Was sind Matrizen?

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Hier versteht man unter einer Matrix eine rechteckige Anordnung von Elementen. Mit diesen Objekten lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert.  Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Du kannst sie insbesondere dazu nutzen, um lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. 

Eine Anordnung von m⋅n Elementen aij erfolgt in m Zeilen und n Spalten. Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Indizes wird auch Hypermatrix genannt.

Die →Determinante einer Matrix gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird.

Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen zwei großen öffnenden und schließenden Klammern durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, du kannst aber auch eckige verwenden.

Die Lineare Algebra (→Vektoralgebra) beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Vektorräume und deren lineare Abbildungen sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik. Anwendungen in Naturwissenschaften, Informatik und Wirtschaftswissenschaft.

Betrachtung und Bedeutung von Matrizen?

  • Die lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus: 
  • Lösen von →linearen Gleichungssystemen.
  • Rechnerische Beschreibung geometrischer Objekte, der sogenannten analytischen Geometrie

In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente des Rn, also n-Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und →skalare Multiplikation ausgeführt werden. 

In der Regel werden die n-Tupel als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben, das heißt, ihre Einträge stehen untereinander. 

Die Elemente der Matrix nennt man auch Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge K, in der Regel einem Körper oder einem Ring. Man spricht von einer Matrix über K. Wählt man für K die Menge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix, bei →komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch a11 beschrieben. Allgemein bezeichnet aij das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Bei der Indizierung wird dabei stets als erstes der Zeilenindex und als zweites der Spaltenindex des Elements genannt. Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, trenne die beiden Indizes mit einem Komma. 

So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit a1,11 bezeichnet.

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