Was ist eine Differentialgleichung?

Eine Differentialgleichung (abgekürzt auch DGL, DG, DGl. oder Dgl.) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden. Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. 

Dabei beschreibt eine →Differentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis, die deren Lösungstheorie untersucht. Nicht nur weil für viele Differentialgleichungen keine explizite Lösungsdarstellung möglich ist, spielt die näherungsweise Lösung mittels numerischer Verfahren eine wesentliche Rolle. Eine Differentialgleichung kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden.

Hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Variablen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Es kommen lediglich gewöhnliche Ableitungen nach der einen Veränderlichen vor.

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehr als einer Variable auf, so spricht man von einer →partiellen Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen sind ein großes Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen, sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten.

Die Lösungsmenge einer Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte. Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen können auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten.

Wie löse ich eine Differentialgleichung?

Grundsätzlich wird bei →Anfangs- oder Anfangsrandwertproblemen eine der Veränderlichen als Zeit interpretiert. Bei diesen Problemen werden gewisse Daten zu einem gewissen Zeitpunkt, nämlich dem Anfangszeitpunkt, vorgeschrieben. Bei den Randwert- oder Anfangsrandwertproblemen wird eine Lösung der Differentialgleichung in einem beschränkten oder unbeschränkten Gebiet gesucht und wir stellen als Daten sogenannte Randwerte, welche eben auf dem Rand des Gebietes gegeben sind.

Die Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl!

Die Variation der Konstanten ist eine Methode, die beim Lösen von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung benutzt wird. mit c ∈ R und A(x) = ∫a(x) dx bekannt. Dann liefert die →Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der DGL.

Das Verfahren „Trennung der Variablen“ liefert im Allgemeinen keine explizite Lösung der Form y= f(x). Sondern allgemeinere funktionale Zusammenhänge (mitunter die Umkehrfunktion x(y)). Das folgende Beispiel zeigt, dass es nicht immer einfach ist. Erst nach einer Substitution gelingt es, die Variablen zu trennen.

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