Hochpunkt- Tiefpunkt – Extremwert – Extremstelle

Extremstelle

In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum oder Minimum ist der Wert der Funktion an einer beliebigen Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen Umgebung (lokal) die Funktion f(x) keine größeren oder kleineren Werte annimmt

Was ist eine Extremstelle?

Die zugehörige Stelle wird lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bzw. Minimalstelle (Tiefpunkt) genannt. Allgemein oder zusammenfassend kannst du alle Maxima und Minima auch als Extremstellen und die Kombination aus Stelle x und Wert f(x) als Extrempunkt bezeichnen. Alle Extrempunkte haben daher eine X- und eine Y-Koordinate. Die Extremstellen aber lediglich eine X-Koordinate

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Vereinfacht kannst du die Extremwerte einer Funktion in zwei Schritten bestimmen:

  1. Die erste Ableitung der Funktion wird null gesetzt (notwendige Bedingung) Dadurch erhältst du alle Stellen der waagerechten Tangenten der Funktion.
  2. Mithilfe der zweiten Ableitung ermittelst du noch das Krümmungsverhalten an diesen Stellen und überprüfst die hinreichende Bedingung für einen Extremwert. Als hinreichende Bedingung gilt, dass die zweite Ableitung nicht 0 ist.

In einigen wenigen Fällen versagt dieses einfache Verfahren jedoch. Wenn nämlich die zweite Ableitung Null ist. Du könntest dann noch die dritte Ableitung prüfen, wenn diese nicht Null ist, handelt es sich wahrscheinlich um einen Sattelpunkt.

Es gibt einen Sonderfall

Für den Fall, das auch die dritte Ableitung verschwindet, gilt folgendes:

Besitz die Funktion eine waagerechte Tangente bei xo, dann ist die nächste nicht verschwindende Ableitung die sogenannte n-te Ableitung. Wenn die n-te Ableitung eine gerade Ordnung besitzt und beim Einsetzen der Extremstelle x0 in die n-te Ableitung ein Wert größer 0 herauskommt, handelt es sich um eine Minimumstelle. Bei einem Wert kleiner 0, um eine Maximumstelle. 

Ist die Ordnung n jedoch ungerade, handelt es sich an der Stelle x0 um einen Sattelpunkt.

Klingt alles ein bisschen verwirrend, aber diese Konstellation kommt jedoch sehr selten vor. Es reicht meistens, die vereinfachten zwei Schritte auszuführen.

Wie löst man eine Extremwertaufgabe

Extremwertaufgabe

Bei einer Extremwertaufgabe ist der kleinste oder der größte Wert einer Funktion f(x) zu bestimmen. Es wird also ein Maximal- oder Minimalwert gesucht. Dies ist vor allem bei Berechnungen für maximale Kosten, Material, Volumen, Flächen etc. von großer Bedeutung.

Problemaufgaben dieser Art werden gelöst, indem man zunächst die im Inneren eines vorgegebenen Intervalls liegenden relative Extremwerte mithilfe der Differentialrechnung ermittelt. Bei einem offenen Intervall muss der kleinste bzw. größte Wert lediglich im Inneren des Intervalls liegen. Dadurch ergibt sich automatisch ein relativer Extremwert.

Was ist eine Zielfunktion?

Jene Funktion deren absolutes Maximum oder Minimum im Intervall bestimmt werden soll, bezeichnet man als Zielfunktion.

Diese Zielfunktion ist am Anfang der Lösungsfindung selbstverständlich unbekannt und du musst sie dementsprechend aufgestellen.

Beim Aufstellen der Zielfunktion sollte immer überlegt werden, welches Maximum bzw. Minimum gefordert ist. Ist beispielsweise ein maximales Volumen gefordert, stellst du eine Funktion (Formel) zur Berechnung des Volumens auf. Diese entstehende Zielfunktion ist oft von mehr als einer Variable abhängig.  

Diese Variablen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Sie sind durch Nebenbedingungen (Kopplung) miteinander verbunden. Durch Verwendung von elementar geometrischen Lehrsätzen (Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Höhensatz etc.) können die Nebenbedingungen mathematisch dargestellt werden. 

Wie löse ich eine Extremwertaufgabe?

Die Zielfunktion bildest du so um, dass lediglich  eine Unbekannten mehr existiert. Durch geschicktes Umformen nach einer Variable und Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Zielfunktion ist dies einfach erreichbar.

Mithilfe der Nebenbedingungen lässt sich dann die Zielfunktion so darstellen, dass sie nur mehr von einer Variable abhängig ist.

Die Zielfunktion differenzierst (ableiten) du im Anschluss nach dieser einen Variable. Die differenzierte Zielfunktion setzt du Null und ermittelst den Maximal- oder Minimalwert.

Zur Überprüfung solltest du auch die zweite Ableitung bilden und die Extrema auf Maximum bzw. Minimum überprüfen. Um zu verhindern, dass du ein falsches Ergebnis berechnet hast, solltest du diese Werte mit dem Randwerten des Intervalls vergleichen.

Mithilfe der Differentialrechnung können lediglich relative Extremwerte mit waagerechter Tangente berechnet werden. Trifft dies nicht zu handelt es sich um einen sogenannten Sonderfall eines Randextremwertes.

Extremwertaufgabe lösen – Vorgehensweise

  1. Bestimme die Zielfunktion. Bilde zu dem Sachverhalt, den du maximieren oder minimieren möchtest, die passende Funktion.
  2. Nebenbedingung aufstellen
  3. Nebenbedingung nach einer Variable umformen
  4. Variable in Zielfunktion einsetzen
  5. Extremwert berechnen (1. Ableitung bilden und Null setzen)
  6. Zweite Variable bestimmen

Impuls und Impulssatz

Mithilfe des Impulssatzes (Impuls) kann man die Geschwindigkeit 𝑣 nach einem Stoß bestimmen. Sofern die Geschwindigkeit vor dem Stoß gegeben und die Kraft 𝐹 entweder konstant oder als Funktion der Zeit gegeben ist. Für die Bestimmung der Geschwindigkeit 𝑣 aus dem Newtonschen Gesetz hingegen sind dazu zwei Schritte erforderlich:

  • Zunächst Bestimmung der Beschleunigung 𝑎
    aus: ∑𝐹=𝑚𝑎
  • Integration von 𝑎=𝑑𝑣/𝑑𝑡

Was bedeutet der Impulssatz?

Das bedeutet also, dass der Impulssatz als Alternative zum Newtonschen Gesetz verwendet werden kann, vor allem wenn die Zeit als Faktor in der Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Es gibt aber auch Fälle, da kann das Newtonsche Gesetz nicht angewandt werden. Dort muss die Aufgabenstellung dann mit dem Impulssatz gelöst werden.

Was ist der Impuls?

Der Impuls wird in der Physik verwendet, um den Bewegungszustand eines Körpers genau zu beschreiben. Er hängt von der Masse des Körpers und seiner Geschwindigkeit ab. Wenn zum Beispiel ein Körper beschleunigt, wird auch sein Impuls größer.

Wenn der Impuls eines Körpers verändert wird, so verändert sich die Geschwindigkeit von diesem mit. Die Veränderung des Impulses für eine bestimmte Zeit entspricht somit der Kraft.

Die Tatsache, dass es keine Rolle spielt, ob ein Massepunkt oder ein Massepunktsystem betrachtet wird, beruht auf dem Schwerpunktsatz. Dieser besagt, dass sich der Massenschwerpunkt eines Systems genauso bewegt, als wären alle Massenpunkte in ihm vereinigt und alle äußeren Kräfte wirken nur auf ihn.

Was ist die Impulserhaltung?

Der Impulserhaltungssatz wird aus dem zweiten und dritten Newtonschen Axiom abgeleitet. Wenn keine Kraft auf eine betrachtete Masse wirkt, so muss die Ableitung des Impulses null sein. Daraus folgt, dass der Impuls konstant sein muss. Anders formuliert ergibt sich der Impulserhaltungssatz: Die Änderung des Impulses in einem kräftemäßig abgeschlossenen System ist gleich null.

Dabei ist es egal, ob ein Massepunkt oder ein System von Massenpunkten betrachtet wird. Dieser Zusammenhang gilt immer. Als ein kräftemäßig abgeschlossenes System wird ein System bezeichnet, auf das keine Kraft von außen wirkt, die den Impuls verändern könnte.

Flächenpressung

Flächenpressung ist die Kraft pro Kontaktfläche zwischen zwei Festkörpern, also eine Druckspannung. Drückt man zwei Festkörper mit einer Kraft F aufeinander, so stellt sich in der Berührungsfläche zwischen den Körpern eine sogenannte Normallastverteilung ein. Diese Last nimmt man in der Normalkraftverteilung vereinfacht als Einzelkraft an.

Die Normallastverteilung wird üblicherweise in der Einheit  Pascal (1 Pa = 1 N/m2 bzw. 1 MPa = 1 N/mm2) angegeben.

Die Flächenpressung hat – wie eine Spannung – eine Richtung, und sie ist über die Kontaktfläche nicht notwendigerweise konstant verteilt. Neben der Größe der Normalkraft FN, die auf die Bauteile wirkt, sind auch Materialeigenschaften als wesentlicher Faktor für diese Beanspruchung verantwortlich. 

Daneben sind die Oberflächenkonturen der beteiligten Körper für die Lastverteilung über der Kontaktfläche und die Größe und Form der Kontaktfläche ausschlaggebend.

Für linear-elastische Werkstoffe erfolgt die Berechnung der Flächenpressung üblicherweise auf der Basis der Halbraumtheorie. Für spezielle, einfache Körper kann man die Gleichungen der hertzschen Pressung angewenden.

Wobei gilt, dass p = F/A, dabei wir die zulässige Flächenpressung pzul der Werkstofftabelle entnommen. Und F ist die Normalkraft darstellt, die auf die Fläche A wirkt. pzul wird auch als Grenzflächenpressung bezeichnet.

Wo tritt Flächenpressung auf?

zwischen…

  • den Zahnflanken von Zahnrädern 
  • Bolzenkopf und Auflage
  • Bremsbelägen und Bremsscheibe
  • dem Kopf einer Schraube und dem zu verschraubenden Teil
  • Rad und Schiene bei Eisenbahnen und Kranbahnen
  • Wälzkörper und Laufbahn von Wälzlagern
  • zwei Bauteilen, die kraftschlüssig über Pressfügen verbunden sind
  • etc.

Was ist die Ursache der Flächenpressung?

Ursache jeder Flächenpressung p ist eine normale Kraft FN, die häufig erst aus der beliebig gerichteten Kraft bestimmt werden muss. Werden zwei ebene Flächen aneinander gepresst, dann gilt: die Flächenpressung p ist der Quotient aus der normalen Kraft Fn und dem Flächeninhalt A der Berührungsfläche. Je nach vorliegender Aufgabe stellt man die Flächenpressungs-Hauptgleichung dementsprechend um.

Im Maschinenbau und in der Feinwerktechnik stellt sich häufig die Aufgabe die Flächenspannung(-pressung) auf geneigten ebenen Flächen zu bestimmen. Wie beispielsweise zwischen den Gleitflächen einer Prismenführung.

Sind die Flächeninhalte der Gleitflächen bekannt, kann die Flächenpressung berechnet werden. Im Zweifelsfalle führt der Weg über das exakte Freimachen und das bestimmen der normalen Kräfte immer zum Ziel. Jedoch ist es in vielen praktischen Fällen einfacher mit der projizierten Fläche zu rechnen.

Kreisbogen und Radius eines Kreissegments

Ein Kreissektor ist ein Tortenstück eines Kreises. Dieser Teilbereich wird von 2 Radien und einem Kreisbogen b begrenzt. Die Fläche eines Kreissegment berechnet man, indem man vom Flächeninhalt des Kreissektors den Flächeninhalt des Dreiecks abzieht. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei Radien aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als Mittelpunktswinkel.

Ein Teil eines Kreises heißt Kreissektor oder Kreisausschnitt. Der Teil des Umfangs, der zu diesem Kreissektor gehört, heißt Kreisbogen. Der Anteil des Kreisbogens am gesamten Umfang entspricht dem Anteil des Winkels an 360° (gesamter Kreis).

Was ist ein Kreissegment?

Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist in der Geometrie die Teilfläche einer Kreisfläche und wird von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt. Im Gegensatz begrenzt der Kreisbogen und zwei Kreisradien den Kreissektor.

Der Zentriwinkel alpha hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt. Beträgt der Zentriwinkel α = 90° handelt es sich um gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Quadrat.

Der Flächeninhalt eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks AMB. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, muss man diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu addieren. Wenn der Mittelpunktswinkel genau 180° beträgt, ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

Was ist der Kreisbogen?

Legt man auf einem Kreis zwei beliebige Punkte fest und verbindet diese durch Strecken mit dem Mittelpunkt des Kreises, so stellen die beiden Teile der Kreisfläche, die durch diese Strecken voneinander getrennt werden, Kreisausschnitte (auch Kreissektor genannt) dar. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei Radien aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als Mittelpunktswinkel.

Was sind Sehne und die Höhe eines Segmentes?

Die Strecke bezeichnet, die sich ergibt, wenn man zwei Radien abträgt und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindet bezeichnet man als Sehne. Die Formel lautet s = 2·r·sin(α/2) , wobei α der Winkel zwischen den Radien ist.

Die Segmenthöhe wird auch Sagitta genannt, und die dazugehörigen Formeln lassen sich mithilfe des Satzes von Pythagoras herleiten. Die Strecke der Differenz von Radius und Segmenthöhe bildet mit der Hälfte der Kreissehne ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius als Hypotenuse

Wie berechne ich das Biegemoment?

Biegung bezeichnet in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen (Balken oder Bögen) oder von dünnen Bauteilen. Kräfte verursachen die Biegung, diese Kräfte bewirken wiederum ein Biegemoment.

Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung, die das Bauteil im unbeanspruchten Zustand hatte, durch statische und dynamische Beanspruchungen. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen. In der technischen Mechanik betrachtet man vor allem schlanke Bauteile bei der Biegung. Die Bauteile werden durch eine von außen einwirkende Kraft gekrümmt und es werden dabei zwei Arten von Biegungen unterschieden. 

  1. Bei der gerade Biegung, wirkt die Kraft, die die Biegung verursacht, in Richtung einer der Hauptträgheitsachsen des betrachteten Querschnitts
  2. Bei der schiefen Biegung wirkt die Kraft in eine andere Richtung als die Hauptträgheitsachsen eines Querschnitts

Je nach dem wo die angreifende Kraft, die eine Krümmung an einem Bauteil verursacht, wirkt, erzeugt sie im oberen Teil des Bauteils eine Zugspannung und im unteren einen Druck. Die Belastung durch die Kräfte ist dabei in den Randgebieten des Bauteiles – in den äußeren Randfasern – deutlich höher als innen im Bauteil. Denn an der Stelle, an der sich Druck- und Zugkraft gegenseitig kompensieren, befindet sich die sogenannte neutrale Faser. Durch die Kompensation der beiden Kräfte ist sie spannungsfrei.

Was ist das Biegemoment?

Das Biegemoment ist wie der Name schon sagt das Moment, das einen Körper verbiegt. Das Biegemoment Mb ist für die Biegung von schlanken Körpern verantwortlich. Es löst innere Kräfte in einem Element aus, die über den Querschnitt und die Länge des Bauteiles verteilt sind. Ein Biegemoment entsteht durch eine senkrecht zur Längsachse des Körpers wirkende Querkraft F oder Streckenlast.

Was ist die Biegespannung?

Die Biegespannung ist in einem Querschnitt in y-Richtung linear veränderlich. Diese nimmt an den Rändern des Querschnitts die größten Werte an. Wobei jeweils ein Wert positiv (Zugspannung), der andere negativ (Druckspannung) ist. Biegespannungen sind Zug- und Schubspannungen, die bei der Biegung eines Stabes oder einer Platte aufteten. Biegespannungen lassen sich am Beispiel des einseitig eingespannten Balkens verdeutlichen 

Durch eine Kraft wird bei der Verbiegung ein Balken mit der ursprünglichen Länge L auf der Oberseite verlängert, auf der Unterseite gestaucht, folglich wirken an der Oberseite Zugspannungen σZ, an der Unterseite Schubspannungen σS. In der Mitte des Balkens gibt es einen Übergangsbereich, eine spannungsfreie Zone, die ihre Länge bei der Biegung nicht ändert. Die Biegespannungen in den einzelnen Schichten wachsen proportional zum Abstand von dieser neutralen Faser an, wenn das lineare Elastizitätsgesetz gilt (Hookesches Gesetz).