In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum oder Minimum ist der Wert der Funktion an einer beliebigen Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen lokalen Umgebung die Funktion f(x) keine größeren oder kleineren Werte annimmt

Was ist eine Extremstelle?

Die zugehörige Stelle wird lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bzw. Minimalstelle (Tiefpunkt) genannt. Allgemein kannst du alle Maxima und Minima auch als Extremstellen und die Kombination aus Stelle x und Wert f(x) als Extrempunkt bezeichnen. Alle Extrempunkte haben daher eine X- und eine Y-Koordinate. Die Extremstellen aber lediglich eine X-Koordinate

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt. Für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog dazu gleich definiert.

Vereinfacht kannst du die Extremwerte einer Funktion in zwei Schritten bestimmen:

1. Die erste Ableitung der Funktion wird null gesetzt (notwendige Bedingung). Dadurch erhältst du alle Stellen der waagerechten Tangenten der Funktion.
2. Mithilfe der zweiten Ableitung ermittelst du noch das Krümmungsverhalten an diesen Stellen und überprüfst die hinreichende Bedingung für einen Extremwert. Als hinreichende Bedingung gilt, dass die zweite Ableitung nicht 0 ist.

In einigen wenigen Fällen versagt dieses einfache Verfahren jedoch. Wenn nämlich die zweite Ableitung Null ist. Du könntest dann noch die dritte Ableitung prüfen, wenn diese nicht Null ist, handelt es sich wahrscheinlich um einen Sattelpunkt.

Es gibt einen Sonderfall

Für den Fall, das auch die dritte Ableitung verschwindet, gilt folgendes:

Besitz die Funktion eine waagerechte Tangente bei x_o, dann ist die nächste nicht verschwindende Ableitung die sogenannte n-te Ableitung. Wenn die n-te Ableitung eine gerade Ordnung besitzt und beim Einsetzen der Extremstelle x₀ in die n-te Ableitung ein Wert größer 0 herauskommt, handelt es sich um eine Minimumstelle. Bei einem Wert kleiner 0, um eine Maximumstelle. 

Ist die Ordnung n jedoch ungerade, handelt es sich an der Stelle x₀ um einen Sattelpunkt.

Klingt alles ein bisschen verwirrend, aber diese Konstellation kommt jedoch sehr selten vor. Es reicht meistens, die vereinfachten zwei Schritte auszuführen.