Monotonie einer Funktion

Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun. Es gibt →Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind.

Wichtig ist dabei, dass die Monotonie nur für einen Teil des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Das bedeutet, dass du den Graph der Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen.

Wie ist die Monotonie definiert?

Eine reelle Funktion (d.h. eine Funktion, deren Definitionsmenge eine Teilmenge von ℝ ist und nur Werte in ℝ hat) heißt monoton steigend (oder monoton wachsend), wenn bei größer werdenden x-Wert auch der Funktionswert f(x) größer oder bleibt gleich. Genauso nennt man eine Funktion monoton fallend, wenn die Funktionswerte bei wachsendem x kleiner werden oder gleich bleiben.

Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der 𝑦-Wert, der Funktionswert 𝑓(𝑥), mit dem 𝑥-Wert. Das heißt, wenn der 𝑥-Wert größer wird, wir auch der 𝑦 -Wert größer.

Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur 𝑥-Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen.

Wenn eine Funktion streng monoton steigend verläuft, gilt: 𝑓′(𝑥) > 0

Die Ableitung ist größer Null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen 𝑥-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.

Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der 𝑦-Wert (𝑓(𝑥)) ab, wenn der 𝑥-Wert größer wird. Wenn eine Funktion streng monoton fallend verläuft, gilt: 𝑓′(𝑥)<0 

Die →Ableitung ist kleiner Null. Mit anderen Worten ist die Steigung an keinem Punkt positiv. Egal, welchen 𝑥-Wert man in die Ableitung einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ oder null.

Auch bei den monoton fallenden Funktionen gibt es Funktionen, die nicht als streng monoton fallend bezeichnet werden können. Dies sind dann Funktionen, die entweder fallend oder konstant, parallel zur 𝑥-Achse verlaufen.

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion. 

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