Die Äquivalenzumformung ist ein zentraler Begriff in der Mathematik, insbesondere beim Lösen von Gleichungen. Sie beschreibt Umformungen, die eine Gleichung so verändern, dass sie mathematisch äquivalent bleibt. Das bedeutet, dass sie dieselbe Lösungsmenge hat. Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung und die umgeformte Gleichung dieselben Lösungen haben.

Arten der Äquivalenzumformung:

1. Additions- und Subtraktionsregel:

Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.

Beispiel:

x + 3 = 7

Durch Subtraktion von 3 auf beiden Seiten:

 x + 3 – 3 = 7 – 3

erhältst du das Ergebnis

x = 4

 

2. Multiplikations- und Divisionsregel:

Du kannst beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren oder durch dieselbe Zahl (außer 0) dividieren.

Beispiel:

4x = 12

Durch Division beider Seiten durch 4:

4x / 4 = 12 / 4

erhältst du das Ergebnis

x = 3

 

3. Potenzen und Wurzeln:

Du kannst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Potenz oder Wurzel ziehen (vorausgesetzt, die Operation ist definiert).

Beispiel:

x² = 16

Durch Ziehen der Quadratwurzel auf beiden Seiten:

√x² = √16

erhältst du das Ergebnis

x = 4

Wobei du hier aufpassen musst, da es sich nur um eine Lösung der Gleichung handelt. Es existiert nämlich eine weitere Lösung:

x = (-4)

Wenn du nämlich (-4) quadrierst erhälts du ebenfalls den Wert 16

Es handelt sich um eine Quadratische Gleichung

4. Umkehrfunktionen anwenden:

Wenn eine Funktion auf eine Variable angewendet wird, kannst du die Umkehrfunktion verwenden, um diese Operation aufzulösen.

Beispiel:

ln(x) = 2

Durch Anwenden der Exponentialfunktion e entsteht folgender Ausdruck

e^{ln (x)} = e²

aufrgund der logarithmischen Rechnegesetze bleibt auf der linken Seite lediglich das x stehen

x = e²

und den Wert für e² kannst du ganz einfach mit deinem Taschenrechner berechnen. Das e ist ja lediglich die Euler´sche Zahl, die in deinem Taschenrechner eingespeichert ist.

x = 7,3890561…

Vorgehensweise bei Äquivalenzumformung:

• Identifiziere die gesuchte Variable.
• Wende Äquivalenzumformungen an (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division).
• Isoliere die Variable, indem du die Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführst, wie die Variablen im Ausdruck kombiniert sind.
• Wenn Wurzeln, Potenzen oder Logarithmen vorkommen, wende Umkehrfunktionen an, um die gesuchte Variable zu isolieren.

Diese Äquivalenzumformungen sind notwendig, um Gleichungen schrittweise zu lösen, ohne die Lösungsmenge zu verändern. Es ist wichtig, dass jede Umformung korrekt durchgeführt wird, um zu verhindern, dass Lösungen verloren gehen oder zusätzliche falsche Lösungen eingeführt werden.

Ganz wichtig ist dieser Ansatz für das Umstellen von Formeln. Das Umstellen von Formeln ist eine sehr wichtige Fähigkeit. Vor allem in der Technischen Mathematik ist dies ein wichtiges Werkzeug, wenn du eine Formel (Gleichung) nach einer bestimmten Variablen aufgelösen möchtest. Dies erfolgt oft mithilfe von Äquivalenzumformung.

Eine Funktion ist ein grundlegendes Konzept in der Mathematik und Informatik, das eine Beziehung zwischen zwei Mengen beschreibt. Der Funktionswert ist das Ergebnis, das eine Funktion liefert. Dabei wird jeder Eingabe (auch Argument oder Definitionsmenge) genau eine Ausgabe (auch Wert oder Wertemenge) zugeordnet.

Eigenschaften einer Funktion:

• Eindeutigkeit der Zuordnung: Jede Eingabe (Element der Definitionsmenge) hat genau eine Ausgabe.
• Definitionsmenge und Wertemenge: Die Funktion wird oft durch die Mengen beschrieben, aus denen die Eingabe- und Ausgabewerte stammen. Zum Beispiel  f: A  → B  bedeutet, dass die Funktion f eine Abbildung von der Menge A (Definitionsmenge) in die Menge B (Wertemenge) ist.
• Funktionsvorschrift: Eine Funktion kann durch eine Gleichung oder Regel beschrieben werden, die erklärt, wie die Eingaben in die Ausgaben umgewandelt werden. Ein Beispiel wäre f(x) = x² , das die Eingabe x quadriert.

Beispiel:
Die Funktion f(x) = 2x + 3  ordnet jeder Zahl x die Zahl  2x + 3 zu. Für x = 2 wäre das Ergebnis f(2) = 2 · 2 + 3 = 7

Stelle oder Funktionswert

Die Stelle einer Funktion bezieht sich auf einen bestimmten Wert der unabhängigen Variablen (oft als x bezeichnet), an dem die Funktion ausgewertet wird. Man verwendet den Begriff „Stelle“, um zu betonen, dass man die Funktion an genau dieser Stelle untersucht oder den Funktionswert berechnet.

Beispiel:
Betrachten wir die Funktion f(x) = x² + 3x + 2. Wenn du nun nach dem Funktionswert bei  x = 2 fragst, dann suchst du nach dem Wert der Funktion an der Stelle 2.

• Die Stelle ist hier  x = 2
• Um den Funktionswert an dieser Stelle zu berechnen, setzt du x = 2 in die Funktion ein:f(2) = 2² + 3 · 2 + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
• Der Funktionswert an der Stelle 2 ist also f(2) = 12

Die Stelle einer Funktion bezieht sich auf den x-Wert, an dem du die Funktion auswerten möchtest.
Der Funktionswert an einer Stelle ist der entsprechende y-Wert, den die Funktion an dieser Stelle liefert.

In grafischer Hinsicht ist die Stelle x der Punkt auf der horizontalen Achse, an dem du den Funktionswert (den Punkt auf der Kurve) abliest.

 

Funktionswert

Der Funktionswert ist das Ergebnis, das eine Funktion liefert, wenn du eine bestimmte Stelle (einen bestimmten x-Wert in die Funktion einsetzt. Man bezeichnet ihn oft als  f(x) oder einfach als y. Der Funktionswert hängt davon ab, welche Vorschrift oder Gleichung die Funktion beschreibt.

Beispiel:
Angenommen, wir haben die Funktion f(x) = x² + 3x + 2

• Wenn du den Funktionswert an der Stelle x = 1  berechnen möchtest, setzt du  x = 1  in die Funktionsvorschrift ein:f(1) = 1² + 3 · 1 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6Der Funktionswert bei x = 1 ist also  f(1) = 6

Der Funktionswert gibt an, welcher Wert auf der y-Achse (in einem Diagramm) der Funktion entspricht, wenn du einen bestimmten x-Wert auf der x-Achse auswählst.

Zusammenfassung

• Funktionsvorschrift: Die Regel oder Formel, die die Funktion beschreibt f(x) = x² + 3x + 2
• Stelle: Der Wert von x, den du in die Funktion einsetzt.
• Funktionswert: Der Wert, den die Funktion an einer bestimmten Stelle x liefert z.B. f(1) = 6

Hier ist meine Playlist auf Youtube zum Thema Funktionen

In der Mathematik ist ein Extremwert der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum oder Minimum ist der Wert der Funktion an einer beliebigen Stelle x, wenn in einer hinreichend kleinen lokalen Umgebung die Funktion f(x) keine größeren oder kleineren Werte annimmt

Was ist eine Extremstelle?

Die zugehörige Stelle wird lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bzw. Minimalstelle (Tiefpunkt) genannt. Allgemein kannst du alle Maxima und Minima auch als Extremstellen und die Kombination aus Stelle x und Wert f(x) als Extrempunkt bezeichnen. Alle Extrempunkte haben daher eine X- und eine Y-Koordinate. Die Extremstellen aber lediglich eine X-Koordinate

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt. Für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog dazu gleich definiert.

Vereinfacht kannst du die Extremwerte einer Funktion in zwei Schritten bestimmen:

1. Die erste Ableitung der Funktion wird null gesetzt (notwendige Bedingung). Dadurch erhältst du alle Stellen der waagerechten Tangenten der Funktion.
2. Mithilfe der zweiten Ableitung ermittelst du noch das Krümmungsverhalten an diesen Stellen und überprüfst die hinreichende Bedingung für einen Extremwert. Als hinreichende Bedingung gilt, dass die zweite Ableitung nicht 0 ist.

In einigen wenigen Fällen versagt dieses einfache Verfahren jedoch. Wenn nämlich die zweite Ableitung Null ist. Du könntest dann noch die dritte Ableitung prüfen, wenn diese nicht Null ist, handelt es sich wahrscheinlich um einen Sattelpunkt.

Es gibt einen Sonderfall

Für den Fall, das auch die dritte Ableitung verschwindet, gilt folgendes:

Besitz die Funktion eine waagerechte Tangente bei x_o, dann ist die nächste nicht verschwindende Ableitung die sogenannte n-te Ableitung. Wenn die n-te Ableitung eine gerade Ordnung besitzt und beim Einsetzen der Extremstelle x₀ in die n-te Ableitung ein Wert größer 0 herauskommt, handelt es sich um eine Minimumstelle. Bei einem Wert kleiner 0, um eine Maximumstelle. 

Ist die Ordnung n jedoch ungerade, handelt es sich an der Stelle x₀ um einen Sattelpunkt.

Klingt alles ein bisschen verwirrend, aber diese Konstellation kommt jedoch sehr selten vor. Es reicht meistens, die vereinfachten zwei Schritte auszuführen.

Bei einer Extremwertaufgabe ist der kleinste oder der größte Wert einer Funktion f(x) zu bestimmen. Es wird also ein Maximal- oder Minimalwert gesucht. Dies ist vor allem bei Berechnungen für maximale Kosten, Material, Volumen, Flächen etc. von großer Bedeutung.

Problemaufgaben dieser Art werden gelöst, indem man zunächst die im Inneren eines vorgegebenen Intervalls liegenden relative Extremwerte mithilfe der Differentialrechnung ermittelt. Bei einem offenen Intervall muss der kleinste bzw. größte Wert lediglich im Inneren des Intervalls liegen. Dadurch ergibt sich automatisch ein relativer Extremwert.

Was ist eine Zielfunktion?

Jene Funktion deren absolutes Maximum oder Minimum im Intervall bestimmt werden soll, bezeichnet man als Zielfunktion.

Diese Zielfunktion ist am Anfang der Lösungsfindung selbstverständlich unbekannt und du musst sie dementsprechend aufgestellen.

Beim Aufstellen der Zielfunktion sollte immer überlegt werden, welches Maximum bzw. Minimum gefordert ist. Ist beispielsweise ein maximales Volumen gefordert, stellst du eine Funktion (Formel) zur Berechnung des Volumens auf. Diese entstehende Zielfunktion ist oft von mehr als einer Variable abhängig.  

Diese Variablen sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Sie sind durch Nebenbedingungen miteinander verbunden. Durch Verwendung von elementar geometrischen Lehrsätzen (Strahlensätze, Satz des Pythagoras, Höhensatz etc.) können die Nebenbedingungen mathematisch dargestellt werden. 

Wie löse ich eine Extremwertaufgabe?

Die Zielfunktion bildest du so um, dass lediglich  eine Unbekannten mehr existiert. Durch geschicktes Umformen nach einer Variable und Einsetzen der Nebenbedingung(en) in die Zielfunktion ist dies einfach erreichbar.

Mithilfe der Nebenbedingungen lässt sich dann die Zielfunktion so darstellen, dass sie nur mehr von einer Variable abhängig ist.

Die Zielfunktion differenzierst (ableiten) du im Anschluss nach dieser einen Variable. Die differenzierte Zielfunktion setzt du Null und ermittelst den Maximal- oder Minimalwert.

Zur Überprüfung solltest du auch die zweite Ableitung bilden und die Extrema auf Maximum bzw. Minimum überprüfen. Um zu verhindern, dass du ein falsches Ergebnis berechnet hast, solltest du diese Werte mit dem Randwerten des Intervalls vergleichen.

Mithilfe der Differentialrechnung können lediglich relative Extremwerte mit waagerechter Tangente berechnet werden. Trifft dies nicht zu handelt es sich um einen sogenannten Sonderfall eines Randextremwertes.

Extremwertaufgabe lösen – Vorgehensweise

1. Bestimme die Zielfunktion. Bilde zu dem Sachverhalt, den du maximieren oder minimieren möchtest, die passende Funktion.
2. Nebenbedingung aufstellen
3. Nebenbedingung nach einer Variable umformen
4. Variable in Zielfunktion einsetzen
5. Extremwert berechnen (1. Ableitung bilden und Null setzen)
6. Zweite Variable bestimmen

Ein Kreissektor ist ein Tortenstück eines Kreises. Dieser Teilbereich wird zweimal durch den Kreisradius und einem Kreisbogen b begrenzt. Die Fläche eines Kreissegment berechnest du, indem du vom Flächeninhalt des vorhandenen Kreissektors den Flächeninhalt des Dreiecks abziehst. Der Teil, der zu einem Kreissektor als sichtbare Kreislinie zu sehen ist, wird als Kreisbogen bezeichnet. Der Winkel zwischen den beiden Radien wird als Mittelpunktswinkel bezeichnet. Du kannst diesen sehr oft mithilfe der Trigonometrie berechnen. Der Anteil des Kreisbogens am gesamten Umfang entspricht dem Anteil des Winkels an 360° (gesamter Kreis).

Was ist ein Kreissegment?

Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist in der Geometrie jene Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und der sogenannten Kreissehne begrenzt. Im Gegensatz dazu begrenzt der Kreisbogen und zwei Kreisradien den Kreissektor.

Der Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) α hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt. Beträgt der Zentriwinkel α = 90° hast du ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Quadrat, du hast dann auch einen Viertelkreis als Kreissektor.

Den Flächeninhalt eines Kreissegments kannst du aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α berechnen. Du berechnest dazu den Flächeninhalt des entsprechenden Kreissektors und des in des gleichschenkligen Dreiecks. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, muss du diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° addierst du die Flächeninhalte. Wenn der Zentriwinkel genau 180° ist, ergibt sich für das Kreissegment Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

Was ist der Kreisbogen?

Nimmst du auf einem Kreis zwei beliebige Punkte und verbindest diese miteinander und verbindest die Punkte ebenfalls durch Strecken mit dem Mittelpunkt des Kreises entsteht der Kreissektor. Ein Kreisausschnitt wird also rechts und links vom Radius und oben von einem teil des Umfanges des Kreises begrenzt. Dieser zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet.

Was sind Sehne und die Höhe eines Segmentes?

Die Strecke zwischen deine zwei gewählten Punkten bezeichnet man als Sehne. Diese Sehen s ergibt sich, wenn du eben die zwei Radien einzeichnest und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindest. Die Formel zur Berechnung der Länge der Sehne lautet s = 2·r·sin(^α/₂) , wobei α der Zentriwinkel zwischen den Radien ist.

Die Segmenthöhe wird auch Sagitta genannt. Die dazugehörigen Formeln mit denen du die Höhe h berechnest, kannst du mithilfe des →Satzes von Pythagoras herleiten. Denn die Strecke der Differenz von Radius r und Segmenthöhe h bildet mit der halben Kreissehne s ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius r als Hypotenuse in diesem Dreieck.

Von einem Zufallsexperiment spricht man, wenn es sich um einen Vorgang handelt, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind. Dabei darf man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen können. Als Beispiel könntest du dir folgendes vorstellen: Du wirfst einen fairen Würfel. Auf welcher Seite er landet, kannst du vor dem Verlassen des Würfels aus deiner Hand nicht  vorhersagen. Dieses Zufallsexperiment gehört somit zum Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von „gleichwahrscheinlich“.

Woran erkennst du nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zu beantworten und erfordert in vielen Fällen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele:

• Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, handelt es sich um einen fairen Würfel. Die Wahrscheinlichkeit, dass du die Zahl 1 würfelst, ist dann genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit, dass du die Zahl 6 würfelst. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment (Versuch).
• Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze (faire Münze) ist es für dich gleich wahrscheinlich „Zahl“ oder „Kopf“ zu werfen. Somit handelt es sich ebenfalls um einen Laplace Versuch.
• Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fähigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit hast du hier kein Laplace Experiment. (unterschiedliche Wahrscheinlichkeit)

Du solltest versuchen solche Aufgaben mit etwas gesundem Menschenverstand anzugehen. Hast du keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kannst du erst einmal von einem Laplace Experiment ausgehen. (gleiche Wahrscheinlichkeit bei allen Versuchen)

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Auf welcher Seite ein Würfel landet, magst du nicht vorhersagen.

Zufallsexperiment in der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Unter einem einstufigen Zufallsexperiment der Wahrscheinlichkeitsrechnung versteht man ein Zufallsexperiment, welches nur ein einziges Mal durchgeführt wird.

• Du wirfst einen Würfel einmal
• oder du wirfst eine Münze einmal

In den meisten Fällen ist es notwendig, einen Versuch mehrfach durchzuführen. So könntest du beim Wurf eines Würfels die Zahl 4 würfeln. Doch nach einem Versuch könntest du dann glauben, dass du bei einem Würfel immer die Zahl 4 werfen wirst. Aus diesem Grund sind einstufige Zufallsexperimente in den meisten Fällen nicht aussagekräftig.

Von einem mehrstufigen Zufallsexperiment sprich man, wenn ein zufälliger Vorgang mehrfach nacheinander durchgeführt wird. Beispiel: Wirf einen Würfel mehrfach hintereinander. Besteht ein mehrstufiger Zufallsversuch aus k – Teilversuchen, so handelt es sich um ein k-stufigen Zufallsexperiment. Der Ausgang eines Zufallsexperimentes kann dabei Ergebnis genannt werden. Die Ergebnismenge enthält alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.

Das Gegenereignis wird mit einem Strich über dem E dargestellt. Nimmst du die Wahrscheinlichkeit von Ereignis und Gegenereignis zusammen, ergibt dies in Summe 1 (oder 100 %). Kennst du das Ereignis kannst du damit das Gegenereignis ausrechnen und umgekehrt.