Was ist eine Wurzelgleichung?

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Wurzel aus einem oder mehreren Termen vorkommt, möglicherweise auch in ineinander geschachtelter Form. Wurzelgleichungen löst man, indem man zuerst die Wurzel alleine stellt, dann die gesamte Gleichung quadriert und anschließend die daraus entstandene Gleichung löst. 

Lösungen dieser Gleichung müssen nicht unbedingt Lösung der →Wurzelgleichung sein, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, deshalb ist eine Probe mit diesen Lösungen erforderlich. Quadratische Lösungsformel

Wurzelgleichungen sind in der elementaren Algebra Bestimmungsgleichungen, bei denen die Unbekannte (meist als x bezeichnet) mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Dabei kann es sich um Quadratwurzeln oder um Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten handeln. 

Wie löse ich eine Wurzelgleichung?

Viele Wurzelgleichungen lassen sich dadurch auflösen, dass man eine Wurzel isoliert und anschließend die beiden Seiten der Gleichung mit dem Wurzelexponenten potenziert. Falls nötig, wiederholt man dieses Verfahren, bis alle Wurzeln eliminiert sind.Es ist zu beachten, dass das Potenzieren mit einer geraden Zahl keine Äquivalenzumformung ist. 

Kann aus einer falschen Aussage wie 2 = −2 eine wahre Aussage, nämlich 22 = (−2)2, machen. 

Beim →Potenzieren können Scheinlösungen hinzukommen. Die Probe ist folglich für Wurzelgleichungen unverzichtbar. Um eine Wurzel wegzubekommen, kannst du mit der Wurzel der selben Zahl multiplizieren. Oder stattdessen die Zahl unter der Wurzel hoch 1/2 schreiben.

Unter dem Quadrieren versteht man eine Multiplikation einer Zahl (einer Variablen) mit sich selbst. Die Hochzahl (der Exponent) beträgt also 2. Quadrate von negativen ganzen Zahlen sind immer positiv. Da die Multiplikation einer negativen Zahl mit einer weiteren negativen Zahl immer eine positive Zahl ergibt.

Wie beseitigt man Wurzeln im Nenner?

Der einfachste Weg, Quadratwurzeln aus dem Nenner zu entfernen, ist, den Nenner mit der Wurzel, die entfernt werden soll, zu multiplizieren. Da Sie den Wert des Bruchs nicht verändern dürfen, müssen Sie den Zähler mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Wurzelziehen im Reellen ist eine →Äquivalenzumformung. Die Wurzelfunktion ist nämlich bijektiv. Dagegen ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Schränkt man die Quadratfunktion etwa auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, so wird sie auch bijektiv.

Beim →teilweisen Wurzelziehen zerlegst du die teilweise-ziehbare Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht-ziehbaren Teil. Das bedeutet, dass du den Radikanden unter der Wurzel in ein Produkt aus zwei Zahlen zerlegst. Von einer dieser Zahlen musst du die Wurzel ziehen können.

Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Der Wurzelexponent verändert sich beim Multiplizieren nicht.

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