Die reelen Zahlen können als Punkte auf der Zahlengerade dargestellt werden. Dazu wählst du auf einer Geraden einen Nullpunkt und einen Einserpunkt. Dadurch entsteht ein Intervall von Null bis Eins. Jede weitere Beliebige Zahl stellst du mit einem Vielfachen des Abstandes zwischen Null und Eins dar. So zum Beispiel den Punkt 4, stellst du als Punkt mit dem Abstand, der viermal dem Abstand zwischen 0 und 1 hat, dar.

Positive Zahlen liegen rechts, negative Zahlen links vom Nullpunkt. In diesem Sinne kannst du sagen, dass eine Zahl, die auf der Zahlengerade liegt.

Unter Zahlengerade versteht man im Mathematikunterricht die Veranschaulichung der reellen Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Die Darstellung verdeutlicht, dass die Menge der reellen Zahlen mittels der üblichen Vergleiche eine lineare Ordnung bildet. Die Zahlengerade setzt sich in beide Richtungen bis ins Unendliche fort. Der Pfeil an der rechten Seite der Darstellung gibt an, dass die Zahlen in dieser Richtung größer werden.

Die Zahlengerade beinhaltet positive und negative Zahlen, der Zahlenstrahl umfasst nur positive Zahlen. Die kleinstmögliche Zahl auf dem Zahlenstrahl ist die Null (0).

Dezimalzahlen lassen sich genauso wie natürliche Zahlen und Brüche am Zahlenstrahl darstellen. Je nach Unterteilung des Zahlenstrahls trägst du →Dezimalzahlen mit einer Nachkommastelle (Zehntel), mit zwei Nachkommastellen (Hundertstel), drei Nachkommastellen (Tausendstel), usw. ein.

Was sind ein Intervalle?

Ein Intervall kann (beidseitig) beschränkt oder – auch einseitig – unbeschränkt sein. Es ist durch seine untere und seine obere Intervallgrenze eindeutig bestimmt. Zusätzlich muss angegeben sein, ob diese Grenzen im Intervall enthalten sind.

Es gibt zwei verschiedene häufig verwendete Intervallschreibweisen:

• Bei der häufigeren der beiden verwendet man für Grenzen, die zum Intervall gehören, eckige Klammern und runde für Grenzen, die nicht zum Intervall gehören. Die eckigen Klammern entsprechen einem schwachen Ungleichheitszeichen ≤.Die runden Klammern () entsprechen einem starken Ungleichheitszeichen.
• Bei der anderen Schreibweise verwendest du statt der runden Klammern nach außen gewendete (gespiegelte) Eckige.

Wenn auf einer Seite die Intervallgrenze fehlt, es dort also keine Schranke geben soll, spricht man von einem (auf dieser Seite) unbeschränkten Intervall. Meist werden hierfür die bekannten Symbole −∞ und ∞ als „Ersatz“-Intervallgrenzen verwendet, die selbst nie zum Intervall gehören. Deshalb auch die Schreibung mit runder Klammer.

Eine Menge reeller Zahlen nennt man Intervall, wenn sie sich auf der Zahlengeraden als Strecke darstellen lässt. Gehören die Randwerte mit zum Intervall, spricht man von einem abgeschlossenen Intervall, gehören sie nicht zur dargestellten Menge, spricht man von einem offenen Intervall.

Eine Stammfunktion oder ein unbestimmtes Integral ist eine mathematische Funktion, die man in der Differentialrechnung, einem Teilgebiet der Analysis, untersucht. Unter einer Stammfunktion einer reellen Funktion f versteht man eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion F′ mit f übereinstimmt. Ist also f auf einem Intervall I definiert, so muss F auf I definiert und differenzierbar sein, und es muss für jede Zahl x aus I gelten.

Ist f auf [a,b] integrierbar, aber nicht überall stetig, dann existiert zwar die Integralfunktion, sie braucht jedoch an den Stellen, an denen f nicht stetig ist, nicht differenzierbar zu sein, ist also im Allgemeinen keine Stammfunktion. 

Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl C auch die durch G(x) = F(x) + C definierte Funktion G eine Stammfunktion von f. Ist der Definitionsbereich von f ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen.

Der Begriff des unbestimmten Integrals wird in der Fachliteratur nicht einheitlich verwendet. Zum einen wird das unbestimmte Integral ∫f(x)dx von f als Synonym für eine Stammfunktion verstanden. Das Problem dieser Definition ist, dass der Ausdruck f↦∫ f(x)dx widersinnig ist. Denn in diesem Fall ist das unbestimmte Integral keine Abbildung, weil nicht klar ist, auf welche der unendlich vielen Stammfunktionen die Funktion f abgebildet werden soll. Da die Konstante, um die sich alle Stammfunktionen unterscheiden, oftmals aber keine Rolle spielt, ist diese Definition des unbestimmten Integrals nur wenig problematisch.

Eine andere Möglichkeit, das unbestimmte Integral zu verstehen, ist es, den Ausdruck ∫f(x)dx als die Gesamtheit aller Stammfunktionen zu definieren. Diese Definition hat den Vorteil, dass das unbestimmte Integral analog zum bestimmten Integral eine lineare Abbildung ist, wenn auch deren Werte Äquivalenzklassen sind. Eine etwas weniger geläufige Methode, das unbestimmte Integral zu definieren, ist es, es als Parameterintegral aufzufassen. Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ergibt dieser Ausdruck für jede stetige Funktion f eine Stammfunktion von f.

Wie berechnet man die Stammfunktion?

In den meisten Fällen hat du f(x) gegeben und bildest dann die 1. Ableitung mit f'(x), dann die zweite Ableitung mit f“(x) und bei Bedarf noch höhere Ableitungen. In der Integralrechnung geht man den umgekehrten Weg. Von vielen Schülern wird das Integrieren einfach als das Gegenteil von Ableiten angesehen. In der Mathematik spricht man bei diesem Bereich richtigerweise von Integration.

Beim Integrieren gehst du in die umgekehrte Richtung. Du hast eine Funktion und integrierst diese. Das Ergebnis ist eine Stammfunktion.

Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so lässt sich das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche deuten. Diese liegt zwischen dem Graphen der Funktion, der x-Achse sowie den begrenzenden Parallelen zur y-Achse.

Man integriert Funktionen meistens, weil ihre Kurven keine geometrische Figur bilden. Und es daher mit einfachen Flächeninhaltsformeln, wie du sie zum Beispiel für ein Quadrat oder ein Dreieck kennst, möglich ist, den von der x-Achse oder durch zwei Funktionen eingeschlossenen Flächeninhalt zu bestimmen.

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Das bestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Zahl zu. Hierbei zählen Flächenstücke unterhalb der x-Achse negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt (auch Flächenbilanz). 

Diese Konvention wird gewählt, damit das bestimmte Integral eine lineare Abbildung ist, was sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine zentrale Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt. Auch wird so sichergestellt, dass der sogenannte Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt.

Was ein unbestimmtes Integral?

Das unbestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser eine Menge von Funktionen zu, deren Elemente Stammfunktionen genannt werden. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ihre ersten Ableitungen mit der Funktion, die du integriert hast, übereinstimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gibt dir Auskunft darüber, wie du bestimmte Integrale aus Stammfunktionen berechnen kannst.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, das Benutzen spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, partielle Integration), Nachschlagen in einer Integraltafel oder das Verwenden spezieller Computer-Software. Oft erfolgt die Integration nur näherungsweise mittels sogenannter numerischer Quadratur.

Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene. In den meisten in der Praxis auftretenden Fällen sind derartige Flächen beschrieben durch zwei stetige Funktionen f,g auf einem kompakten Intervall [a,b], deren Graphen die Fläche begrenzen.

Auf Grund seiner fundamentalen Bedeutung erhält dieser Typ Flächeninhalt eine spezielle Bezeichnung mit den Integrationsgrenzen (a,b)  ∫f(x)dx,gelesen als Integral von a bis b über (oder: von) f von x dx. Der Faktor dx wird heute im Allgemeinen als reiner Notationsbestandteil verwendet und steht dabei für das Differential auf der x-Achse. Statt x kannst du auch eine andere Variable, abgesehen von a und b wählen, zum Beispiel t, was den Wert des Integrals nicht ändert.

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Hier gehen die Meinungen sehr auseinander. Die einen sagen, wer regelmäßige Nachhilfe braucht hat vielleicht den falschen Schultyp gewählt. Andere meinen, dass es, sofern nur in einem oder zwei Fächern Nachhilfe benötigt wird, auch regelmäßig Nachhilfe in Anspruch genommen werden soll.

Ich bin der Meinung, dass die Schule von heute herausfordernd genug ist. Schüler haben oft bis Nachmittag um 16.00 Uhr Unterricht. Müssen dann noch nach Hause fahren und sollen bis spät in die Nacht Hausübung machen und sich für den nächsten Schultag vorbereiten. Zudem wird in den Schulen wirklich viel Unnötiges gelehrt. Da ist ein Lerncoach doch das Optimale, um jene Dinge herauszufiltern, welche wirklich wichtig sind. Ziel ist es, den Schüler so auf Prüfungen und Schularbeiten vorzubereiten, dass es mit der positiven Note auch wirklich klappt.

Sollte eine regelmäßige Nachhilfe stattfinden?

Die langjährige Erfahrung, sowohl als erwachsener Schüler, als auch als Nachhilfe Coach, hat mir gezeigt, dass regelmäßiges Lernen den Erfolg extrem steigert. Denken Sie an einen Sportler. Egal ob dieser seinen Sport zum Spaß als Hobby betreibt oder auf den Weg zum semi- oder vollprofessionellen Spitzenathlet ist. Ohne regelmäßiges Training kann er weder sein Leistungsniveau halten (auch nicht auf Hobbyniveau), noch kann er jemals wirklich besser werden oder gar richtig gut sein.

Dies gilt auch für sämtliche Schulfächer. Ohne regelmäßiges Wiederholen der Vokabeln in Englisch, Italienisch oder Französisch werden die Wörter einfach wieder vergessen. Genauso ist es auch in der Mathematik oder Mechanik. Nur durch regelmäßiges Üben und Wiederholen behält man auch jenen Lernstoff im Kopf, der vielleicht schon Monate oder Jahre zurückliegt. Mathematik und Mechanik sind nun mal Fächer, bei denen es Voraussetzung ist, dass man sämtlichen Stoff aller Schulstufen kennt und anwenden kann.

Einfacher gesagt, darf ich die Grundrechnungsarten, wie Addition, Subtraktion etc, die ich in der Volksschule gelernt habe, auf keinen Fall einfach vergessen. Genauso sollte ich mir einen Pythagoras aus der Unterstufe ebenfalls bis zum Abitur merken. Dies kann natürlich nur durch regelmäßiges Anwenden und Üben erreicht werden. Durch regelmäßige Nachhilfe weiß natürlich auch der Lerncoach, wo es beim Schüler etwas Nachholbedarf gibt und dieser zusätzliche Unterstützung braucht.

Mein Fazit:

Regelmäßiges Lernen ist ein Muss, wenn die Schule erfolgreich abgeschlossen werden soll. Eine erforderliche Nachhilfe sollte dementsprechend ebenfalls regelmäßig erfolgen. Wie weit die Abstände der Unterrichtseinheiten dabei auseinanderliegen entscheidet vor allem der Erfolg des Schülers. Natürlich erkennt ein guter Lerncoach, wie oft eine Unterstützung stattfinden sollte.

Das Flächenträgheitsmoment wird auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet. Es ist eine in der Festigkeitslehre verwendete geometrische Größe, die zu dessen Verformungs- und Spannungsberechnung bei Biege- und Torsionsbeanspruchung eingeführt wurde. Die verwendeten Formeln enthalten das Flächenträgheitsmoment neben anderen Größen, wie solche für die Belastung und für die Eigenschaften des verwendeten Werkstoffs.

Mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes werden auch diejenigen Belastungen berechnet, deren Überschreiten zum Knicken von Stäben oder Beulen von Schalen führt. Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem (Massen-)Trägheitsmoment verwechselt werden. Welches die Trägheit eines rotierenden Körpers gegenüber einer Winkelbeschleunigung charakterisiert.

Mit dem axialen Flächenträgheitsmoment I_a wird die Querschnitts-Abhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung zusammenfassend beschrieben. Die Verbiegung und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner, je größer das axiale Flächenträgheitsmoment ist. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die Ausdehnung in Richtung der angreifenden Kraft.

Wichtig beim Flächenträgheitsmoment

Alle hier genannten Flächenträgheitsmomente werden auf einen speziellen Punkt, nämlich den Flächenschwerpunkt (Flächenmittelpunkt), bezogen. Für alle anderen Punkte kannst du die Flächenträgheitsmomente mit dem Steiner´schen Satz berechnen.

Das Widerstandsmoment W kann man in der linearen Elastizitätstheorie verwenden, um die am Querschnitts-Rand auftretende größte Beanspruchung (Spannung) zu bestimmen. Es ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand amax des Randes von der neutralen Faser.

Als Widerstandsmoment W wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt.

Bei der Belastung Biegen spricht man vom axialen oder Biegewiderstandsmoment Wax, beim Verwinden (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment Wp oder Torsionswiderstandsmoment Wt gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment. Mit dessen Hilfe kannst du bei der Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnen. Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach G. W. Leibniz) ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Produktes von Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurück.

Eine Anwendung der Produktregel in der Integralrechnung ist die Methode der partiellen Integration. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Sind die Funktionen u und v von einem Intervall D in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle x_a differenzierbar, so ist auch die Funktion für alle x ∈ D definierte Funktion f an dieser Stelle differenzierbar, und es gilt (uv)′ = u′v + uv′ 

Wann braucht man die Produktregel bei der Differentialrechnung?

Einfach formuliert: man braucht sie immer dann, wenn eine Funktion der Form „Term mit x mal Term mit x “ vorliegt (wenn die Variable x heißt). Es ist egal, welchen Faktor man als u(x) bzw. v(x) bezeichnet.Die Produktregel kann sukzessive auch auf mehrere Faktoren angewandt werden.

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen →Funktionen zurück.

Sind die Funktionen u(x) und v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x = x_a mit v(x_a) ≠ 0 differenzierbar, dann ist auch die Funktion an der Stelle x_a differenzierbar.

Wann braucht man die Quotientenregel?

Die Verwendung dieser Ableitungsregel liegt nahe, wenn der Funktionsterm ein Bruch ist. Allerdings gibt es Beispiele gebrochener Funktionen, bei denen man durch geeignetes Umformen ohne Quotientenregel schneller ans Ziel gelangt.

Das besondere an der →Exponential-Funktion ist, dass die einfache E-Funktion f(x) = e^x abgeleitet ebenfalls wieder e^x ist. Dies bedeutet, dass f'(x) = e^x ist. Die Funktion f(x) hat damit eine identische Steigung wie f'(x). In den meisten Fällen liegt jedoch nicht einfach nur e hoch x vor.

Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion. Das kann man sich leicht merken. Schwieriger wird es jedoch, wenn nicht nur ein x im Exponenten steht. Dann sind wir nämlich gezwungen, auf die Kettenregel zurückzugreifen.