Was ist das uneigentliche Integral?

Das uneigentliche Integral ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Mit Hilfe dieses Integralbegriffs ist es möglich, Funktionen zu integrieren, die einzelne Singularitäten aufweisen oder deren Definitionsbereich unbeschränkt ist und die deshalb im eigentlichen Sinn nicht integrierbar sind.

Ein uneigentliches Integral kannst du als Erweiterung des Riemann-Integrals, des Lebesgue-Integrals oder auch anderer Integrationsbegriffe verstehen. Oftmals wird es allerdings im Zusammenhang mit dem Riemann-Integral betrachtet, da insbesondere das (eigentliche) Lebesgue-Integral schon viele Funktionen integrieren kann, die nur uneigentlich Riemann-integrierbar sind.

Der Grund für das uneigentliche Integral ist

Es gibt zwei Gründe, warum man uneigentliche Integrale betrachtet. Zum einen möchte man Funktionen auch über unbeschränkte Bereiche integrieren, beispielsweise von −∞ bis ∞

Dies ist mit dem Riemann-Integral ohne weiteres nicht möglich. Uneigentliche Integrale, die dieses Problem lösen, nennt man uneigentliche Integrale erster Art. Außerdem ist es auch von Interesse, Funktionen zu integrieren, die auf dem Rand ihres Definitionsbereichs eine Singularität haben. Uneigentliche Integrale, die das ermöglichen, nennt man uneigentliche Integrale zweiter Art. Es ist möglich, dass uneigentliche Integrale an einer Grenze uneigentlich erster Art und an der anderen Grenze uneigentlich zweiter Art sind. Jedoch ist es für die Definition des uneigentlichen Integrals unerheblich, von welcher Art das Integral ist.

Du hast bereits bestimmte Integrale kennengelernt. Diese kannst du mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung berechnen. Dabei ist das Intervall abgeschlossen.

Bei einem uneigentlichen Integral sind

  • entweder die obere Integrationsgrenze ∞ und / oder die untere −∞
  • oder die Funktion an einer der Integrationsgrenzen ist nicht definiert.

Im folgenden Video zeige ich dir, wie du ein uneigentliche Integrale berechnen kannst. Das Vorgehen ist dabei jedes Mal gleich.

  • Du ersetzt die Integrationsgrenze ±∞ beziehungsweise die, an welcher die Funktion nicht definiert ist, durch eine variable Grenze.
  • Du erhältst so einen Flächeninhalt, welcher von dieser variablen Grenze abhängt.
  • Zuletzt bildest du den Grenzwert entsprechend der Grenze, welcher substituiert wurde.

Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung (abgekürzt auch DGL, DG, DGl. oder Dgl.) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden. Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. 

Dabei beschreibt eine →Differentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis, die deren Lösungstheorie untersucht. Nicht nur weil für viele Differentialgleichungen keine explizite Lösungsdarstellung möglich ist, spielt die näherungsweise Lösung mittels numerischer Verfahren eine wesentliche Rolle. Eine Differentialgleichung kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden.

Hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Variablen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Es kommen lediglich gewöhnliche Ableitungen nach der einen Veränderlichen vor.

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehr als einer Variable auf, so spricht man von einer →partiellen Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen sind ein großes Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen, sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten.

Die Lösungsmenge einer Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte. Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen können auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten.

Wie löse ich eine Differentialgleichung?

Grundsätzlich wird bei →Anfangs- oder Anfangsrandwertproblemen eine der Veränderlichen als Zeit interpretiert. Bei diesen Problemen werden gewisse Daten zu einem gewissen Zeitpunkt, nämlich dem Anfangszeitpunkt, vorgeschrieben. Bei den Randwert- oder Anfangsrandwertproblemen wird eine Lösung der Differentialgleichung in einem beschränkten oder unbeschränkten Gebiet gesucht und wir stellen als Daten sogenannte Randwerte, welche eben auf dem Rand des Gebietes gegeben sind.

Die Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl!

Die Variation der Konstanten ist eine Methode, die beim Lösen von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung benutzt wird. mit c ∈ R und A(x) = ∫a(x) dx bekannt. Dann liefert die →Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der DGL.

Das Verfahren „Trennung der Variablen“ liefert im Allgemeinen keine explizite Lösung der Form y= f(x). Sondern allgemeinere funktionale Zusammenhänge (mitunter die Umkehrfunktion x(y)). Das folgende Beispiel zeigt, dass es nicht immer einfach ist. Erst nach einer Substitution gelingt es, die Variablen zu trennen.

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