Was ist eine Stammfunktion?

Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht. Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion f versteht man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F′ mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl x aus I gelten.

Ist f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen f nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion. 

Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x) = F(x) + C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Ist der Definitionsbereich von f ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen.

Der Begriff des unbestimmten Integrals wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Zum einen wird das unbestimmte Integral ∫f(x)dx von f als Synonym für eine Stammfunktion verstanden. Das Problem dieser Definition ist, dass der Ausdruck f↦∫ f(x)dx widersinnig ist. Denn in diesem Fall ist das unbestimmte Integral keine Abbildung, weil nicht klar ist, auf welche der unendlich vielen Stammfunktionen die Funktion f abgebildet werden soll. Da die Konstante, um die sich alle Stammfunktionen unterscheiden, oftmals aber keine Rolle spielt, ist diese Definition des unbestimmten Integrals nur wenig problematisch.

Eine andere Möglichkeit, das unbestimmte Integral zu verstehen, ist es, den Ausdruck ∫f(x)dx als die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu definieren. Diese Definition hat den Vorteil, dass das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung ist, wenn auch deren Werte Äquivalenzklassen sind. Eine etwas weniger geläufige Methode, das unbestimmte Integral zu definieren, ist es, es als Parameterintegral aufzufassen. Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt dieser Ausdruck für jede stetige Funktion f eine Stammfunktion von f.

Wie berechnet man die Stammfunktion?

In den meisten Fällen hat du f(x) gegeben und bildest dann die 1. Ableitung mit f'(x), dann die zweite Ableitung mit f“(x) und bei Bedarf noch höhere Ableitungen. In der Integralrechnung geht man den umgekehrten Weg. Von vielen Schülern wird das Integrieren einfach als das Gegenteil von Ableiten angesehen. In der Mathematik spricht man bei diesem Bereich richtigerweise von Integration.

Beim Integrieren gehst du in die umgekehrte Richtung. Du hast eine Funktion und integrierst diese. Das Ergebnis ist eine Stammfunktion.

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