Reguläre, Inverse und Orthogonale Matrix

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären Koeffizientenmatrix stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem Ring oder Körper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe.

Nicht zu allen quadratischen Matrizen existieren Inverse. Quadratische Matrizen, die keine Inverse besitzen, werd singulär genannt.

Eine quadratische Matrix ist singulär, wenn die ihr zugeordnete →Determinante den Wert Null hat. Lineare Gleichungssysteme mit singulärer Koeffizientenmatrix sind nicht oder nicht eindeutig lösbar. Der Aufwand für die Berechnung einer Determinante entspricht etwa dem Aufwand zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.

Die →inverse Matrix, Kehrmatrix oder kurz Inverse einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik eine quadratisch, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische  besitzt eine Inverse. Die invertierbaren Matrizen werden reguläre Matrizen genannt.

Jedoch existieren nicht für alle quadratische Matrizen Inverse. Eine Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn gilt: det(A) ≠ 0 det ( A ) ≠ 0. Zu Matrizen, in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also 0 beträgt, gibt es keine inversen Matrizen.

Was ist eine Orthogonale Matrix?

→Orthogonale Matrizen sind in der linearen Algebra quadratische, reelle Matrizen, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal bezüglich des Standardskalarprodukts sind. Damit ist die Inverse einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre →Transponierte.

Orthogonale Matrizen stellen Kongruenzabbildungen im euklidischen Raum, also Drehungen, Spiegelungen und Kombinationen daraus, dar. Jede orthogonale Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Skalarprodukträumen kann nach Wahl je einer Orthonormalbasis durch eine orthogonale Matrix dargestellt werden. Die Menge der orthogonalen Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die orthogonale Gruppe.Orthogonale Matrizen werden beispielsweise bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt.

Rechnerisch sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Bilden die Spalten quadratischer Matrizen ein System zueinander orthogonaler Einheitsvektoren, so heißen diese orthogonale Matrizen.

Inverse von orthogonalen Matrizen sind gleichzeitig ihre Transponierten. Das Produkt einer orthogonalen Matrix mit ihrer Transponierten ergibt die →Einheitsmatrix. Die Determinante von orthogonalen Matrizen nimmt entweder den Wert +1 oder -1 an.

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