Eine Sinusschwingung ist eine regelmäßige (periodische) Schwingung um einen Nullpunkt. Ihre Maßeinheit ist Schwingung pro Sekunde, gleich Hertz. Zur Beschreibung einer harmonischen Schwingung wird im Allgemeinen die →Sinusfunktion verwendet. In der Form:

𝑦(𝑡)=𝑦⋅sin(𝜔⋅𝑡 + ϕ)  oder 𝑦(𝑡)=𝑦⋅sin(2𝜋𝑇⋅𝑡 + ϕ)

Hierbei hat die Schwingung zur Zeit 𝑡=0 die Auslenkung (Elongation) null und beginnt in die positive 𝑦-Richtung zu schwingen.

• Bei einer periodischen Bewegung hat ein Körper nach einer Periodendauer 𝑇  wieder den gleichen Bewegungszustand
• Dabei gilt für die Frequenz einer periodischen Bewegung gilt 𝑓=1/𝑇
• Die Amplitude einer Schwingung ist der Betrag des Maximalwerts der Auslenkung aus der Ruhelage.

Eine Sinus Funktion erhalten wir, wenn wir mit einem Messgerät an unsere Steckdose gehen und die Spannung aufzeichnen. Der →Graph zeigt einen Sinus-Verlauf der Funktion y = sin(x).

Wie auch bei normalen Gleichungen, kann man für das x verschiedene Werte einsetzen. Wobei du in einfachen Beispielen am Besten die Werte 0, π/2, π, 3π/2 und 2π in die Gleichung einsetzt (Taschenrechner auf RAD stellen ). Je nach Mathelehrer und Bundesland können noch Begriffe wie Amplitude, Schwingdauer, Frequenz und Phase im Unterricht auftauchen.

Was ist die harmonische Sinusschwingung?

Die harmonische Schwingung ist somit definiert als die durch den Schatten eines gleichförmig rotierenden Zeigers zustande kommende Bewegungsform.

• A …Länge des Zeigers. (Diese Größe wird auch die Amplitude der harmonischen Schwingung genannt).
• ϕ …(Momentaner) Winkel des Zeigers (im Bogenmaß).
• x …(Momentane) Position des schwingenden Punktes. (Diese Größe wird positiv oder negativ gesetzt, je nachdem, ob der Zeiger nach oben oder nach unten weist. Dabei ist ihr Betrag gleich der Länge des Schattens. Sie wird auch die Elongation der harmonischen Schwingung genannt).
• ω …Winkelgeschwindigkeit der →Rotation des Zeigers. (Diese Größe nennt man auch die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung).

Zeigerdiagramme

Um eine Sinusfunktion im Zeitbereich zu zeichnen, lässt man einen Zeiger mit der Länge 1 rotieren. Da der Sinus definiert ist als Gegenkathete zur Hypotenuse und die Länge des Zeigers die →Hypotenuse darstellt, kann man den Sinus eines Winkels direkt ab der Gegenkathete ablesen.

In Mathematikbüchern findet man in etwa die folgende Definition: Der Steigungswinkel einer Geraden ist derjenige im mathematisch positiven Sinn gemessene Winkel α , den die Gerade mit der positiven x -Achse einschließt.

Die Steigung (der Anstieg) k oder m ist konstant. Wie kannst du bei einer gegebenen Geraden diese Steigung ablesen? Indem du ein Steigungsdreieck einzeichnest. Du wählst dazu einen beliebigen Punkt der Geraden. Sobald du in x-Richtung eine Einheit nach rechts gehst, führt immer die konstante Streckenlänge k in y-Richtung zur Geraden zurück. Du kannst auch mehrere Einheiten in x-Richtung entlang gehen. Die entsprechende Streckenlänge, die in y-Richtung zur Geraden zurückführt, entspricht dann dem k-Fachen der x-Richtung. Dadurch kannst du mit Trigonometrie den Steigungswinkel berechnen.

In der Mathematik, insbesondere in der Analysis, ist die Steigung (auch als Anstieg bezeichnet) ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder einer Kurve. Am Betrag der Steigung kannst du erkennen, wie steil der Graph einer lineraen Funktion steigt oder fällt. Je größer der Betrag der Steigung ist, umso steiler steigt oder fällt die Gerade.

Was ist das Problem beim Steigungswinkel?

Das Problem, die Steigung zu ermitteln, stellt sich dabei nicht nur bei geometrischen Fragestellungen, sondern beispielsweise auch in der Physik oder in der Volkswirtschaftslehre. So entspricht etwa die Steigung in einem Zeit-Weg-Diagramm der Geschwindigkeit oder die →Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm der Stromstärke.

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft.

Aus der Steigung einer Geraden lässt sich mit Hilfe der Tangens- und Arcustangens-Funktion der zugehörige Steigungs- bzw. Neigungswinkel der Geraden bezogen auf die positive x -Achse berechnen.

Ein Zusammenhang aus der →Trigonometrie besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens von einem der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten der jeweiligen Gegen- und Ankathete ist, womit klar wird, dass die Steigung zugleich der Tangens des Steigungswinkels (in Grad) gegenüber der positiven x-Achse ist.

In der Mathematik und Geodäsie versteht man unter einem System von polaren Koordinaten (auch: Kreiskoordinatensystem) ein zweidimensionales Koordinatensystem  Punkt in einer Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt und den Winkel zu einer festen Richtung festgelegt wird.

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem. Im zwei- und dreidimensionalen Raum handelt es sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich viele geometrische Sachverhalte in diesem anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

Der feste Punkt wird als Pol bezeichnet; er entspricht dem Ursprung bei einem kartesischen Koordinatensystem. Der vom Pol in der festgelegten Richtung ausgehende Strahl heißt Polarachse. Der Abstand vom Pol wird meist mit r bezeichnet und heißt Radius oder Radialkoordinate, der Winkel wird mit φ bezeichnet und heißt Winkelkoordinate, Polarwinkel, Azimut oder Argument.

Umrechnung von kartesischen in polare Koordinaten

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger, weil man mathematisch gesehen dabei immer auf eine (nicht den gesamten Wertebereich des Vollwinkels umfassende) trigonometrische Umkehrfunktion angewiesen ist. Zunächst kannst du aber der Radius r mit dem Satz des Pythagoras einfach berechnen.

Die Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.

Polarkoordinaten bilden einen Spezialfall von orthogonalen krummlinigen Koordinaten. Sie sind hilfreich, wenn sich das Verhältnis zwischen zwei Punkten leichter durch Winkel und Abstände beschreiben lässt, als dies mit

x- und y-Koordinaten der Fall wäre. In der Geodäsie sind Polarkoordinaten die häufigste Methode zur Einmessung von Punkten (Polarmethode). Wobei in der Funknavigation wird das Prinzip oft als „Rho-Theta“ (für Distanz- und Richtungsmessung) bezeichnet.

In der Mathematik misst man die Winkelkoordinate im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn). Benutzt man gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem, so dient in der Regel dessen Koordinatenursprung als Pol und die x-Achse als Polarachse. Die Winkelkoordinate misst man also von der x-Achse aus in Richtung der y-Achse. In der Geodäsie und in der Navigation wird das Azimut von der Nordrichtung aus im Uhrzeigersinn gemessen.

Unter einem Bruchterm versteht man einen Bruch aus Zähler und Nenner bei dem im Nenner mindestens eine Variable vorkommt. Einen Bruchterm zu kürzen, bedeutet, den Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. 

Unter Bruchtermen versteht man eigentlich nur solche Terme mit Brüchen, bei denen die Variable auch im Nenner vorkommt. Bruchterme, also Rechenausdrücke in der Form von gemeinen Brüchen, spielen in der elementaren Algebra eine wichtige Rolle. Im Allgemeinen enthalten Bruchterme neben Zahlen auch Variablen. Die Rechenregeln für →Brüche können auch auf Bruchterme angewendet werden.

Zwei Brüche werden miteinander multipliziert, indem man sowohl die beiden Zähler, als auch die beiden Nenner miteinander multipliziert.  Brüche solltest du vor dem Multiplizieren Kürzen.

Wie berechne ich einen Bruchterm?

Wenn man Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl/Variable multipliziert, verändert sich der Wert des Bruchterms nicht. Die Erweiterung von Bruchtermen ist erforderlich, wenn Bruchterme mit ungleichnamigen Nenner auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden sollen.

Zwei Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem man ihre Zähler addiert. Der Nenner verändert sich bei der Addition nicht. Er wird einfach beibehalten.

→Kürzen von Bruchtermen: Bruchterme werden gekürzt, indem man Zähler und Nenner durch demselben Faktor (Zahl, Variable, Term) dividiert.

Wie dividiert man Bruchterme? Dies macht man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Dabei werden vom zweiten Bruch Zähler und Nenner vertauscht. Im Anschluss multiplizieren wir Zäher mit Zähler und wir multiplizieren Nenner mit Nenner. Da Zähler und Nenner gleich sind kann man auf 1 kürzen.

Wann ist ein Bruch nicht definiert? Da Bruchterme oftmals eine oder mehrere Variablen im Nenner vorweisen, ist deren →Definitionsmenge häufig auch eingeschränkt. Bereits in der Grundschule hat man ja in Mathe gelernt, dass der Nenner eines Bruchs nicht gleich null werden darf. Ist nämlich dies der Fall, dann ist dieser Bruch nicht definiert.

Wie Addiert man Brüche mit variablen? Indem du ihre Zähler addierst. Der Nenner verändert sich bei der Addition nicht. Er wird einfach beibehalten. Nach dem Addieren lässt sich der Bruch oftmals noch vereinfachen.

In der Mathematik ist eine abschnittsweise definierte Funktion (auch stückweise Funktion, hybride Funktion) eine Funktion, die durch mehrere Unterfunktionen definiert ist. Wobei man jede Unterfunktion auf ein bestimmtes Intervall des Bereichs der Hauptfunktion, einen Unterbereich, anwendet. Die abschnittsweise  definierte Funktion ist eigentlich eher eine Möglichkeit, die Funktion auszudrücken, als ein Merkmal der Funktion selbst. Aber mit zusätzlicher Qualifikation kann sie die Natur der Funktion beschreiben. Zum Beispiel ist eine stückweise Polynomfunktion eine Funktion, die ein Polynom auf jeder ihrer Unterdomänen ist, aber möglicherweise auf jeder ein anderes Polynom.

Warum abschnittsweise definierte Funktion?

Das Wort abschnittsweise verwendet man auch, um jede Eigenschaft einer stückweise definierten Funktion zu beschreiben. Die für jedes Stück, aber nicht notwendigerweise für die gesamte Domäne der Funktion gilt. Eine Funktion ist stückweise differenzierbar oder stückweise kontinuierlich differenzierbar, wenn jeder Abschnitt in seiner gesamten Subdomäne differenzierbar ist.

Auch wenn die gesamte Funktion an den Punkten zwischen den Abschnitten nicht differenzierbar ist. In der konvexen Analyse kannst du bei abschnittsweisen Funktionen den Begriff der Ableitung durch den des Subderivats ersetzen. Obwohl die „Stücke“ in einer stückweisen Definition nicht Intervalle sein müssen, wird eine Funktion nicht als „abschnittsweise linear“ oder „stückweise kontinuierlich“ oder „stückweise differenzierbar“ bezeichnet, es sei denn, die Stücke sind Intervalle.

Die Treppenfunktionen sind sowohl den einfachen Funktionen als auch den Sprungfunktionen sehr ähnlich. Du solltest sie aber nicht mit diesen verwechseln. So nehmen beispielsweise einfache Funktionen auch nur endlich viele Werte an, können aber trotzdem viel komplexer sein, da sie nicht über Intervalle auf dem Grundraum definiert werden, sondern über messbare Mengen. So ist beispielsweise die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion, aber keine Treppenfunktion im hier genannten Sinne, da sie über abzählbar viele Sprungstellen hat und in keinem noch so kleinen Intervall konstant ist. Außerdem werden einfache Funktionen auf beliebigen Messräumen definiert, wohingegen Treppenfunktionen bloß auf R definiert werden. Allerdings ist jede Treppenfunktion auch immer eine einfache Funktion.

Die Sprungfunktionen sind wie die Treppenfunktionen auch auf den reellen Zahlen definiert. Allerdings sind sie immer monoton wachsend, können aber auch abzählbar viele Sprungstellen haben.

Eine Treppenfunktion ist in der Mathematik eine spezielle reelle Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist. Dadurch erhält der Funktionsgraph einer Treppenfunktion sein charakteristisches und namensgebendes Aussehen, das einer auf- und absteigenden Treppe ähnelt.

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Wurzel aus einem oder mehreren Termen vorkommt, möglicherweise auch in ineinander geschachtelter Form. Wurzelgleichungen löst man, indem man zuerst die Wurzel alleine stellt, dann die gesamte Gleichung quadriert und anschließend die daraus entstandene Gleichung löst. 

Lösungen dieser Gleichung müssen nicht unbedingt Lösung der →Wurzelgleichung sein, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, deshalb ist eine Probe mit diesen Lösungen erforderlich. Quadratische Lösungsformel

Wurzelgleichungen sind in der elementaren Algebra Bestimmungsgleichungen, bei denen die Unbekannte (meist als x bezeichnet) mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Dabei kann es sich um Quadratwurzeln oder um Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten handeln. 

Wie löse ich eine Wurzelgleichung?

Viele Wurzelgleichungen lassen sich dadurch auflösen, dass man eine Wurzel isoliert und anschließend die beiden Seiten der Gleichung mit dem Wurzelexponenten potenziert. Falls nötig, wiederholt man dieses Verfahren, bis alle Wurzeln eliminiert sind.Es ist zu beachten, dass das Potenzieren mit einer geraden Zahl keine Äquivalenzumformung ist. 

Kann aus einer falschen Aussage wie 2 = −2 eine wahre Aussage, nämlich 2² = (−2)², machen. 

Beim →Potenzieren können Scheinlösungen hinzukommen. Die Probe ist folglich für Wurzelgleichungen unverzichtbar. Um eine Wurzel wegzubekommen, kannst du mit der Wurzel der selben Zahl multiplizieren. Oder stattdessen die Zahl unter der Wurzel hoch 1/2 schreiben.

Unter dem Quadrieren versteht man eine Multiplikation einer Zahl (einer Variablen) mit sich selbst. Die Hochzahl (der Exponent) beträgt also 2. Quadrate von negativen ganzen Zahlen sind immer positiv. Da die Multiplikation einer negativen Zahl mit einer weiteren negativen Zahl immer eine positive Zahl ergibt.

Wie beseitigt man Wurzeln im Nenner?

Der einfachste Weg, Quadratwurzeln aus dem Nenner zu entfernen, ist, den Nenner mit der Wurzel, die entfernt werden soll, zu multiplizieren. Da Sie den Wert des Bruchs nicht verändern dürfen, müssen Sie den Zähler mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Wurzelziehen im Reellen ist eine →Äquivalenzumformung. Die Wurzelfunktion ist nämlich bijektiv. Dagegen ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Schränkt man die Quadratfunktion etwa auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, so wird sie auch bijektiv.

Beim →teilweisen Wurzelziehen zerlegst du die teilweise-ziehbare Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht-ziehbaren Teil. Das bedeutet, dass du den Radikanden unter der Wurzel in ein Produkt aus zwei Zahlen zerlegst. Von einer dieser Zahlen musst du die Wurzel ziehen können.

Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Der Wurzelexponent verändert sich beim Multiplizieren nicht.