Was sind Ungleichungen?

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Ungleichungen bestehen aus zwei →Terme, die durch ein Vergleichszeichen (Relationszeichen) verbunden sind.

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

TL < TR … Term links kleiner Term rechts

TL > TR … Term links größer Term rechts

TL ≤ TR … Term links kleiner oder gleich Term rechts

TL ≥ TR … Term links größer oder gleich Term rechts

TL ≠ TR … Term links ungleich Term rechts

Ähnlich wie bei einer Gleichung ist es auch bei einer Ungleichung möglich, diese in eine äquivalente Ungleichung umzuformen. →Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen < und > und für Terme im Körper der reellen Zahlen dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠. Zudem werden weitere Regeln zu nicht äquivalenten Umformungen von →Ungleichungen angeboten, die du oft in der Analysis – etwa bei Konvergenzbeweisen mittels Epsilontik – benötigst.

Was solltest du noch wissen?

Eine Ungleichung kannst du umkehren

TL < TR ⇔ TR > TL

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kann eine Fallunterscheidung dazu führen, dass mehrere Ungleichungen betrachtet werden müssen. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen.

Eine Ungleichung der Form ax + b < 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißt lineare Ungleichung mit einer →Variablen.

Bei der Angabe der Lösungsmenge musst du beachten, in welcher Grundmenge die Ungleichung zu lösen ist. Die Ungleichung 9 + 4x > 2x + 5 soll in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ gelöst werden. Bei einer Ungleichung, die in der Menge der rationalen Zahlen ℚ gelöst werden soll, erhältst du als Lösung x > 3.

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