Die Bruchzahlen sind definiert als Quotient aus ganzer Zahl und natürlicher Zahl. Das eigentlich Verwirrende daran ist aber, dass man in der Schule zuerst die natürlichen Zahlen kennen lernt, dann die Bruchzahlen, danach die ganzen Zahlen und später erst die rationalen Zahlen. Deshalb können wir erst einmal die Bruchzahlen nur mit natürlichen Zahlen (also positiven ganzen Zahlen) definieren.

Was sind Zähler und Nenner bei Bruchzahlen?

Für Zähler und Nenner dürfen beliebige natürliche Zahlen stehen (später lassen wir auch negative Zahlen zu, sodass ganze Zahlen auch erlaubt wären). Der Strich heißt Bruchstrich und macht genau das, was wir bis jetzt durch das Geteilt-Zeichen ausgedrückt haben. Er teilt den Zähler durch den Nenner. Im Nenner darf übrigens keine Null stehen, aber da der Nenner immer eine natürliche Zahl ist und wir die natürlichen Zahlen ohne Null definiert haben, besteht die Gefahr nicht.

Bruchzahlen zu kürzen bedeutet, den Zähler und den Nenner des Bruchs durch die gleiche Zahl zu teilen. Dabei darfst du nicht durch die Zahl 0 teilen.

Ein Bruch erweitern bedeutet, den Zähler und den Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Eine Multiplikation mit Null ist dabei nicht zulässig.

Die Rechenregeln beimBruchrechnen

Brüche addieren und subtrahieren. Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren , musst du diese zunächst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen. Dann addierst oder subtrahierst du lediglich die Zähler. Der gemeinsame Nenner bleibt gleich.

Zwei Brüche multiplizierst du miteinander, indem du sowohl die beiden Zähler, als auch die beiden Nenner miteinander multiplizierst. …
Trick 1: Brüche VOR dem Multiplizieren Kürzen! … Trick 2: „über Kreuz“ Kürzen! …

So funktioniert die Division von Brüchen, der erste Bruch bleibt wie er ist. Statt dem dividiert schreibst du mal geschrieben. Der zweite Bruch wird umgedreht, Zähler und Nenner vertauscht. Die beiden „neuen“ Brüche multiplizierst du dann. Genauso, wie du Brüchen multiplizierst: Zähler · Zähler und Nenner · Nenner.

Ein Doppelbruch ist in der Mathematik ein Term, bei dem ein Bruch durch einen weiteren Bruch geteilt wird. Es ist möglich, statt des üblichen Zeichens für Division einen weiteren Bruchstrich zu schreiben, bei dem Zähler und Nenner wiederum Brüche sind. Doppelbrüche lassen sich durch Erweitern mit einem geeigneten Faktor vereinfachen.

Folgende Regel ist bekannter und einfacher zu verstehen: Doppelbrüche werden vereinfacht, indem der Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multipliziert wird.

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y-Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.

Was ist die Definitionsmenge?

Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Zielmenge Z zu. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein.

Statt Definitionsmenge D wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von D heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, einfacher auch x-Werte. Die Zielmenge Z wird auch Wertemenge oder Wertebereich genannt, die Elemente von Z heißen Zielwerte oder Zielelemente, oder auch y-Werte. Diejenigen Elemente von Z, die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder.

Grafische Darstellung einer Funktion?

Eine Funktion kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes

Analog kann man Funktionen visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist die Funktion stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist g stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat.
Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge zumindest ein Urbild hat. Zu beliebigem y gibt es ein x.
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Meine Videos →Funktionen

Die „Ganzen Zahlen“ (auch Ganzzahlen) sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Diese Menge an Zahlen umfassen alle Zahlen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … und enthalten damit alle natürlichen Zahlen sowie deren additive Inverse (Gegenzahl). Die Menge dieser Zahlen wird meist mit dem Buchstaben mit Doppelstrich Z bezeichnet.

In der Mathematik werden durch die Begriffe Nachfolger und Vorgänger die gedanklichen Konzepte der Abstammung oder Amtsnachfolge und des Zählens formalisiert und verallgemeinert.

Was ist ein Nachfolger bei den „ganzen Zahlen“?

Beim Zählen ist der Nachfolger einer ganzen Zahl intuitiv die nächstgrößere Zahl: So ist etwa 2 der Nachfolger von 1, 3 der Nachfolger von 2 usw. Beim Abwärtszählen kommt man von 9 zu ihrem Vorgänger 8 usw. Diese an sich naive Entdeckung, die Kinder immer wieder im Spiel nachvollziehen, kann man zu einer mathematischen Charakterisierung der natürlichen Zahlen formalisieren.

Beim Aufwärts- und Abwärtszählen stellt man fest, dass es auf die Bedeutung der Zahlwörter gar nicht ankommt, sondern nur auf ihre Reihenfolge. Diese Feststellung lässt eine Verallgemeinerung der Zählnachbarn Vorgänger und Nachfolger auf Graphen und geordnete Mengen zu

Der Betrag einer Zahl ergibt sich als der Abstand der Zahl auf dem Zahlenstrahl von der Null. Man erhält ihn durch Weglassen des Vorzeichens

Wie lauten die Rechengesetze?

Das →Kommutativgesetz der Addition besagt, dass sich das Ergebnis einer Addition nicht ändert, wenn man die Reihenfolge der Summanden vertauscht. Summanden darf man vertauschen!

Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass sich das Ergebnis einer Multiplikation nicht ändert, wenn man die Reihenfolge der Faktoren vertauscht. Faktoren darf man vertauschen!

Das →Assoziativgesetz, auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Das →Distributivgesetz ist im Grunde ein Gesetz zum Ausmultiplizieren von Klammern. Das bedeutet, man hat ein Produkt (oder Quotienten) aus einer Zahl und einer Klammer – oder auch aus zwei Klammern. In diesen Klammern stehen Summen oder Differenzen.

Mit Nullstellen bezeichnet man die Stellen auf der x-Achse, an der der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Da der Punkt direkt auf der x-Achse liegt und die x-Achse die y-Achse im Koordinatenursprung schneidet, ist der zugehörige y-Wert gleich Null, also y = 0.

Wir wollen einen Punkt auf der x-Achse ausrechnen, den y-Wert haben wir schon, der ist schließlich Null, aber der x-Wert fehlt uns noch. Deshalb stellen wir die Funktion nach x um.

Die Nullstelle ist ein Begriff aus dem Bereich der Mathematik, der sich mit Funktionen und ihren Verläufen und Eigenschaften befasst. Dabei versteht man unter Nullstellen die x-Werte, die eingesetzt in eine Funktion f den Funktionswert Null liefern. Wie viele Nullstellen es gibt hängt von der jeweiligen Funktion, dem Grad des höchsten Polynoms ab.

Welche Zuordnung gilt bei Funktionen?

Für die Zuordnung eines Funktionswertes y zu einem Argument x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:
x wird abgebildet auf f von x
f von x wird x eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das ↦-Symbol in der Symbolik steht)
y gleich f von x (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)
y ist das Bild von x unter der Abbildung f

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „y ist eine Funktion von x“, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen y von einer anderen Variablen x, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen
x und y die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird.

Nullstellen sind Argumente

Nullstellen von Funktionen sind Argumente („x-Werte“), die eingesetzt den Funktionswert („y-Wert“) null liefern. Der Wortbestandteil „Stelle“ deutet dabei an, dass es sich um Elemente des Definitionsbereiches handelt. Bei reellen Funktionen sind das genau die Stellen der x-Achse, an denen der Graph einer Funktion f die x-Achse berührt oder schneidet. Nullstellen von →Polynomen werden auch als Wurzeln bezeichnet.

Untersucht man ein Intervall einer differenzierbaren Funktion f, so gelten folgende vier Zusammenhänge: Gilt für alle Werte des Intervalls I …
• … dass f'(x) immer größer 0 ist, dann ist die Funktion streng monoton steigend.
• … dass f'(x) immer kleiner 0 ist, dann ist die Funktion streng monoton fallend.
Da die erste Ableitung der Funktion f'(x) bekanntlich die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x liefert, ist nachvollziehbar, dass bei →positiver Steigung die Funktionswerte ebenfalls steigen müssen und bei negativer Steigung die Funktionswerte fallen müssen.

Eine Zahlenfolge ist eine →Funktion (f). Man ordnet einer Zahl, die Element der natürlichen Zahlen (ohne Null) ist, einem Wert aus den reellen Zahlen zu. Die natürliche Zahl, der man einem Wert zuordnet, heißt n (Nummer, vergleichbar mit dem x-Wert bei anderen Funktionen, man fängt in aller Regel mit 1 an und nicht mit 0). Der Wert (n-tes Folgeglied) heißt an. Das heißt, statt a1, a2, a3 usw. zu schreiben, fasst man es kurz zu an zusammen.

Zahlenfolgen sind dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a1 bezeichnet das erste Glied.

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge

3, 8, 13, 18, 23, …
Es gibt nun zwei Möglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu gewinnen. Entweder benutzt man die Möglichkeit, eine rekursive Bildungsvorschrift aufzustellen oder man stellt eine explizite Bildungsvorschrift auf. Bei der rekursiven Bildungsvorschrift gewinnt man immer aus dem vorherigen Glied der Zahlenfolge das nächste Glied und bei der expliziten Bildungsvorschrift kann man durch Einsetzen in die Formel direkt das n-te Glied berechnen. Die explizite Bildungsvorschrift ist sicher von Vorteil, aber beide Möglichkeiten sind erlaubt.

Was sind Zahlenfolgen?

Eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) ist und die eine Teilmenge der reellen Zahlen als Wertebereich besitzt, wird (reelle) Zahlenfolge genannt. Unter der n-ten Partialsumme einer Zahlenfolge
versteht man die Summe der Folgenglieder.

Unter einer Zahlenfolge versteht man eine Menge von (reellen) Zahlen, die so geordnet ist, dass feststeht, welches die erste, zweite, dritte, … Zahl ist.

Bei Zahlenfolgen sind alle Glieder eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet. Damit ist eine Zahlenfolge eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Eine Zahlenfolge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Glieder besitzt. Wesentlich interessanter sind aber unendliche Zahlenfolgen, bei denen durch ein Bildungsgesetz – eine Formel oder auch eine verbale Vorschrift – angegeben ist, wie man die Glieder der Folge erhält.

Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke (in der Ebene) ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs →Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Was besagen die Kongruenzsätze?

Die Kongruenzsätze SSS (Seite, Seite, Seite) und SWS (Seite, Winkel, Seite) besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel (einschließenden Winke) vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei →Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann.

Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Wann verwende ich den Sinussatz?

Die Seiten eines beliebigen Dreieckes verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Der Sinussatz enthält also mehrere Gleichungen. Eine dieser Gleichungen wird somit zur Seitenberechnung oder Winkelbestimmung benutzt. Dafür müssen in der Aufgabenstellung entweder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel oder eine Seite und zwei Winkel gegeben sein.

Wann verwende ich den Kosinussatz?

Der Kosinussatz besagt, dass das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen Seiten ist. Diese ist gleich dem doppelten Produkt dieser Seiten und des von ihnen eingeschlossenen Winkels.
Der Kosinussatz wird zum Berechnen von Dreiecksparametern verwendet. Vor allem dann, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.