Der Satz von Bayes ermöglicht es, die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen. Eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten muss dir aber bereits bekannt sein. Dieser mathematische Satz ist auch unter den Namen Formel von Bayes oder Bayes Theorem bekannt.

Für zwei Ereignisse A und B mit P(B) größer 0 lässt sich die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, berechnen. Dies geschieht durch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, mit dem Satz von Bayes:

P(A|B)= P(B|A)*P(A) / P(B)

Hierbei ist P(A|B) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. P(B|A) ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist. P(A) die A-priori-Wahrscheinlichkeit (a-priori = ohne weiteren Beweis) des Ereignisses A und P(B) die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Satz von Bayes

Der Satz von Bayes erlaubt dir in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen. Dabei gehst du  von einem bekannten Wert P(B|A) aus, bist aber eigentlich an dem Wert P(A|B) interessiert. Beispielsweise interessierst es dich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand eine bestimmte Krankheit hat, wenn ein dafür entwickelter Schnelltest ein positives Ergebnis zeigt. Aus empirischen Studien kennst du in der Regel die Wahrscheinlichkeit dafür, mit der der Test bei einer von dieser Krankheit befallenen Person zu einem positiven Ergebnis führt.

Die gewünschte Umrechnung ist aber nur dann möglich, wenn die gesamte Anzahl der Krankheitsfälle im betrachteten Teil der Bevölkerung zu einem Zeitpunkt oder während eines bestimmten Zeitraums bekannt ist. Das heißt, die absolute Wahrscheinlichkeit, mit der die betreffende Krankheit in der Gesamtpopulation auftritt, muss bekannt sein.

Für das Verständnis kannst dir ein →Entscheidungsbaum oder eine Vierfeldertafel helfen. Das Verfahren ist auch als Rückwärtsinduktion bekannt.

Mitunter kommst du zu dem Fehlschluss, direkt von P(B|A) auf P(A|B) schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) zu berücksichtigen. Beispielsweise indem annimmst, dass die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten ungefähr gleich groß sein müssten. Wie der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur dann der Fall, wenn auch P(A) und P(B) ungefähr gleich groß sind.

Ebenso musst du beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten für sich allein nicht dazu geeignet sind, eine bestimmte Kausalbeziehung nachzuweisen.