Von einem Zufallsexperiment spricht man, wenn es sich um einen Vorgang handelt, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind. Dabei darf man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen können. Als Beispiel könntest du dir folgendes vorstellen: Du wirfst einen fairen Würfel. Auf welcher Seite er landet, kannst du vor dem Verlassen des Würfels aus deiner Hand nicht  vorhersagen. Dieses Zufallsexperiment gehört somit zum Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von „gleichwahrscheinlich“.

Woran erkennst du nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zu beantworten und erfordert in vielen Fällen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele:

• Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, handelt es sich um einen fairen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, dass du die Zahl 1 würfelst, ist dann genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass du die Zahl 6 würfelst. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment (Versuch).
• Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze (faire Münze) ist es für dich gleich wahrscheinlich „Zahl“ oder „Kopf“ zu werfen. Somit handelt es sich ebenfalls um einen Laplace Versuch.
• Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit hast du hier kein Laplace Experiment. (unterschiedliche Wahrscheinlichkeit)

Du solltest versuchen solche Aufgaben mit etwas gesundem Menschenverstand anzugehen. Hast du keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kannst du erst einmal von einem Laplace Experiment ausgehen. (gleiche Wahrscheinlichkeit bei allen Versuchen)

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Auf welcher Seite ein Würfel landet, magst du nicht vorhersagen.

Zufallsexperiment in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Unter einem einstufigen Zufallsexperiment der Wahrscheinlichkeitsrechnung versteht man ein Zufallsexperiment, welches nur ein einziges Mal durchgeführt wird.

• Du wirfst einen Würfel einmal
• oder du wirfst eine Münze einmal

In den meisten Fällen ist es notwendig, einen Versuch mehrfach durchzuführen. So könntest du beim Wurf eines Würfels die Zahl 4 würfeln. Doch nach einem Versuch könntest du dann glauben, dass du bei einem Würfel immer die Zahl 4 werfen wirst. Aus diesem Grund sind einstufige Zufallsexperimente in den meisten Fällen nicht aussagekräftig.

Von einem mehrstufigen Zufallsexperiment sprich man, wenn ein zufälliger Vorgang mehrfach nacheinander durchgeführt wird. Beispiel: Wirf einen Würfel mehrfach hintereinander. Besteht ein mehrstufiger Zufallsversuch aus k – Teilversuchen, so handelt es sich um ein k-stufigen Zufallsexperiment. Der Ausgang eines Zufallsexperimentes kann dabei Ergebnis genannt werden. Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.

Das Gegenereignis wird mit einem Strich über dem E dargestellt. Nimmst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis zusammen, ergibt dies in Summe 1 (oder 100 %). Kennst du das Ereignis kannst du damit das Gegenereignis ausrechnen und umgekehrt.

Als Zugkraft wird in der Statik in Anlehnung an den allgemeinen Sprachgebrauch eine Kraft F bezeichnet, die an einem Körper zieht. 

Kräfte werden in der Praxis normalerweise in der Einheit Newton angegeben. Dies entspricht also der Kraft F, die benötigt wird, um eine Masse der gegebenen Schwerkraft (g = 9,81 m/s²) entgegen zu halten oder zu heben.

Zugspannungen entstehen durch Kräfte, die ein Bauteil auf Zug beanspruchen. Das Gegenteil sind Druckspannungen, diese entstehen, wenn auf ein Bauteil Druckkräfte wirken.

Die Wirklinie oder Wirkungslinie ist in der Technischen Mechanik die Gerade, die die Lage einer vektoriellen Kraft im Raum angibt. Zusammen mit dem Richtungssinn ergibt sie die Richtung in der die Kraft wirkt. Durch Angabe des Betrages, der Richtung und des Angriffspunktes kann somit der Kraftvektor beschrieben werden. 

Wie entsteht die Zugkraft?

Die Zugkraft ergibt in diesem Fall eine Schnittreaktion in Form einer Normalkraft quer zum Querschnitt, in dem sich eine Beanspruchung in Form von mechanischen Spannungen einstellt.

Die Zugkraft F_Z eines Flaschenzuges beispielsweise ergibt sich aus eins durch die Anzahl der Seile n mal der Gewichtskraft F_G,L der Last.

In der Statik ist eine Zugkraft stets als positive (+) Kraft definiert. Eine negative Zugkraft entspricht einer Druckkraft. Positiv ist die Zugkraft, wenn sie auf ihrer Wirkfläche (auch Querschnittsfläche) in Richtung ihrer nach außen orientierten Normalen wirkt. Durch eine ziehende Kraft dehnt sich ein realer Körper. Durch eine Druckkraft kann sich ein Bauteil stauchen.

Ziehen äußere Kräfte an einen Körper in Wirkrichtung seiner Stabachse, so spricht man von einer Zugbeanspruchung.

Oftmals ist die Zugkraft eine umgeleitete Druck- oder Scherkraft. Beispielsweise zieht an einem Kranhaken eine Last, indem sie mit dem Anschlagmittel in den Haken drückt, der die Druckkraft durch seine gebogene Form in eine Zugkraft ins Kranseil umlenkt. 

Allgemein wird eine Kraft durch Verbindungstechniken über Formschluss, Kraftschluss oder Stoffschluss übertragen. Beim Formschluss wirken wie beim Kranhaken Druckkräfte rechtwinklig zu den Flächen der Verbindungspartner. Bei Kraftschluss wird die Kraft wie bei Knoten über die Haftreibung tangential zur Wirkfläche eingebracht. Durch Kraftübertragung werden dann diese Kräfte in Zugkräfte umgeleitet.

Feste Materialien (Stäbe, Stangen, Seile, Ketten etc.) und Stoffschluss können Zugkräfte über atomare oder molekulare Kräfte übertragen, bis ihre Zugfestigkeit erreicht ist.

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Die Geometrie wiederum ist die Lehre von zweidimensionalen Figuren wie Punkten, Geraden und Vielecken sowie dreidimensionalen Körpern wie Kugeln und Würfeln. In der elementaren Geometrie wird ein Kreis als Menge aller Punkte mit einem festen Abstand zu einem vorgegebenen Punkt definiert. Die Kreisgleichung beschreibt so jeden Punkt (x,y), der den Abstand r zum Mittelpunkt hat. Ein Kreis (bzw. eine Kreislinie) ist eine Linie in der Ebene bei der jeder Punkt denselben Abstand zu einem bestimmten Punkt, den sogenannten Mittelpunkt, hat. Diesen Abstand nennt man Radius. Dieser wird mit dem Buchstaben r bezeichnet.

Ein Kreis ist natürlich ebenso eine ebene geometrische Figur. Du kannst den Kreis als Menge aller jener Punkte einer Ebene bezeichnen, die den gleichen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt des Kreises) haben. Der Abstand aller Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder der halbe Durchmesser d/2 des Kreises. Er muss eine positive reelle Zahl sein. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Bei der Elementargeometrie untersuchst du geometrische Objekte wie Punkte, Geraden, Dreiecke, Vierecke und Kreise ohne Zuhilfenahme von Methoden aus der linearen Algebra oder Analysis. Ausgehend von Grundbegriffen wie Punkte und Geraden definierst du hier Strecken, Winkel und ebene Figuren.

Was ist die analytische Geometrie?

Die analytische Geometrie ist – wie oben erwähnt – ein Teilgebiet der Geometrie. Mithilfe der analytischen Geometrie kannst du algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) verwenden, um geometrischer Probleme zu lösen. Sie ermöglicht es dir in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne eine zeichnerische Anschauung zur Hilfe nehmen zu müssen.

Wenn du bei der Ermittlung solcher geometrischen Probleme ohne Ansätze und ohne Bezug zu einem Zahlensystem auf einer axiomatischen Grundlage einen Lösungsansatz herleitest, bezeichnet man diese Geometrie als synthetische Geometrie.

Die Verfahren der analytischen Geometrie werden in allen Naturwissenschaften angewendet. Vor allem aber in der Physik, wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Planetenbahnen. Ursprünglich befasste sich die analytische Geometrie nur mit Fragestellungen der ebenen und der räumlichen (euklidischen) Geometrie. Im allgemeinen Sinn jedoch beschreibt die analytische Geometrie affine Räume beliebiger Dimension über beliebigen Körpern.

Entscheidendes Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem. In der Praxis verwendet man meist ein kartesisches Koordinatensystem. Für manche einfache Fragestellungen, wie etwa die Bestimmung von Schnittpunkten zweier oder mehrer Geraden oder die Untersuchung von Geraden auf Parallelität oder die Berechnung von Teilverhältnissen und vieles mehr, würde allerdings auch ein schiefwinkliges Koordinatensystem ausreichen. Unverzichtbar ist ein kartesisches Koordinatensystem, wenn man Abstände oder Winkel berechnen soll.

Als Biegung wird in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen, wie Balken oder Bögen oder von dünnen Bauteilen, wie Schalen oder Platten bezeichnet. Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung. Das Bauteil im unbeanspruchten Zustand wird durch statische und dynamische Beanspruchungen verbogen und gekrümmt. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen.

Durch eine Reduktion der möglichen Dimensionen eines ursprünglichen 3D-Problems wird die Beschreibung der Geometrieveränderung angenähert:

• im Falle von Balken oder Bögen durch eine 1D-Theorie
• im Falle von Schalen oder Platten durch eine 2D-Theorie.

Mit Bestimmung der Biegeverformung kannst du unter Verwendung der kinematischen Gesetzmäßigkeiten der jeweiligen Biegetheorien die Deformations- und Spannungszustände in jedem Punkt des Bauteils berechnen.

Welche Biegung gibt es?

Du solltest zwei verschiedene Biegungen, die aufgrund der Art der Belastung entstehen voneinander unterscheiden können. 

Zum einen erfolgt bei der reinen Biegung die Biegebelastung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils.

Zum anderen erfolgt bei der Querkraftbiegung, die Biegung des Bauteils durch Kräfte, welche als Querkräfte auf den Balken wirken. Dabei entsteht ein Biegemoment wie bei der reinen Biegung. Und zusätzlich dazu eine Querkraft, welche zu Schubspannungen im Bauteil führen. Diese zusätzliche Querkraft berücksichtigst du bei der Berechnung.

Belastest du lange, dünne Bauteile quer zur Bauteilachse mit einem Biegemoment, entstehen →Zug- und Druckspannungen. Bei einem Balken führt dies zu einer Durchbiegung. 

Eine Biegespannung ist derjenige Spannungsanteil in einer Wandung oder einem Querschnitt. Dieser ist linear über die Wanddicke oder den betrachteten Querschnitt zu erkennen. Dieser Anteil ist über den betrachteten Querschnitt proportional zum Abstand von der neutralen Achse verteilt.

Wo tritt die maximale Biegespannung auf?

Die in einer Querschnitts-Fläche des Balkens aufsummierte Biegespannung ist dem Biegemoment an dieser Stelle proportional. Im Querschnitt verläuft die maximale Biegespannung je nach Belastung vom äußeren Rand als maximaler Druckspannung über die neutralen Zone bis hin zum inneren Rand zu einer maximaler Zugspannung.

Das axiale →Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Durchbiegung. Deshalb wird es oft auch als Biegewiderstandsmoment bezeichnet. Für die Größe des Widerstandsmomentes ist allein die Geometrie der jeweils betrachteten Bauteil-Querschnittsfläche ausschlaggebend.

Zur Berechnung des Widerstandsmomentes ist die Definition der exakten Lage der →neutralen Faser innerhalb des Querschnittes Grundvoraussetzung. Die neutrale Faser verläuft exakt durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Ausgehend von dieser Linie lässt sich dann der größtmöglichen Abstand zur Außenkante (Randfaser) ermitteln. Dort sind die höchsten Bauteilbelastungen bzw. die größten Spannungen zu erwarten.

In der Mathematik ist der Einheitskreis jener Kreis, dessen Radius die Länge von genau 1 Einheit hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt.

Der Begriff Einheitskreis enthält die zwei Bestandteile Einheit und Kreis. Mit Kreis ist seine geometrische Form gemeint. Das heißt, es handelt sich um einen Kreis. Die Bezeichnung Einheit bezieht sich auf folgende Beobachtung: Wenn du irgendeinen Punkt entlang des Kreises annimmst, dann besitzt dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt 1 Einheit. Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch.

Für was brauche ich den Einheitskreis?

Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Definition der Winkelfunktionen  Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Winkel erweitern. Zusätzlich erlaubt er dir die charakteristischen Kurven dieser Winkelfunktionen zu konstruieren.

Allgemein ist der Rand eines →Kreises um den Ursprung mit Radius r definiert als jene Ansammlung aller Punkte P, die zum Ursprung den Abstand des Radius r besitzen.

Ein Kreis, dessen Radius die Länge r = 1 LE (Längeneinheit) hat, ist ein Einheitskreis. Ein Winkel im Einheitskreis hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung. Seine Schenkel sind die positive x-Achse und der Radius r.

Mit dem Einheitskreis Kosinus und Sinus erklären

Im Einheitskreis kannst du die Werte von Cosinus und Sinus direkt ablesen. Da die Hypotenuse (Radius r) gleich 1 ist. Somit ist dann die Länge der Ankathete gleich dem Cosinus und die Länge der Gegenkathete ist gleich dem Sinus. Du teilst ja schließlich beide durch die Hypotenuse (→Trigonometrie). Da die Hypothenuse beim Einheitskreis immer 1 ist, ist die Ankathete gleich dem Cosinus und die Gegenkathete gleich dem Sinus. Wie du dann siehst, ist der Cosinus maximal – nämlich exakt 1 – bei einem Winkel von 0° und 180° und minimal – exakt 0 – bei einem Winkel von 90° und 270°.

Der Kosinus- und Sinussatz  ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der →Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für Dreiecke in der Ebene kannst du ja denn Kosinussatz sehr einfach formulieren, für sphärische benötigst du sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist somit eine Rotationsfläche. Diese wird beschrieben als die Menge aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt M oder Zentrum Z der Kugel bezeichnet, die Zahl r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge nennt man dann auch das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren kannst du als Kugelkörper oder Vollkugel bezeichnet (Kugelinhalt). Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugeln bezeichnet. Wobei dir aus dem Zusammenhang heraus klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Kugeln besitzen unendlich viele Symmetrieebenen. Nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner sind Kugeln drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

Was ist eine Kugel?

Kugeln besitzen weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten. In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit dem Radius r an jedem Punkt der Oberfläche die gauß´sche Krümmung. Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf eine Ebene abgebildet werden kann.

Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel (Geodäte) liegt auf einem Großkreis, also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.

Kugeln haben die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf. Blasen (Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln, wenn du bei der Betrachtung die Gravitation nicht berücksichtigst. Dies gilt deshalb, weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und Kugeln jene Form sind, die die größten Gravitationsbindungsenergie haben. Mathematische Kugeln sind eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

Kugeln kannst du auch als Rotationskörper auffassen. Lässt du nämlich eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel (Rotationsintegral). Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid.