eine Funktion (Formel) zur Berechnung des Volumens auf. Diese entstehende Zielfunktion ist oft von mehr als einer Variable abhängig.  

Diese Variablen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Sie sind durch Nebenbedingungen (Kopplung) miteinander verbunden. Durch Verwendung von elementar geometrischen Lehrsätzen (Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Höhensatz etc.) können die Nebenbedingungen mathematisch dargestellt werden. 

Wie löse ich eine Extremwertaufgabe?

Die Zielfunktion bildest du so um, dass lediglich  eine Unbekannten mehr existiert. Durch geschicktes Umformen nach einer Variable und Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Zielfunktion ist dies einfach erreichbar.

Mithilfe der Nebenbedingungen lässt sich dann die Zielfunktion so darstellen, dass sie nur mehr von einer Variable abhängig ist.

Die Zielfunktion differenzierst (ableiten) du im Anschluss nach dieser einen Variable. Die differenzierte Zielfunktion setzt du Null und ermittelst den Maximal- oder Minimalwert.

Zur Überprüfung solltest du auch die zweite Ableitung bilden und die Extrema auf Maximum bzw. Minimum überprüfen. Um zu verhindern, dass du ein falsches Ergebnis berechnet hast, solltest du diese Werte mit dem Randwerten des Intervalls vergleichen.

Mithilfe der Differentialrechnung können lediglich relative Extremwerte mit waagerechter Tangente berechnet werden. Trifft dies nicht zu handelt es sich um einen sogenannten Sonderfall eines Randextremwertes.

Extremwertaufgabe lösen – Vorgehensweise

  1. Bestimme die Zielfunktion. Bilde zu dem Sachverhalt, den du maximieren oder minimieren möchtest, die passende Funktion.
  2. Nebenbedingung aufstellen
  3. Nebenbedingung nach einer Variable umformen
  4. Variable in Zielfunktion einsetzen
  5. Extremwert berechnen (1. Ableitung bilden und Null setzen)
  6. Zweite Variable bestimmen