Was sind Nullstellen einer Funktion?

Mit Nullstellen bezeichnet man die Stellen auf der x-Achse, an der der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Da der Punkt direkt auf der x-Achse liegt und die x-Achse die y-Achse im Koordinatenursprung schneidet, ist der zugehörige y-Wert gleich Null, also y = 0.

Wir wollen einen Punkt auf der x-Achse ausrechnen, den y-Wert haben wir schon, der ist schließlich Null, aber der x-Wert fehlt uns noch. Deshalb stellen wir die Funktion nach x um.

Die Nullstelle ist ein Begriff aus dem Bereich der Mathematik, der sich mit Funktionen und ihren Verläufen und Eigenschaften befasst. Dabei versteht man unter Nullstellen die x-Werte, die eingesetzt in eine Funktion f den Funktionswert Null liefern. Wie viele Nullstellen es gibt hängt von der jeweiligen Funktion, dem Grad des höchsten Polynoms ab.

Welche Zuordnung gilt bei Funktionen?

Für die Zuordnung eines Funktionswertes y zu einem Argument x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:
x wird abgebildet auf f von x
f von x wird x eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das ↦-Symbol in der Symbolik steht)
y gleich f von x (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)
y ist das Bild von x unter der Abbildung f

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „y ist eine Funktion von x“, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen y von einer anderen Variablen x, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen
x und y die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird.

Nullstellen sind Argumente

Nullstellen von Funktionen sind Argumente („x-Werte“), die eingesetzt den Funktionswert („y-Wert“) null liefern. Der Wortbestandteil „Stelle“ deutet dabei an, dass es sich um Elemente des Definitionsbereiches handelt. Bei reellen Funktionen sind das genau die Stellen der x-Achse, an denen der Graph einer Funktion f die x-Achse berührt oder schneidet. Nullstellen von →Polynomen werden auch als Wurzeln bezeichnet.

Untersucht man ein Intervall einer differenzierbaren Funktion f, so gelten folgende vier Zusammenhänge: Gilt für alle Werte des Intervalls I …
• … dass f'(x) immer größer 0 ist, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
• … dass f'(x) immer kleiner 0 ist, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
Da die erste Ableitung der Funktion f'(x) bekanntlich die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x liefert, ist nachvollziehbar, dass bei →positiver Steigung die Funktionswerte ebenfalls steigen müssen und bei negativer Steigung die Funktionswerte fallen müssen.

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