Wie löst man eine Extremwertaufgabe

Extremwertaufgabe

Bei einer Extremwertaufgabe ist der kleinste oder der größte Wert einer Funktion f(x) zu bestimmen. Es wird also ein Maximal- oder Minimalwert gesucht. Dies ist vor allem bei Berechnungen für maximale Kosten, Material, Volumen, Flächen etc. von großer Bedeutung.

Problemaufgaben dieser Art werden gelöst, indem man zunächst die im Inneren eines vorgegebenen Intervalls liegenden relative Extremwerte mithilfe der Differentialrechnung ermittelt. Bei einem offenen Intervall muss der kleinste bzw. größte Wert lediglich im Inneren des Intervalls liegen. Dadurch ergibt sich automatisch ein relativer Extremwert.

Was ist eine Zielfunktion?

Jene Funktion deren absolutes Maximum oder Minimum im Intervall bestimmt werden soll, bezeichnet man als Zielfunktion.

Diese Zielfunktion ist am Anfang der Lösungsfindung selbstverständlich unbekannt und du musst sie dementsprechend aufgestellen.

Beim Aufstellen der Zielfunktion sollte immer überlegt werden, welches Maximum bzw. Minimum gefordert ist. Ist beispielsweise ein maximales Volumen gefordert, stellst du eine Funktion (Formel) zur Berechnung des Volumens auf. Diese entstehende Zielfunktion ist oft von mehr als einer Variable abhängig.  

Diese Variablen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Sie sind durch Nebenbedingungen (Kopplung) miteinander verbunden. Durch Verwendung von elementar geometrischen Lehrsätzen (Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Höhensatz etc.) können die Nebenbedingungen mathematisch dargestellt werden. 

Wie löse ich eine Extremwertaufgabe?

Die Zielfunktion bildest du so um, dass lediglich  eine Unbekannten mehr existiert. Durch geschicktes Umformen nach einer Variable und Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Zielfunktion ist dies einfach erreichbar.

Mithilfe der Nebenbedingungen lässt sich dann die Zielfunktion so darstellen, dass sie nur mehr von einer Variable abhängig ist.

Die Zielfunktion differenzierst (ableiten) du im Anschluss nach dieser einen Variable. Die differenzierte Zielfunktion setzt du Null und ermittelst den Maximal- oder Minimalwert.

Zur Überprüfung solltest du auch die zweite Ableitung bilden und die Extrema auf Maximum bzw. Minimum überprüfen. Um zu verhindern, dass du ein falsches Ergebnis berechnet hast, solltest du diese Werte mit dem Randwerten des Intervalls vergleichen.

Mithilfe der Differentialrechnung können lediglich relative Extremwerte mit waagerechter Tangente berechnet werden. Trifft dies nicht zu handelt es sich um einen sogenannten Sonderfall eines Randextremwertes.

Extremwertaufgabe lösen – Vorgehensweise

  1. Bestimme die Zielfunktion. Bilde zu dem Sachverhalt, den du maximieren oder minimieren möchtest, die passende Funktion.
  2. Nebenbedingung aufstellen
  3. Nebenbedingung nach einer Variable umformen
  4. Variable in Zielfunktion einsetzen
  5. Extremwert berechnen (1. Ableitung bilden und Null setzen)
  6. Zweite Variable bestimmen

Kreisbogen und Radius eines Kreissegments

Ein Kreissektor ist ein Tortenstück eines Kreises. Dieser Teilbereich wird von 2 Radien und einem Kreisbogen b begrenzt. Die Fläche eines Kreissegment berechnet man, indem man vom Flächeninhalt des Kreissektors den Flächeninhalt des Dreiecks abzieht. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei Radien aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als Mittelpunktswinkel.

Ein Teil eines Kreises heißt Kreissektor oder Kreisausschnitt. Der Teil des Umfangs, der zu diesem Kreissektor gehört, heißt Kreisbogen. Der Anteil des Kreisbogens am gesamten Umfang entspricht dem Anteil des Winkels an 360° (gesamter Kreis).

Was ist ein Kreissegment?

Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist in der Geometrie die Teilfläche einer Kreisfläche und wird von einem Kreisbogen und einer Kreissehne begrenzt. Im Gegensatz begrenzt der Kreisbogen und zwei Kreisradien den Kreissektor.

Der Zentriwinkel alpha hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt. Beträgt der Zentriwinkel α = 90° handelt es sich um gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Quadrat.

Der Flächeninhalt eines Kreissegments lässt sich aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α berechnen. Man ermittelt dazu die Flächeninhalte des entsprechenden Kreissektors und des in der Skizze dargestellten gleichschenkligen Dreiecks AMB. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, muss man diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° sind die Flächeninhalte zu addieren. Wenn der Mittelpunktswinkel genau 180° beträgt, ist das Kreissegment eine Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

Was ist der Kreisbogen?

Legt man auf einem Kreis zwei beliebige Punkte fest und verbindet diese durch Strecken mit dem Mittelpunkt des Kreises, so stellen die beiden Teile der Kreisfläche, die durch diese Strecken voneinander getrennt werden, Kreisausschnitte (auch Kreissektor genannt) dar. Ein Kreisausschnitt wird also gleichsam von zwei Radien aus einem Kreis „herausgeschnitten“. Der zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet, der Winkel zwischen den beiden Radien als Mittelpunktswinkel.

Was sind Sehne und die Höhe eines Segmentes?

Die Strecke bezeichnet, die sich ergibt, wenn man zwei Radien abträgt und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindet bezeichnet man als Sehne. Die Formel lautet s = 2·r·sin(α/2) , wobei α der Winkel zwischen den Radien ist.

Die Segmenthöhe wird auch Sagitta genannt, und die dazugehörigen Formeln lassen sich mithilfe des Satzes von Pythagoras herleiten. Die Strecke der Differenz von Radius und Segmenthöhe bildet mit der Hälfte der Kreissehne ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius als Hypotenuse

Was sind arithmetische und geometrische Zahlenfolgen?

Eine Zahlenfolge ist eine Vorschrift, die jeder eine zuordnet. Zahlenfolgen werden in der Mathematik oft zusammen mit Reihen behandelt.

Im Zusammenhang mit Folgen wird oft die Monotonie untersucht. Hier stellt man sich die Frage, ob die einzelnen Folgeglieder wertmäßig steigen oder fallen. Eine Folge ist monoton steigend / wachsend, wenn jedes Element mindestens genauso groß wie das vorangehende Element ist.

Arithmetische Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge ist dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a1 bezeichnet das erste Glied.

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge: 3, 8, 13, 18, 23, …

Was sind geometrische Folgen?  

Eine Folge heißt geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder konstant ist. Eine Folge heißt also geometrisch, wenn jedes Glied aus dem vorhergehenden Folgeglied durch Multiplikation mit einer Konstanten, dem Quotienten, hervorgeht.

Eine rekursive Folge ist eine Folge bei der die Bildungsvorschrift vom n-ten Glied vom Vorgängerglied abhängt.

Wenn man hier wissen will, was das achte Glied ist, muss man also das siebente Glied kennen. Für dieses jedoch braucht man das sechste Glied. Das 6. Glied bekommt man aber nur, wenn man das fünfte kennt – so geht es immer weiter.

Man geht also solange rückwärts, bis man beim ersten Glied angekommen ist.

Häufig ist es auch möglich eine rekursive Bildungsvorschrift in eine explizite umzuschreiben und umgekehrt. Explizite Bildungsvorschriften sind dabei die “ganz normalen” Vorschriften.

Um von einer rekursiven auf die explizite Darstellung zu kommen, gehst du wie immer beim Finden der Bildungsvorschrift vor und versuchst erstmal eine Gesetzmäßigkeit zu finden.

Das bekommt man meist gut hin, indem man die ersten Glieder versucht in Abhängigkeit zum ersten zu schreiben.

Man sagt, eine Folge alterniert, wenn sich die Vorzeichen der einzelnen Folgeglieder immer wieder (bis ins Unendliche) ändern, d.h. von “plus” zu “minus” und umgekehrt.

Manchmal wird auch von einer alternierenden Folge gesprochen, wenn die Funktion stets zwischen steigender und fallender Monotonie wechselt. Diese eher unübliche Verallgemeinerung wird weiter unten besprochen.