Lineare Optimierung – Ungleichungssysteme

Um eine Lineare Optimierung bzw. ein lineares Optimierungsproblem lösen zu können, solltest du mit Ungleichungen und deren Systemen vertraut sein. Eine Ungleichung ist eine Behauptung, die von einer (oder mehreren) Variablen abhängt. Allerdings behauptet sie nicht, dass zwei Terme gleich sind, sondern dass ein Term größer oder kleiner (oder größer-gleich oder kleiner-gleich) als ein anderer Term ist. Variablenwerte, die eine Ungleichung erfüllen, stellen Lösungen dar. Die Menge aller Lösungen heißt Lösungsmenge. Einfache Ungleichungen kannst du ohne großartigen Formalismus durch ein bisschen Nachdenken (nach Art einer Denksportaufgabe) lösen. Es gibt Verfahren (Äquivalenzumformungen), die gewissen Regeln genügen, systematisch angewandt helfen sie dir beim Auffinden der Lösungsmenge. Um sicher zu gehen, kannst du für einzelne „Lösungskandidaten“ immer die Probe durch Einsetzen machen. Führt sie auf eine wahre Aussage, so handelt es sich tatsächlich um eine Lösung

Allerdings gibt es auch wichtige Unterschiede zwischen Gleichungen und Ungleichungen, die du beachten solltest:

Eine Ungleichung besitzt in der Regel nicht nur eine, sondern viele (unendlich viele, siehe grafischen Lösungsansatz) Lösungen. Um die Menge all dieser Lösungen angeben zu können, sind etwas mehr mathematische Kenntnisse nötig als beim Hinschreiben einer einzigen Zahl. Die Regeln zum Umformen von Ungleichungen (Äquivalenzumformungen) sind etwas komplizierter als die Regeln zum Umformen von Gleichungen. Manchmal führen sie auf Fallunterscheidungen. Um die Lösungsmenge einer Ungleichung zu finden, sind dann mehrere vereinfachte Ungleichungen zu lösen und deren Lösungsmengen zu kombinieren.

Was ist eine Lineare Optimierung?

Ungleichungsprobleme werden manchmal von vornherein in Form mehrerer Ungleichungen gestellt. Diese sollen alle gleichzeitig erfüllt sein (oder – was auch vorkommt – von denen zumindest eine erfüllt sein soll). In solchen Fällen handelt es sich genau genommen um Ungleichungssysteme, aber diese lassen sich von den Ungleichungen weniger scharf trennen als Gleichungssysteme von Gleichungen. Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kannst du durch eine Fallunterscheidung erkennen, dass du mehrere Ungleichungen betrachten musst. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen.

Die lineare Optimierung oder lineare Programmierung beschäftigt sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt ist. Häufig lassen sich lineare Programme (LPs) zur Lösung von Problemen einsetzen, für die keine speziell entwickelten Lösungsverfahren bekannt sind, beispielsweise bei der Planung von Verkehrs- oder Telekommunikationsnetzen oder in der Produktionsplanung. 

Das ökonomische Prinzip tritt dabei in den Formen des Maximaprinzips und des Minimalprinzips auf. Beim Maximalprinzip möchte man aus einem Bestand an Mitteln (Material, Arbeitsstunden, Kapital etc.) ein möglichst großer Nutzen und/oder Gewinn erzielen. Beim Minimalprinzip soll ein Ziel mit möglichst kleinen Aufwand oder Kosten erreicht werden.

Eine Lineare Zielfunktion, deren Funktionswert maximal oder minimal werden soll und Nebenbedingungen, die die Möglichkeiten einschränken und den Lösungsbereich begrenzen, stehen dabei als mathematische Werkzeuge zur Verfügung.

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