Was sind Komplexe Zahlen?

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x² = -1 lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl. Diese Zahl i (häufig auch j) wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Komplexe Zahlen können in der Form a + b ⋅ i dargestellt werden.  Die Werte a und b sind dabei reelle Zahlen und i ist die imaginäre Einheit.

Warum brauchen ich Komplexe Zahlen?

Der so konstruierte Zahlenbereich der →komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen. Dieser hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften. Diese erweisen sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Das gilt für reelle Zahlen nicht.

Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel). Dieser wird über die komplexen Zahlen hergestellt.

Du kannst jede reelle Zahl als Punkt einer Zahlengerade abbilden. Zur Darstellung von komplexen Zahlen ist eine Erweiterung auf eine zusätzliche Ebene notwendig. Man spricht hier von komplexer Ebene oder Gauß´schen Ebenen. In dieser Ebene können komplexe Zahlen als Punkt oder Zeiger dargestellt werden.

Unter dem →Betrag einer komplexen Zahl versteht man die Länge des Pfeiles in der Gauß`schen Zahlenebene. Der Betrag einer komplexen Zahl wird mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras bestimmt.

Welche bestimmten Formen gibt es?

Die kartesische Binominalform der komplexen Zahlen beschreibt den Abstand zur reellen und imaginären Achse.

Die Polarform (trigonometrische & exponentielle Form) beschreibt die Entfernung zum Ursprung und den Winkel zur reellen Achse

Der Winkel wird dabei auch als Phase oder Argument bezeichnet.

Gemäß Definition entspricht die →Addition komplexer Zahlen der →Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der Gauß´schen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform klarer wird.

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