Was ist der Logarithmus?

Exponential

Der Logarithmus bezeichnet den Exponenten, mit dem eine vorher festgelegte Zahl (die Basis) potenziert werden muss, um die gegebene Zahl (den Numerus) zu erhalten. Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert, auch die Basis muss positiv sein.

Der Logarithmus einer positiven reellen Zahl x zur Basis b ist also der Wert des Exponenten, wenn x als Potenz zur Basis b dargestellt wird, also diejenige Zahl y, welche die Gleichung by = x löst. log bedeutet normalerweise auf dem Taschenrechner log10 x (Basis 10).

Es ist also die Umkehrfunktion zur 10er Funktion. Die Zahl e (Euler´sche Zahl) ist eine Konstante wie die Zahl π . Die Eulersche Zahl ist ungefähr gleich 2,718281828459045. Statt log e a = x schreibt man ln a Mit Logarithmen lassen sich sehr stark wachsende Zahlenreihen übersichtlich darstellen, da der Logarithmus für große Zahlen viel langsamer steigt als die Zahlen selbst.

Man kann durch →Logarithmieren eine Multiplikation durch die viel weniger rechenintensive Addition ersetzen. Auch beschreiben Logarithmen auf mathematisch elegante Weise viele technische Prozesse.  Phänomene der Natur wie etwa das Verhalten einer Halbleiter-Diode werden beschrieben. Die Spirale eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Lautstärken durch das menschliche Ohr kannst du ebenfalls zeigen.

Wo wende ich den Logarithmus an?

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Du kannst dabei Daten entweder mit einer logarithmischen Skala darstellen oder logarithmisch definierte Größen verwenden. In der gebräuchlichsten Form der Exponentialfunktion werden für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen.

Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest vorgegeben ist, ist bei →Exponentialfunktionen der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdruckes die Variable und die Basis fest vorgegeben. Darauf bezieht sich auch die Namensgebung. Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der mathematischen Beschreibung von →Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung (siehe →exponentielles Wachstum).

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