Wie kann man eine Tangente berechnen?

Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion. Untersucht werden dessen geometrische Eigenschaften. Wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw. Diese Informationen erlauben es, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind.

Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Legt man zum Beispiel eine Kugel auf ein glattes Brett, so berührt das Brett die Kugel ja nur. Das Brett wäre also eine Tangente an die Kugel. 

Findet man eine Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkt, dann kann man sagen, dass der Graph in dem Punkt die gleiche Steigung hat wie diese. Also verwendet man Tangenten oft, um gut über die Steigung eines Funktionsgraphen reden zu können.

Wie kann man eine Tangente berechnen?

Wenn du Tangenten an der Stelle x finden willst, machst du folgendes:

x in die →lineare Funktion einsetzen, dann erhält man schon mal den Punkt, an dem die Tangente berührt.

x in die Ableitung einsetzen, dann erhält man die Steigung m.

m und den obigen Punkt in die →Geradengleichung y=m*x+b einseten, dann erhält man b.

Eine Wendetangenten sind Tangenten im Wendepunkt. Waagerechte Tangenten haben die Steigung Null und beschreiben die mögliche Stelle für Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt.

Tangenten (von lateinisch: tangere ‚berühren‘) sind in der Geometrie Geraden, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berühren. Beispielsweise ist die Schiene für das Eisenbahnrad eine Tangente. Da der Auflagepunkt des Rades ein Berührungspunkt der beiden geometrischen Objekte, Gerade und Kreis, ist. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Tangenten in diesen Punkten sind die beste lineare Näherungsfunktion für die Kurve.

Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x = x0 eine waagerechte Tangente, wenn dort die erste Ableitung verschwindet, d. h. den Wert null hat: 𝑓′(𝑥0)=0. Dies kann bedeuten, dass sich dort eine Extremstelle befindet. Also ein Maximum oder Minimum der Funktion, es kann dort aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.

Monotonie einer Funktion

Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun. Es gibt →Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind.

Wichtig ist dabei, dass die Monotonie nur für einen Teil des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Das bedeutet, dass du den Graph der Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen.

Wie ist die Monotonie definiert?

Eine reelle Funktion (d.h. eine Funktion, deren Definitionsmenge eine Teilmenge von ℝ ist und nur Werte in ℝ hat) heißt monoton steigend (oder monoton wachsend), wenn bei größer werdenden x-Wert auch der Funktionswert f(x) größer oder bleibt gleich. Genauso nennt man eine Funktion monoton fallend, wenn die Funktionswerte bei wachsendem x kleiner werden oder gleich bleiben.

Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der 𝑦-Wert, der Funktionswert 𝑓(𝑥), mit dem 𝑥-Wert. Das heißt, wenn der 𝑥-Wert größer wird, wir auch der 𝑦 -Wert größer.

Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur 𝑥-Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen.

Wenn eine Funktion streng monoton steigend verläuft, gilt: 𝑓′(𝑥) > 0

Die Ableitung ist größer Null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen 𝑥-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.

Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der 𝑦-Wert (𝑓(𝑥)) ab, wenn der 𝑥-Wert größer wird. Wenn eine Funktion streng monoton fallend verläuft, gilt: 𝑓′(𝑥)<0 

Die →Ableitung ist kleiner Null. Mit anderen Worten ist die Steigung an keinem Punkt positiv. Egal, welchen 𝑥-Wert man in die Ableitung einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ oder null.

Auch bei den monoton fallenden Funktionen gibt es Funktionen, die nicht als streng monoton fallend bezeichnet werden können. Dies sind dann Funktionen, die entweder fallend oder konstant, parallel zur 𝑥-Achse verlaufen.

Die Betrachtung des Monotonieverhaltens einer Funktion ist fester Bestandteil der Kurvendiskussion.