Beanspruchst du einen sehr schlanken Stab auf Druck, dann besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Ebenfalls besteht die Gefahr der Knickung, wenn die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß ist. Das kann auch dann geschehen, wenn der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird. Und auch dann, wenn die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze (siehe Spannungs-Dehnungsdiagramm oder Hook´sche Gesetz) liegt. 

Die Tragfähigkeit eines solchen Bauteils ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem. Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens – seitlichem Wegknicken – mit zunehmender Länge und abnehmendem Querschintt. 

Durch die besondere Problematik der Knickung führte man zur genauen Definition besonderer Größen ein. Die Knickkraft F_K ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividierst du die Knickkraft durch die Querschnittsfläche, erhältst du eine Spannung. Diese bezeichnet man als Knickspannung. Entsprechend der Definition der Knickkraft wirkt die Knickspannung dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. 

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, muss die Druckkraft, die durch die tatsächliche Belastung entsteht, wesentlich kleiner bleiben als die Knickkraft. Das gleiche gilt auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung und für die Knickspannung. Knickkraft und Knickspannung sind also Werte, die in der Praxis niemals erreicht werden dürfen. 

Fazit: Die Knickkraft (Knickspannung) ist diejenige Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die vorhandene Druckspannung unter der Knickspannung. 

Die Eulergleichung bei elastischer Knickung

Für den Fall, dass die Knickspannung noch unterhalb der Proportionalitätsgrenz des Werkstoffes liegt, hat Euler eine Gleichung für die Knickkraft entwickelt. 

Die Knickkraft, also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen würde, kannst du allein durch die Führungsverhältnisse verändern. Und zwar dann, wenn sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft während des Zusammendrückens exakt in der Stabachse wirkt, desto größer kannst du die Knickkraft ansetzen. 

Je höher die Proportionalitätsgrenze des Werkstoffes liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad. Das heißt, umso größer wird der Bereich, für den die Eulergleichung gilt. 

Die Eulergleichung gilt nur, solange dein errechneter Schlankheitsgrad gleich oder größer ist als der angegebene Grenzschlankheitsgrad.

In der Mathematik definiert man einen Zylinder allgemein als eine ebene Kurve in einer Ebene. Vor allem dann, wenn entlang einer Gerade, die nicht in der Ebene enthalten ist, diese um eine feste Strecke verschoben wird. Je zwei sich entsprechenden Punkte der Kurven und der verschobenen Kurve werden durch eine Strecke verbunden. Die Gesamtheit dieser parallelen Strecken bildet die zugehörige Zylinder-Fläche. Die Kurve nennt man Leitkurve. Eine auf dem Zylinder liegende Gerade heißt Erzeugende oder Mantellinie.

Ist die Kurve ein Kreis, entsteht ein schiefer Kreiszylinder. Falls die Höhe h normal auf die Ebene steht, ergibt sich ein senkrechter Kreiszylinder. Ist die Kurve eine geschlossene Kurve, kann man die Mantelfläche mit den beiden Begrenzungsflächen wieder als Oberfläche eines Körpers auffassen. Ist die Kurve nicht geschlossen, z. B. ein Parabelbogen, so ist der Zylinder nur die oben erklärte Mantelfläche, die allerdings Teil einer Oberfläche eines Körpers sein kann.

Die geometrische Besonderheit einer Zylinderfläche besteht in der folgenden Tatsache:

• Eine Zylinderfläche enthält Geraden, sie ist eine Regelfläche, und kann unverzerrt in die Ebene abgewickelt werden.
• Insbesondere diese Eigenschaft macht die Zylinderfläche für die Herstellung von Blechverkleidungen interessant.
• Ist die erzeugende Kurve ein Polygon, so spricht man von einem Prisma.

Was ist ein Zylinder?

Ein Zylinder ist im einfachsten Fall eine Fläche, deren Punkte von einer festen Gerade, der Achse, denselben Abstand r haben. Da solch eine Fläche unendlich ausgedehnt ist, beschneidet man sie normalerweise mit zwei parallelen Ebenen der Distanz h.

Sind die Schnittebenen senkrecht zur Achse, entsteht ein senkrechter (oder gerader) Kreiszylinder mit Radius r und Höhe h. Die so beschnittene Fläche nennt man Mantelfläche des Zylinders, die Schnittflächen senkrecht zur Achse kannst du jeweils als Grundfläche bezeichnen.

Da man sich einen geraden Kreiszylinder auch durch Rotation einer Fläche um die (parallele) Zylinderachse denken kann, wird er auch Drehzylinder genannt. Die erzeugenden Strecken nennt man Mantellinien des Zylinders oder auch Erzeugende.

In der Technik versteht man unter einem Zylinder oft den Körper, der von der Mantelfläche und den beiden Schnittkreisflächen eingeschlossen wird.

Das Baumdiagramm verwendest du, um einen möglichen Ablauf eines mehrstufigen Zufallsexperiments darzustellen. Dabei kannst du endlich viele mögliche Ergebnissen in einer komplexen Struktur erfassen, darstellen und analysieren. Zudem ist es dir damit möglich, auf Grundlage der ersten und zweiten Pfadregel die Wahrscheinlichkeiten für atomare und zusammengesetzte Ereignisse eines solchen Experiments in einfacher Weise zu berechnen.

Um beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten einen guten Überblick zu behalten, legen wir sogenannte Baumdiagramme an. Aus einem Baumdiagramm kannst du die unterschiedlichen Ausgänge und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperimentes ablesen. Der große Vorteil solcher Baumdiagramme ist, dass du auch mehrstufige Zufallsexperimente übersichtlich darstellen kannst.

Wie verwende ich das Baumdiagramm?

Ein Baumdiagramm ist eine graphische Darstellung, welche die möglichen Ergebnisse eines bestimmten Ablaufs hierarchischer Entscheidungen zeigt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Baumdiagramme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente eingesetzt.

Dabei verzweigt sich ein stilisierter Baum auf jeder Stufe des Zufallsexperiments in Äste, die den möglichen Ergebnissen bzw. Ereignissen der entsprechenden Stufe des Zufallsexperiments entsprechen. Wobei jede Verzweigungsstelle mit den entsprechenden Ergebnissen bzw. Ereignissen beschriftet wird. Baumdiagramme werden häufig von links nach rechts, aber nicht selten auch von oben nach unten gezeichnet.

Das Baumdiagramm verwendet man in der Stochastik zur Darstellung möglicher Versuchsausgänge von Zufallsexperimenten. Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusammen.

Das Baumdiagramm dient dazu Zufallsexperimente übersichtlich darzustellen. Dies macht insbesondere dann sind, wenn das Zufallsexperiment aus mehreren Stufen oder Versuchen besteht. Wie wahrscheinlich es ist, dass ein bestimmter Pfad oder mehrere Pfade eintreten, berechnet man mit den Pfadregeln.

Die Pfadwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gefordertes Ergebnis eintritt. Um die Wahrscheinlichkeiten einzelner Ergebnisse eines mehrstufigen Zufallsexperimentes zu berechnen, ermittelst du die zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregel.

Für die Berechnung der oben genannten Wahrscheinlichkeiten gelten zwei Pfadregeln.

Erste Pfadregel (Produktregel):

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich seiner Pfadwahrscheinlichkeit. Das heißt, die Gesamtpfadwahrscheinlichkeit ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der dem zugehörigen Ergebnis im Baumdiagramm entspricht.

Zweite Pfadregel(Summenregel):

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses – mehrere Pfade sind möglich – gleich der Summen der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu seinen zugehörigen Ergebnissen führen. Dabei werden mehrere Pfadwahrscheinlichkeiten zusammenaddiert.

Der Satz von Bayes ermöglicht es, die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen. Eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten muss dir aber bereits bekannt sein. Dieser mathematische Satz ist auch unter den Namen Formel von Bayes oder Bayes Theorem bekannt.

Für zwei Ereignisse A und B mit P(B) größer 0 lässt sich die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, berechnen. Dies geschieht durch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, mit dem Satz von Bayes:

P(A|B)= P(B|A)*P(A) / P(B)

Hierbei ist P(A|B) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist. P(B|A) ist die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist. P(A) die A-priori-Wahrscheinlichkeit (a-priori = ohne weiteren Beweis) des Ereignisses A und P(B) die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B.

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Satz von Bayes

Der Satz von Bayes erlaubt dir in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen. Dabei gehst du  von einem bekannten Wert P(B|A) aus, bist aber eigentlich an dem Wert P(A|B) interessiert. Beispielsweise interessierst es dich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand eine bestimmte Krankheit hat, wenn ein dafür entwickelter Schnelltest ein positives Ergebnis zeigt. Aus empirischen Studien kennst du in der Regel die Wahrscheinlichkeit dafür, mit der der Test bei einer von dieser Krankheit befallenen Person zu einem positiven Ergebnis führt.

Die gewünschte Umrechnung ist aber nur dann möglich, wenn die gesamte Anzahl der Krankheitsfälle im betrachteten Teil der Bevölkerung zu einem Zeitpunkt oder während eines bestimmten Zeitraums bekannt ist. Das heißt, die absolute Wahrscheinlichkeit, mit der die betreffende Krankheit in der Gesamtpopulation auftritt, muss bekannt sein.

Für das Verständnis kannst dir ein →Entscheidungsbaum oder eine Vierfeldertafel helfen. Das Verfahren ist auch als Rückwärtsinduktion bekannt.

Mitunter kommst du zu dem Fehlschluss, direkt von P(B|A) auf P(A|B) schließen zu wollen, ohne die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) zu berücksichtigen. Beispielsweise indem annimmst, dass die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten ungefähr gleich groß sein müssten. Wie der Satz von Bayes zeigt, ist das aber nur dann der Fall, wenn auch P(A) und P(B) ungefähr gleich groß sind.

Ebenso musst du beachten, dass bedingte Wahrscheinlichkeiten für sich allein nicht dazu geeignet sind, eine bestimmte Kausalbeziehung nachzuweisen.

Die Parallelschaltung, auch Nebenschaltung, ist in der Elektrotechnik die Verbindung von zweipoligen Bauelementen oder Netzwerken. Sie sind so miteinander verbunden, dass alle ihre gleichnamigen Pole gemeinsam verbunden sind. Werden bei gepolten Bauelementen (z. B. Batterien, Dioden, Elektrolytkondensatoren usw.) ungleichnamige Pole miteinander verbunden, spricht man von einer antiparallelen Schaltung. Bei ungepolten passiven Bauelementen entfällt diese Unterscheidung. Die Anzahl der parallelgeschalteten Elemente in einem Netzwerk ist vollkommen beliebig. Als Gegenstück zur Parallelschaltung gibt es als weitere wesentliche Grundschaltung in der Elektrotechnik die →Reihenschaltung.

Warum ist die Spannung in der Parallelschaltung gleich?

Die Spannung in einer Parallelschaltung auf den Stromkreis übertragen ist überall gleich, da die Elektronen mit parallelen Spannungsquellen immer nur auf ein Energieniveau angehoben werden können. Das hat zur Folge, dass die Spannung überall gleich ist!

Was gilt für Strom und Widerstände in einer Parallelschaltung?

Da die Spannung in der Parallelschaltung überall gleich groß ist, verursachen unterschiedliche Widerstände unterschiedliche Teilströme. Die Ströme verhalten sich umgekehrt proportional zu ihren Widerständen. In hochohmigen Widerständen fließt ein kleiner Strom. In niederohmigen Widerständen fließt ein höherer Strom.

Gesetzmäßigkeiten in Parallelschaltungen – Kirchhoff´sche Regel

Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung nimmt mit jedem weiteren ohmschen Verbraucher ab. Der Gesamtwiderstand ist also stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Eine Ausnahme ist ein Parallelschwingkreis an Wechselspannung.

In der Parallelschaltung darfst du die Widerstände nicht einfach addieren. Mit jedem weiteren Widerstand verringert sich der Gesamtwiderstand der parallelen Schaltung. Dies lässt sich einfach erklären, da mit jedem weiteren parallelen Widerstand der Strom ja einen weiteren Abzweig hat auf den er sich aufteilen kann bzw. muss.

An allen Elementen einer Parallelschaltung liegt dieselbe elektrische Spannung an, auch wenn deren Stromaufnahme unterschiedlich ist. Ein typisches Beispiel ist die Netzspannungsversorgung im Haushalt mit den typischen 230 V. Alle Geräte werden – unabhängig von deren Leistungsaufnahme – mit derselben Spannung versorgt.

Die Parallelschaltung mehrerer elektrischer Verbraucher mit einer idealen Spannungsquelle ist unanfällig für Ausfälle einzelner Verbraucher (bei Ausfall im Sinne einer Unterbrechung). Wenn ein einzelnes Element seine elektrische Leitung unterbricht oder aus der Leitung entfernt wird, werden alle weiter funktionierenden Verbraucher unverändert versorgt. Mit einer realen Spannungsquelle erhöht sich durch den Ausfall die Spannung an den verbleibenden Verbrauchern. Bei einem Ausfall im Sinne eines Kurzschlusses fällt die komplette Schaltung aus, wenn nicht die Leitung des ausgefallenen Verbrauchers durch eine Sicherung unterbrochen wird.

Die Varianz ist ein Streuungsmaß, welches die Verteilung von Werten um den Mittelwert kennzeichnet. Berechnen kannst du diese, indem du die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom arithmetischen Mittel ∑(xi – x)² durch die Anzahl der Messwerte n dividierst. Außerdem ist diese ein Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt. Mathematisch kann man sie als die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert definieren. 

Die Varianz kann man physikalisch als Trägheitsmoment interpretieren. Des Weiteren ist sie das Quadrat der Standardabweichung, des wichtigsten Streuungsmaßes in der Stochastik. Die Varianz kann mit einem Varianzschätzer, z. B. der Stichprobenvarianz, geschätzt werden.

Eigenschaften der Varianz

Zu den Eigenschaften der Varianz gehören, dass sie niemals negativ ist und sich bei Verschiebung der Verteilung nicht ändert. Die Varianz einer Summe unkorrelierter (nicht miteinander in Wechselbeziehung stehend) Zufallsvariablen ist gleich der Summe ihrer Varianzen. Ein Nachteil der Varianzen für praktische Anwendungen ist, dass sie im Unterschied zur Standardabweichung eine andere Einheit als die Zufallsvariable besitzen. Da sie über ein →Integral definiert wird, existiert sie nicht für alle Verteilungen, das bedeutet sie könnte auch unendlich sein.

Eine Verallgemeinerung ist die Kovarianz. Im Unterschied zur Varianz, die die Variabilität der betrachteten Zufallsvariable misst, ist die Kovarianz ein Maß für die gemeinsame Variabilität von zwei Zufallsvariablen. Aus dieser Definition folgt, dass die Kovarianz einer Zufallsvariable mit sich selbst gleich der Varianz dieser →Zufallsvariablen ist.

Was sagt die empirische Standardabweichung aus?

Die Standardabweichung kannst du als ein Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals rund um dessen Mittelwert (arithmetisches Mittel) sehen. Vereinfacht gesagt, ist die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Durchschnitt.

Sie gehört zu den Streuungsmaßen und beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Messwerte vom empirischen Mittelwert. Sie stellt damit eine Art durchschnittliches Abweichungsquadrat dar. Die positive Wurzel der empirischen Varianz ist die empirische Standardabweichung. Verwende die Standardabweichung, um die Streubreite der Daten um den Mittelwert zu ermitteln. Ein höherer Wert der Standardabweichung weist dabei auf eine größere Streubreite der Daten.