Was ist ein Integral? Integration? Ableiten?

Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche deuten. Diese liegt zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur y-Achse.

Man integriert Funktionen meistens, weil ihre Kurven keine geometrische Figur bilden. Und es daher mit einfachen Flächeninhaltsformeln, wie du sie zum Beispiel für ein Quadrat oder ein Dreieck kennst, möglich ist, den von der x-Achse oder durch zwei Funktionen eingeschlossenen Flächeninhalt zu bestimmen.

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Das bestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Zahl zu. Hierbei zählen Flächenstücke unterhalb der x-Achse negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz). 

Diese Konvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

Was ein unbestimmtes Integral?

Das unbestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Menge von Funktionen zu, deren Elemente Stammfunktionen genannt werden. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihre ersten Ableitungen mit der Funktion, die du integriert hast, übereinstimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt dir Auskunft darüber, wie du bestimmte Integrale aus Stammfunktionen berechnen kannst.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels sogenannter numerischer Quadratur.

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen f,g auf einem kompakten Intervall [a,b], deren Graphen die Fläche begrenzen.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung mit den Integrationsgrenzen (a,b)  ∫f(x)dx,gelesen als Integral von a bis b über (oder: von) f von x dx. Der Faktor dx wird heute im Allgemeinen als reiner Notationsbestandteil verwendet und steht dabei für das Differential auf der x-Achse. Statt x kannst du auch eine andere Variable, abgesehen von a und b wählen, zum Beispiel t, was den Wert des Integrals nicht ändert.

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