Was ist eine Kurvendiskussion?

Unter einer Kurvendiskussion kann man in der Mathematik die Untersuchung eines Graphen einer Funktion auf dessen geometrische Eigenschaften verstehen. Wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte und →Wendepunkte. Gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw. Diese Informationen erlauben es, eine Skizze des Graphen anzufertigen. Aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind.

Es ist heute hingegen nicht mehr das Ziel einer Kurvendiskussion, die Schüler dabei zu unterstützen, eine möglichst genaue Zeichnung des →Graphen der Funktion zu produzieren. Das kann inzwischen jeder Funktionsplotter (etwa ein grafikfähiger Taschenrechner, ein Smartphone mit entsprechender Software, ein Tabellenkalkulationsprogramm oder Computeralgebra-Software) viel besser.

Das Ziel der Kurvendiskussion

  • ist vielmehr, die Koordinaten der charakteristischen Punkte des Graphen exakt zu bestimmen (aus einem Funktionsplot lassen sich lediglich ungefähre Werte ablesen)
  • Charakteristische Eigenschaften wie Symmetrie oder Verhalten im Unendlichen zu beweisen. Aus einem Funktionsplot kann man immer nur Aussagen über den abgebildeten Ausschnitt des Koordinatensystems ablesen
  • Genauer hinzusehen: ein augenscheinliches lokales Minimum kann sich – bei entsprechender Vergrößerung – als ein lokales Maximum herausstellen.

Zudem lässt sich eine Kurvendiskussion auch ganz ähnlich bei Funktionen durchführen, die von vielen Variablen abhängen (wie z. B. von x1 x2 x3 usw.). Eine Visualisierung einer derartigen Funktion in 2D oder 3D ist nicht mehr möglich.

Die Bedeutung der Kurvendiskussion wird auch vor dem Hintergrund interessant, dass in entscheidungsunterstützenden Systemen Hoch- bzw. Tiefpunkte automatisch zu berechnen sind. Soll beispielsweise die Auswirkung der Veränderung einer Randbedingung auf die zu optimierende Größe untersucht werden, so würde solch ein System den jeweiligen Extremwert anzeigen bzw. grafisch visualisieren. Während ein Wert, der die Randbedingung beschreibt (etwa die Höhe einer Ressource), variiert wird.

Bei einer Kurvendiskussion wird fast immer die Menge R aller reellen Zahlen als Grundmenge vorausgesetzt. Der maximale Definitionsbereich einer Funktion f ist also die Menge aller reellen Zahlen x, für die der Funktionswert

f(x) definiert ist. Für →ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) ist der maximale Definitionsbereich gleich R. Bei gebrochenrationalen Funktionen gehören alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners zum maximalen Definitionsbereich.

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