Für quadratische Matrizen gibt es bestimmte Vektoren, die man an die Matrix multiplizieren kann. Sodass man den selben Vektor als Ergebnis erhält, nur mit einem Vorfaktor multipliziert. Solch einen Vektor nennt man Eigenvektor und der Vorfaktor heißt →Eigenwert einer Matrix.

Anhand der Eigenwerte kann man die Definitheit einer Matrix bestimmen. So sind die Eigenwerte von reellen symmetrischen Matrizen reell. Ist die Matrix echt positiv definit so sind die Eigenwerte reell und echt größer Null.

Eigenvektoren einer Abbildung sind in der linearen Algebra vom Nullvektor verschiedene Vektoren, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird. Eigenvektoren skaliert man und bezeichnet den Skalierungsfaktor als →Eigenwert der Abbildung.

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht. 

In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells. Die Verwendung der Vorsilbe „Eigen-“ für charakteristische Größen in diesem Sinne lässt sich auf eine Veröffentlichung von David Hilbert aus dem Jahre 1904 zurückführen.

Eigenvektor und Eigenwerte haben folgende Eigenschaften

Die Eigenvektoren sind nur bis auf einen Faktor bestimmt. Wenn x ein Eigenvektor ist, dann gilt das auch für q⋅x  mit beliebigem q.

Ist λ ein Eigenwert der →invertierbaren Matrix A zum Eigenvektor x, so ist 1/λ Eigenwert der inversen Matrix von A zum Eigenvektor x.

Alle Eigenwerte sind stets reell. Im Rahmen der Hauptachsentransformation nennt man die Eigenwerte auch Hauptwerte. Ist die Matrix zudem positiv definit, so sind auch ihre Eigenwerte echt positiv.

Es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren angeben.Dies ist eine direkte Folgerung aus dem Spektralsatz. Insbesondere sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten zueinander orthogonal.

Ein Eigenwert hat unendlich viele zugehörige Eigenvektoren, während ein Eigenvektor immer nur zu einem Eigenwert gehören kann. Multipliziert man die Matrix A mit dem k -fachen Eigenvektor, bleibt der dazu gehörende Eigenwert λ unverändert.

Eigenvektoren sind eindeutig bestimmt, bis auf die Multiplikation mit einem Skalar. Das heißt: Wenn x ein Eigenvektor und a ein Skalar ist, dann ist auch a * x ein Eigenvektor

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären Koeffizientenmatrix stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem Ring oder Körper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe.

Nicht zu allen quadratischen Matrizen existieren Inverse. Quadratische Matrizen, die keine Inverse besitzen, werd singulär genannt.

Eine quadratische Matrix ist singulär, wenn die ihr zugeordnete →Determinante den Wert Null hat. Lineare Gleichungssysteme mit singulärer Koeffizientenmatrix sind nicht oder nicht eindeutig lösbar. Der Aufwand für die Berechnung einer Determinante entspricht etwa dem Aufwand zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Die →inverse Matrix, Kehrmatrix oder kurz Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik eine quadratisch, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische  besitzt eine Inverse. Die invertierbaren Matrizen werden reguläre Matrizen genannt.

Jedoch existieren nicht für alle quadratische Matrizen Inverse. Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn gilt: det(A) ≠ 0 det ( A ) ≠ 0. Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also 0 beträgt, gibt es keine inversen Matrizen.

Was ist eine Orthogonale Matrix?

→Orthogonale Matrizen sind in der linearen Algebra quadratische, reelle Matrizen, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre →Transponierte.

Orthogonale Matrizen stellen Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum, also Drehungen, Spiegelungen und Kombinationen daraus, dar. Jede orthogonale Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen kann nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch eine orthogonale Matrix dargestellt werden. Die Menge der orthogonalen Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die orthogonale Gruppe.Orthogonale Matrizen werden beispielsweise bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt.

Rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Bilden die Spalten quadratischer Matrizen ein System zueinander orthogonaler Einheitsvektoren, so heißen diese orthogonale Matrizen.

Inverse von orthogonalen Matrizen sind gleichzeitig ihre Transponierten. Das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die →Einheitsmatrix. Die Determinante von orthogonalen Matrizen nimmt entweder den Wert +1 oder -1 an.

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Hier versteht man unter einer Matrix eine rechteckige Anordnung von Elementen. Mit diesen Objekten lässt sich dann in bestimmter Weise rechnen, indem man Matrizen addiert oder miteinander multipliziert.  Sie stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Du kannst sie insbesondere dazu nutzen, um lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben und zu lösen. 

Eine Anordnung von m⋅n Elementen a_ij erfolgt in m Zeilen und n Spalten. Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Indizes wird auch Hypermatrix genannt.

Die →Determinante einer Matrix gibt an, wie sich das Volumen einer aus Eckpunkten zusammengesetzten Geometrie skaliert, wenn diese durch die Matrix abgebildet wird.

Als Notation hat sich die Anordnung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen zwei großen öffnenden und schließenden Klammern durchgesetzt. In der Regel verwendet man runde Klammern, du kannst aber auch eckige verwenden.

Die Lineare Algebra (→Vektoralgebra) beschäftigt sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen. Vektorräume und deren lineare Abbildungen sind ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik. Anwendungen in Naturwissenschaften, Informatik und Wirtschaftswissenschaft.

Betrachtung und Bedeutung von Matrizen?

• Die lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus: 
• Lösen von →linearen Gleichungssystemen.
• Rechnerische Beschreibung geometrischer Objekte, der sogenannten analytischen Geometrie

In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente des Rⁿ, also n-Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und →skalare Multiplikation ausgeführt werden. 

In der Regel werden die n-Tupel als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben, das heißt, ihre Einträge stehen untereinander. 

Die Elemente der Matrix nennt man auch Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge K, in der Regel einem Körper oder einem Ring. Man spricht von einer Matrix über K. Wählt man für K die Menge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix, bei →komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, meist ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch a₁₁ beschrieben. Allgemein bezeichnet a_ij das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Bei der Indizierung wird dabei stets als erstes der Zeilenindex und als zweites der Spaltenindex des Elements genannt. Merkregel: Zeile zuerst, Spalte später. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, trenne die beiden Indizes mit einem Komma. 

So wird zum Beispiel das Matrixelement in der ersten Zeile und der elften Spalte mit a_1,11 bezeichnet.

Eine Differentialgleichung (abgekürzt auch DGL, DG, DGl. oder Dgl.) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden. Differentialgleichungen sind daher ein wesentliches Werkzeug der mathematischen Modellierung. 

Dabei beschreibt eine →Differentialgleichung das Änderungsverhalten dieser Größen zueinander. Differentialgleichungen sind ein wichtiger Untersuchungsgegenstand der Analysis, die deren Lösungstheorie untersucht. Nicht nur weil für viele Differentialgleichungen keine explizite Lösungsdarstellung möglich ist, spielt die näherungsweise Lösung mittels numerischer Verfahren eine wesentliche Rolle. Eine Differentialgleichung kann durch ein Richtungsfeld veranschaulicht werden.

Hängt die gesuchte Funktion lediglich von einer Variablen ab, so spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Es kommen lediglich gewöhnliche Ableitungen nach der einen Veränderlichen vor.

Hängt die gesuchte Funktion von mehreren Variablen ab und treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehr als einer Variable auf, so spricht man von einer →partiellen Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen sind ein großes Feld und die Theorie ist mathematisch nicht abgeschlossen, sondern Gegenstand der aktuellen Forschung in mehreren Gebieten.

Die Lösungsmenge einer Differentialgleichung ist im Allgemeinen nicht durch die Gleichung selbst eindeutig bestimmt, sondern benötigt zusätzlich noch weitere Anfangs- oder Randwerte. Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen können auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten.

Wie löse ich eine Differentialgleichung?

Grundsätzlich wird bei →Anfangs- oder Anfangsrandwertproblemen eine der Veränderlichen als Zeit interpretiert. Bei diesen Problemen werden gewisse Daten zu einem gewissen Zeitpunkt, nämlich dem Anfangszeitpunkt, vorgeschrieben. Bei den Randwert- oder Anfangsrandwertproblemen wird eine Lösung der Differentialgleichung in einem beschränkten oder unbeschränkten Gebiet gesucht und wir stellen als Daten sogenannte Randwerte, welche eben auf dem Rand des Gebietes gegeben sind.

Die Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl!

Die Variation der Konstanten ist eine Methode, die beim Lösen von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung benutzt wird. mit c ∈ R und A(x) = ∫a(x) dx bekannt. Dann liefert die →Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der DGL.

Das Verfahren „Trennung der Variablen“ liefert im Allgemeinen keine explizite Lösung der Form y= f(x). Sondern allgemeinere funktionale Zusammenhänge (mitunter die Umkehrfunktion x(y)). Das folgende Beispiel zeigt, dass es nicht immer einfach ist. Erst nach einer Substitution gelingt es, die Variablen zu trennen.

Differentialgleichungen lassen sich in homogene und inhomogene Differentialgleichungen unterscheiden. Die Lösung einer inhomogenen DGL besteht aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer speziellen Lösung (partikuläre Lösung) der inhomogenen DGL. Deshalb erfolgt das Lösungsverfahren der inhomogenen DGL, unabhängig von der Ordnung, in zwei Stufen. Dabei ist die Gesamtlösung die Summe der beiden Lösungen.

Die homogene Lösung der DGL ist Null, wenn alle Anfangsbedingungen und deren Ableitungen Null sind. Die partikuläre Lösung der DGL beschreibt das Übertragungsverhalten als erzwungene Bewegung. Je nach Systemordnung müssen alle Anfangsbedingungen y und deren Ableitungen Null sein. Die partikuläre Lösung der DGL ist in der Regelungstechnik meist von hauptsächlichem Interesse.

Mit Hilfe des Exponentialansatzes und der sich daraus ergebenden charakteristischen Gleichung lassen sich auch DGL höherer Ordnung lösen. Dieser Exponentialansatz gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene DGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.

Wie löse ich inhomogene Differentialgleichungen?

Die Variation der Konstanten ist ein Verfahren aus der Theorie linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen. Diese nutzt man zur Bestimmung einer speziellen Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Und einer inhomogenen linearen Differentialgleichung beliebiger Ordnung. Vorausgesetzt wird hierfür eine vollständige Lösung (Fundamentalsystem) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.

Wenn du eine inhomogene Differentialgleichung vor dir hast, bestimmst du die Lösung in zwei Schritten: Du berechnest die homogene Lösung  und die sogenannte partikuläre Lösung, auch spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung genannt. Zusammen ergeben sie die Gesamtlösung.

Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung lässt sich durch Variation der Konstanten auf folgende Weise lösen. Zuerst löst du die entsprechende homogene Differentialgleichung durch Trennung der Variablen. Um die inhomogene DGL zu lösen, ersetzt du die Integrationskonstante C durch eine unbekannte Funktion C (x). Die Funktionsterme für y und y‘ setzt du in die inhomogene DGL ein. Diesen Ausdruck für C (x) setzt du in die Formel für y ein und erhälst die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL. Diese Methode ist als Methode der Variation der Konstanten bekannt. Die Integrationskonstante C wird variiert, das heißt durch eine Funktion C(x) ersetzt.

Das Lösen einer Differentialgleichung höherer Ordnung ist äquivalent zum Lösen eines geeigneten Differentialgleichungssystems erster Ordnung. Auf diese Weise kann man obiges Verfahren nutzen, um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung höherer Ordnung zu konstruieren.

Zeichnet man eine beliebige Raumdiagonale des Quaders ein (z.B. jene vom Eckpunkt B zum Eckpunkt H), so entsteht ein rechtwinkeliges Dreieck (rechter Winkel im Eckpunkt D). In jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt der Lehrsatzes des Pythagoras, somit kann man mit dessen Hilfe die Länge der Raumdiagonale berechnen.

Wie berechne ich die Raumdiagonale?

Die Diagonale r von einer zur gegenüberliegenden Ecke hat die Länge der Wurzel aus (a²+b²+c²), wie leicht durch zweimalige →Anwendung des Satzes des Pythagoras zu berechnen ist. Ein Quader ist durch drei Angaben stets eindeutig bestimmt. Dieser hat 8 Ecken, die gegen den Uhrzeigersinn in Großbuchstaben beschriftet werden und besteht aus 6 Begrenzungsflächen (Rechtecke), von denen jeweils 2 gleich groß sind. Gegenüberliegende Begrenzungsflächen eines Quaders sind kongruent (deckungsgleich).

Wie viele Grundflächen hat ein Würfel?

Der Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Jeweils vier Kanten des Quaders sind gleich lang.

Ein Würfel (auch Hexaeder/Sechsflächner/Kubus genannt) ist ein geometrischer Körper, der aus 6 aneinanderliegenden Quadratflächen besteht (Begrenzungsflächen). Alle Seiten der Quadratflächen haben die gleiche Länge und stehen senkrecht aufeinander, zwei Seiten liegen jeweils parallel gegenüber.

Für Würfel gelten folgende Formeln: Ist a die Kantenlänge, so ist das Volumen gleich a*a*a; die Oberfläche ist gleich 6*a*a und die Grundfläche hat den Flächeninhalt a*a. Die Diagonalen auf einer Seite haben jeweils die Länge Wurzel aus (a²+a²), da sie einfach Diagonalen eines Quadrates sind.

Jeder Würfel hat sechs Flächen, die aus gleich großen Quadraten bestehen. Daher besitzt ein Würfel acht Ecken und zwölf gleich lange Kanten. Die Kanten des Würfels bilden zueinander rechte Winkel. Ein Würfel ist also ein spezieller Quader, da alle Kanten gleich lang sind.

Da es sich bei den Seitenflächen um Quadrate handelt, sind die jeweiligen 4 Eckpunkte einer Seitenfläche gleich weit von Mittelpunkt dieser Fläche entfernt. Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn.