Die Ableitung einer Funktion – Differenzieren

Die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen misst die Empfindlichkeit gegenüber einer Änderung des Funktionswertes. Der Ausgabewert bezieht sich dabei auf eine Änderung des Arguments (Eingabewertes). Ableitungen sind ein grundlegendes Werkzeug der Analysis. Zum Beispiel ist die Ableitung der Position eines sich bewegenden Objekts in Bezug auf die Zeit die Geschwindigkeit des Objekts. Sie misst, wie schnell sich die Position des Objekts ändert, wenn die Zeit fortschreitet.

Die Ableitung einer Funktion einer einzelnen →Variablen bei einem gewählten Eingabewert ist die Steigung der Tangente. Wenn sie existiert, beschreibt sie die Tangente am Graphen der Funktion an diesem Punkt. Die Tangentenlinie ist die beste lineare Annäherung der Funktion in der Nähe dieses Eingangswertes. Aus diesem Grund wird die Ableitung oft als „momentane Änderungsrate“ beschrieben. Das heißt als das Verhältnis der momentanen Änderung der abhängigen Variablen zu der der unabhängigen Variablen.

Ableitungen können auf Funktionen mehrerer reeller Variablen verallgemeinert werden. Bei dieser Verallgemeinerung wird die Ableitung in eine lineare Transformation umgedeutet. Der Graph ist die beste lineare Annäherung an den Graphen der ursprünglichen Funktion. Die Jacobimatrix ist die Matrix, die diese lineare Transformation in Bezug auf die durch die Wahl der unabhängigen und abhängigen Variablen gegebene Grundlage darstellt. Du kannst sie auf die partiellen Ableitungen in Bezug auf die unabhängigen Variablen berechnen. Für eine reellwertige Funktion mehrerer Variablen reduziert sich die Jacobimatrix auf den Gradientenvektor.

Wie berechnet man die Ableitung?

Der Prozess, eine Ableitung zu finden, nennt man Differenzierung. Den umgekehrte Prozess nennt man Antidifferenzierung. Das fundamentale Theorem der Analysis verbindet Antidifferenzierung mit Integration. Differentiation und →Integration sind die beiden Grundoperationen in der Ein-Variablen-Kalkulation.

Differenzierung ist die Aktion der Berechnung einer Ableitung. Die Ableitung einer Funktion y = f(x) einer Variablen x ist ein Maß für die Rate, mit der sich der Wert y der Funktion in Bezug auf die Änderung der Variablen x ändert. Sie wird Ableitung von f in Bezug auf x genannt. Wenn x und y reelle Zahlen sind und wenn der Graph von f gegen x aufgetragen wird, ist die Ableitung die Steigung dieses Graphen an jedem Punkt.

Steigung einer →linearen Funktion: m = Δy/Δx

Der einfachste Fall, abgesehen vom trivialen Fall einer konstanten Funktion, ist, wenn y eine lineare Funktion von x ist, was bedeutet, dass der Graph von y eine Linie ist. In diesem Fall ist y = f(x) = mx + b, für die reellen Zahlen m und b, und die Steigung m ist gegeben durch:

m = Δy/Δx

wobei das Symbol Δ (Delta) eine Abkürzung für „Veränderung“ ist, und die Kombinationen Δx und Δy beziehen sich auf entsprechende Änderungen.

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