Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Die Geometrie wiederum ist die Lehre von zweidimensionalen Figuren wie Punkten, Geraden und Vielecken sowie dreidimensionalen Körpern wie Kugeln und Würfeln. In der elementaren Geometrie wird ein Kreis als Menge aller Punkte mit einem festen Abstand zu einem vorgegebenen Punkt definiert. Die Kreisgleichung beschreibt so jeden Punkt (x,y), der den Abstand r zum Mittelpunkt hat. Ein Kreis (bzw. eine Kreislinie) ist eine Linie in der Ebene bei der jeder Punkt denselben Abstand zu einem bestimmten Punkt, den sogenannten Mittelpunkt, hat. Diesen Abstand nennt man Radius. Dieser wird mit dem Buchstaben r bezeichnet.

Ein Kreis ist natürlich ebenso eine ebene geometrische Figur. Du kannst den Kreis als Menge aller jener Punkte einer Ebene bezeichnen, die den gleichen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt des Kreises) haben. Der Abstand aller Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder der halbe Durchmesser d/2 des Kreises. Er muss eine positive reelle Zahl sein. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Bei der Elementargeometrie untersuchst du geometrische Objekte wie Punkte, Geraden, Dreiecke, Vierecke und Kreise ohne Zuhilfenahme von Methoden aus der linearen Algebra oder Analysis. Ausgehend von Grundbegriffen wie Punkte und Geraden definierst du hier Strecken, Winkel und ebene Figuren.

Was ist die analytische Geometrie?

Die analytische Geometrie ist – wie oben erwähnt – ein Teilgebiet der Geometrie. Mithilfe der analytischen Geometrie kannst du algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) verwenden, um geometrischer Probleme zu lösen. Sie ermöglicht es dir in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne eine zeichnerische Anschauung zur Hilfe nehmen zu müssen.

Wenn du bei der Ermittlung solcher geometrischen Probleme ohne Ansätze und ohne Bezug zu einem Zahlensystem auf einer axiomatischen Grundlage einen Lösungsansatz herleitest, bezeichnet man diese Geometrie als synthetische Geometrie.

Die Verfahren der analytischen Geometrie werden in allen Naturwissenschaften angewendet. Vor allem aber in der Physik, wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Planetenbahnen. Ursprünglich befasste sich die analytische Geometrie nur mit Fragestellungen der ebenen und der räumlichen (euklidischen) Geometrie. Im allgemeinen Sinn jedoch beschreibt die analytische Geometrie affine Räume beliebiger Dimension über beliebigen Körpern.

Entscheidendes Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem. In der Praxis verwendet man meist ein kartesisches Koordinatensystem. Für manche einfache Fragestellungen, wie etwa die Bestimmung von Schnittpunkten zweier oder mehrer Geraden oder die Untersuchung von Geraden auf Parallelität oder die Berechnung von Teilverhältnissen und vieles mehr, würde allerdings auch ein schiefwinkliges Koordinatensystem ausreichen. Unverzichtbar ist ein kartesisches Koordinatensystem, wenn man Abstände oder Winkel berechnen soll.

In der Mathematik ist der Einheitskreis jener Kreis, dessen Radius die Länge von genau 1 Einheit hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt.

Der Begriff Einheitskreis enthält die zwei Bestandteile Einheit und Kreis. Mit Kreis ist seine geometrische Form gemeint. Das heißt, es handelt sich um einen Kreis. Die Bezeichnung Einheit bezieht sich auf folgende Beobachtung: Wenn du irgendeinen Punkt entlang des Kreises annimmst, dann besitzt dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt 1 Einheit. Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch.

Für was brauche ich den Einheitskreis?

Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Definition der Winkelfunktionen  Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Winkel erweitern. Zusätzlich erlaubt er dir die charakteristischen Kurven dieser Winkelfunktionen zu konstruieren.

Allgemein ist der Rand eines →Kreises um den Ursprung mit Radius r definiert als jene Ansammlung aller Punkte P, die zum Ursprung den Abstand des Radius r besitzen.

Ein Kreis, dessen Radius die Länge r = 1 LE (Längeneinheit) hat, ist ein Einheitskreis. Ein Winkel im Einheitskreis hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung. Seine Schenkel sind die positive x-Achse und der Radius r.

Mit dem Einheitskreis Kosinus und Sinus erklären

Im Einheitskreis kannst du die Werte von Cosinus und Sinus direkt ablesen. Da die Hypotenuse (Radius r) gleich 1 ist. Somit ist dann die Länge der Ankathete gleich dem Cosinus und die Länge der Gegenkathete ist gleich dem Sinus. Du teilst ja schließlich beide durch die Hypotenuse (→Trigonometrie). Da die Hypothenuse beim Einheitskreis immer 1 ist, ist die Ankathete gleich dem Cosinus und die Gegenkathete gleich dem Sinus. Wie du dann siehst, ist der Cosinus maximal – nämlich exakt 1 – bei einem Winkel von 0° und 180° und minimal – exakt 0 – bei einem Winkel von 90° und 270°.

Der Kosinus- und Sinussatz  ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der →Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für Dreiecke in der Ebene kannst du ja denn Kosinussatz sehr einfach formulieren, für sphärische benötigst du sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Eine Zahlenfolge ist eine Vorschrift, die jeder eine zuordnet. Zahlenfolgen werden in der Mathematik oft zusammen mit Reihen behandelt.

Im Zusammenhang mit Folgen wird oft die Monotonie untersucht. Hier stellt man sich die Frage, ob die einzelnen Folgeglieder wertmäßig steigen oder fallen. Eine Folge ist monoton steigend / wachsend, wenn jedes Element mindestens genauso groß wie das vorangehende Element ist.

Arithmetische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a1 bezeichnet das erste Glied.

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge: 3, 8, 13, 18, 23, …

Was sind geometrische Folgen?  

Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Eine Folge heißt also geometrisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden Folgeglied durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht.

Eine rekursive Folge ist eine Folge bei der die Bildungsvorschrift vom n-ten Glied vom Vorgängerglied abhängt.

Wenn man hier wissen will, was das achte Glied ist, muss man also das siebente Glied kennen. Für dieses jedoch braucht man das sechste Glied. Das 6. Glied bekommt man aber nur, wenn man das fünfte kennt – so geht es immer weiter.

Man geht also solange rückwärts, bis man beim ersten Glied angekommen ist.

Häufig ist es auch möglich eine rekursive Bildungsvorschrift in eine explizite umzuschreiben und umgekehrt. Explizite Bildungsvorschriften sind dabei die “ganz normalen” Vorschriften.

Um von einer rekursiven auf die explizite Darstellung zu kommen, gehst du wie immer beim Finden der Bildungsvorschrift vor und versuchst erstmal eine Gesetzmäßigkeit zu finden.

Das bekommt man meist gut hin, indem man die ersten Glieder versucht in Abhängigkeit zum ersten zu schreiben.

Man sagt, eine Folge alterniert, wenn sich die Vorzeichen der einzelnen Folgeglieder immer wieder (bis ins Unendliche) ändern, d.h. von “plus” zu “minus” und umgekehrt.

Manchmal wird auch von einer alternierenden Folge gesprochen, wenn die Funktion stets zwischen steigender und fallender Monotonie wechselt. Diese eher unübliche Verallgemeinerung wird weiter unten besprochen.