In der Mathematik ist eine abschnittsweise definierte Funktion (auch stückweise Funktion, hybride Funktion) eine Funktion, die durch mehrere Unterfunktionen definiert ist. Wobei man jede Unterfunktion auf ein bestimmtes Intervall des Bereichs der Hauptfunktion, einen Unterbereich, anwendet. Die abschnittsweise  definierte Funktion ist eigentlich eher eine Möglichkeit, die Funktion auszudrücken, als ein Merkmal der Funktion selbst. Aber mit zusätzlicher Qualifikation kann sie die Natur der Funktion beschreiben. Zum Beispiel ist eine stückweise Polynomfunktion eine Funktion, die ein Polynom auf jeder ihrer Unterdomänen ist, aber möglicherweise auf jeder ein anderes Polynom.

Warum abschnittsweise definierte Funktion?

Das Wort abschnittsweise verwendet man auch, um jede Eigenschaft einer stückweise definierten Funktion zu beschreiben. Die für jedes Stück, aber nicht notwendigerweise für die gesamte Domäne der Funktion gilt. Eine Funktion ist stückweise differenzierbar oder stückweise kontinuierlich differenzierbar, wenn jeder Abschnitt in seiner gesamten Subdomäne differenzierbar ist.

Auch wenn die gesamte Funktion an den Punkten zwischen den Abschnitten nicht differenzierbar ist. In der konvexen Analyse kannst du bei abschnittsweisen Funktionen den Begriff der Ableitung durch den des Subderivats ersetzen. Obwohl die „Stücke“ in einer stückweisen Definition nicht Intervalle sein müssen, wird eine Funktion nicht als „abschnittsweise linear“ oder „stückweise kontinuierlich“ oder „stückweise differenzierbar“ bezeichnet, es sei denn, die Stücke sind Intervalle.

Die Treppenfunktionen sind sowohl den einfachen Funktionen als auch den Sprungfunktionen sehr ähnlich. Du solltest sie aber nicht mit diesen verwechseln. So nehmen beispielsweise einfache Funktionen auch nur endlich viele Werte an, können aber trotzdem viel komplexer sein, da sie nicht über Intervalle auf dem Grundraum definiert werden, sondern über messbare Mengen. So ist beispielsweise die Dirichlet-Funktion eine einfache Funktion, aber keine Treppenfunktion im hier genannten Sinne, da sie über abzählbar viele Sprungstellen hat und in keinem noch so kleinen Intervall konstant ist. Außerdem werden einfache Funktionen auf beliebigen Messräumen definiert, wohingegen Treppenfunktionen bloß auf R definiert werden. Allerdings ist jede Treppenfunktion auch immer eine einfache Funktion.

Die Sprungfunktionen sind wie die Treppenfunktionen auch auf den reellen Zahlen definiert. Allerdings sind sie immer monoton wachsend, können aber auch abzählbar viele Sprungstellen haben.

Eine Treppenfunktion ist in der Mathematik eine spezielle reelle Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt und stückweise konstant ist. Dadurch erhält der Funktionsgraph einer Treppenfunktion sein charakteristisches und namensgebendes Aussehen, das einer auf- und absteigenden Treppe ähnelt.

Proportionale Zuordnungen sind – ebenso wie die antiproportionalen Zuordnungen – spezielle Funktionen. Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = mx oder y = kx heißt proportionale Funktion. Aus der Funktionsgleichung kannst du ablesen, wie der Graph der Funktion verläuft. Der Proportionalitätsfaktor m bzw. k gibt die Steigung der Geraden an. Der Graph der Funktion verläuft immer durch den Koordinatenursprung. Somit können wir hier auch von einer affinen Funktion sprechen.

Jede proportionale Funktion ist eine lineare Funktion aber nicht jede lineare Funktion ist eine proportionale Funktion. Eine proportionale Funktion ist eine lineare Funktion, bei der der Y-Achsenabschnitt 0 ist. Eine Zuordnung x → y heißt direkt proportional, wenn sich jeder y–Wert durch Multiplikation des x–Wertes mit derselben Zahl (Proportionalitätsfaktor) ergibt. Erkennungszeichen für direkte Proportionalität. Je mehr, desto mehr.

Um den Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung zu berechnen genügt es, sich ein Wertepaar (x|y) herauszunehmen und diese zu dividieren. Und zwar immer so, dass man die zugeordnete Größe durch die Grundgröße dividiert. Proportionale Zuordnungen geben gleichmäßiges Wachstum an. Verdoppelt, verdreifacht oder halbiert sich eine Größe, dann verdoppelt, verdreifacht oder halbiert sich auch die ihr zugeordnete Größe (2 Teile: 1 € → 4 Teile: 2 €). Der Quotient proportionaler Wertepaare ist immer gleich groß.

Was sind indirekt proportionale Funktionen?

Indirekte Proportionalität, umgekehrte Proportionalität oder Antiproportionalität besteht zwischen zwei Größen, wenn sich eine proportional zum Kehrwert der anderen verhält, oder gleichbedeutend, das Produkt der Größen konstant ist. Die eine Größe ist dann eine reziprok proportionale (auch antiproportionale) Funktion der anderen Größe. Die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …) der einen ist mit einer Halbierung (Drittelung, Verdopplung, …) der anderen verbunden. Der Funktionsgraph ist eine Hyperbel, die sich den Koordinatenachsen asymptotisch annähert.

Bei der indirekten Proportionaliät (umgekehrte Proportionalität, Antiproportionalität) ist das Produkt zweier Wertepaare (x|y) immer konstant. Dieses Produkt wird als die Proportionalitätskonstante k oder m bezeichnet und es gilt: yx = k oder y = xk.

Eine Zuordnung x → y heißt indirekt proportional, wenn jeder x–Wert durch Multiplikation mit dem zugehörigen y–Wert eine gleich große Zahl ergibt. Erkennungszeichen für indirekte Proportionalität: Je mehr, desto weniger.

Reziproke Proportionalität, indirekte Proportionalität, umgekehrte Proportionalität oder Antiproportionalität besteht zwischen zwei Größen, wenn sich eine proportional zum Kehrwert der anderen verhält, oder gleichbedeutend, das Produkt der Größen konstant ist.

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Wurzel aus einem oder mehreren Termen vorkommt, möglicherweise auch in ineinander geschachtelter Form. Wurzelgleichungen löst man, indem man zuerst die Wurzel alleine stellt, dann die gesamte Gleichung quadriert und anschließend die daraus entstandene Gleichung löst. 

Lösungen dieser Gleichung müssen nicht unbedingt Lösung der →Wurzelgleichung sein, da Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, deshalb ist eine Probe mit diesen Lösungen erforderlich. Quadratische Lösungsformel

Wurzelgleichungen sind in der elementaren Algebra Bestimmungsgleichungen, bei denen die Unbekannte (meist als x bezeichnet) mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Dabei kann es sich um Quadratwurzeln oder um Wurzeln mit beliebigen Wurzelexponenten handeln. 

Wie löse ich eine Wurzelgleichung?

Viele Wurzelgleichungen lassen sich dadurch auflösen, dass man eine Wurzel isoliert und anschließend die beiden Seiten der Gleichung mit dem Wurzelexponenten potenziert. Falls nötig, wiederholt man dieses Verfahren, bis alle Wurzeln eliminiert sind.Es ist zu beachten, dass das Potenzieren mit einer geraden Zahl keine Äquivalenzumformung ist. 

Kann aus einer falschen Aussage wie 2 = −2 eine wahre Aussage, nämlich 2² = (−2)², machen. 

Beim →Potenzieren können Scheinlösungen hinzukommen. Die Probe ist folglich für Wurzelgleichungen unverzichtbar. Um eine Wurzel wegzubekommen, kannst du mit der Wurzel der selben Zahl multiplizieren. Oder stattdessen die Zahl unter der Wurzel hoch 1/2 schreiben.

Unter dem Quadrieren versteht man eine Multiplikation einer Zahl (einer Variablen) mit sich selbst. Die Hochzahl (der Exponent) beträgt also 2. Quadrate von negativen ganzen Zahlen sind immer positiv. Da die Multiplikation einer negativen Zahl mit einer weiteren negativen Zahl immer eine positive Zahl ergibt.

Wie beseitigt man Wurzeln im Nenner?

Der einfachste Weg, Quadratwurzeln aus dem Nenner zu entfernen, ist, den Nenner mit der Wurzel, die entfernt werden soll, zu multiplizieren. Da Sie den Wert des Bruchs nicht verändern dürfen, müssen Sie den Zähler mit der gleichen Zahl multiplizieren.

Wurzelziehen im Reellen ist eine →Äquivalenzumformung. Die Wurzelfunktion ist nämlich bijektiv. Dagegen ist Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Schränkt man die Quadratfunktion etwa auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, so wird sie auch bijektiv.

Beim →teilweisen Wurzelziehen zerlegst du die teilweise-ziehbare Wurzel in einen ziehbaren und einen nicht-ziehbaren Teil. Das bedeutet, dass du den Radikanden unter der Wurzel in ein Produkt aus zwei Zahlen zerlegst. Von einer dieser Zahlen musst du die Wurzel ziehen können.

Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Der Wurzelexponent verändert sich beim Multiplizieren nicht.

Ein Koordinatensystem hilft dir dabei, die Position eines Objektes eindeutig zu bestimmen. Es dient dir zur Orientierung. Das kartesische Koordinatensystem besitzt senkrecht zueinander stehende Achsen, die sich im Koordinatenursprung O mit den Koordinaten (0|0) schneiden.

Ein →Koordinatensystem dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum. Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Positionsangabe. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. 

Eine Koordinate ist eine von mehreren Zahlen, mit denen man die Lage eines Punktes in einer Ebene oder in einem Raum angibt. Jede der zur Beschreibung erforderlichen Dimensionen wird durch eine Koordinate ausgedrückt. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem „Koordinatenpaar“.

Koordinatenursprung (mathematisches Kürzel: KOU) oder Ursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt oder bei Polarkoordinaten Pol genannt. Durch den Ursprung verlaufen häufig, aber nicht zwingend die Koordinatenachsen.

Warum brauche ich ein Koordinatensystem?

Die Position eines Punktes im Raum wird im gewählten Koordinatensystem durch die Angabe von Zahlenwerten oder Größenwerten, den Koordinaten, eindeutig bestimmt. Entsprechend lässt sich die Position eines durch mehrere Punkte bestimmten Objekts (Linie, Kurve, Fläche, Körper) über deren Koordinaten angeben.

Die Anzahl der zur Beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes. In diesem Sinne bezeichnet man eine Ebene als zweidimensionalen Raum.

Die am häufigsten verwendeten Koordinatensysteme – dies gilt besonders für die Schulmathematik – sind das kartesische Koordinatensystem, allgemeiner das affine Koordinatensystem sowie die Polarkoordinatensysteme.

In projektiven Räumen wird ein Punkt durch seine Koordinaten in Bezug auf ein projektives Koordinatensystem dargestellt. Diese Koordinaten werden auch als homogene Koordinaten bezeichnet und werden in dieser Form auch für „gewöhnliche“ Punkte verwendet, die auch mit affinen bzw. kartesischen Koordinaten beschrieben werden könnten. Hier ist eine zusätzliche „homogenisierende“ Koordinate erforderlich. Ein Punkt in einem n-dimensionalen Raum wird also durch n + 1 homogene Koordinaten beschrieben.

Um z.B. den Punkt P ( 5 | 2 ) einzutragen, gehst du vom Nullpunkt x = 5 Einheiten nach rechts und dann y = 3 Einheiten nach oben. Ein Punkt P(x|y) ist durch ein Zahlenpaar in geordneter Reienfolge bestimmt. Die erste Zahl ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

Das Culmann Verfahren (oft auch Vierkräfteverfahren genannt) mit der Culmann Gerade ist ein zeichnerisches Verfahren zur Lösung von Problemen der Statik. Um das Culmann Verfahren anwenden zu können, benötigt man vier Kräfte, deren Richtungen bekannt sind, zusätzlich muss mindestens die Größe einer dieser Kräfte bekannt sein. Das Culmann-Verfahren basiert auf dem Drei-Kräfte-Verfahren, dient jedoch dazu, dieses zu erweitern und zu vereinfachen.

Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierende je zweier Kräfte eine gemeinsame Wirklinie haben – die Culmann’sche Gerade – und das Krafteck sich schließt. 

Wie ist das Cullman Verfahren anzuwenden?

Zunächst muss die Baugruppe →freigestellt werden. Wie beim Drei-Kräfte-Verfahren können auch hier zwei Kräfte durch eine →resultierende Kraft ersetzt werden. Jetzt kommt jedoch der Umstand dazu, dass sich die Kräfte aufheben müssen (sich zu Null addieren). Somit müssen bei vier Kräften die resultierenden Kräfte vektoriell auf derselben Wirkungslinie liegen, jedoch entgegengesetzt wirken.

Nachdem die Culmann Gerade auf der einen Seite ermittelt wurde, kann diese auf die andere Seite übertragen werden und per Parallelverschiebung können die beiden restlichen Kräfte ermittelt werden.

Es wirken also vier Kräfte mit bekannten Wirklinien und bekanntem Richtungssinn. Für drei von ihnen müssen nur noch die Beträge ermittelt werden. 

Fasst man nun wieder (wie beim 3-Kräfte-Verfahren) gedanklich je zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammen. Diese beiden Resultierenden können nur im Gleichgewicht stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte I und II sein. 

Du könntest auch sofort die Culmann Gerade aus dem Lageplan in den Kräfteplan parallel verschieben und somit das Krafteck ermitteln. Die auf der gemeinsamen Culmann’schen Geraden wirkenden Resultierenden Kräfte müssen natürlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. 

Welche beiden Kräfte jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst werden, ist gleichgültig. Unter Umständen ergibt das zwar eine andere Lage der Culmann’schen Geraden und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, das Ergebnis wird aber hierdurch nicht beeinflusst. Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Vier-Kräfte-Verfahrens ist nur, dass alle vier Wirklinien bekannt sind. 

Wie zeichne ich die Culmann Gerade?

Du zeichnest im maßstäblichen Lageplan die Wirklinie der gegebenen Kraft F1 ein. Nach den Regeln für das Freimachen der Bauteile werden die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskräfte F2, FA und FB ermittelt und ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann bringst du je zwei Wirklinien miteinander zum Schnitt, z. B. F1 und FA im Schnittpunkt I und F2 und FB im Schnittpunkt II. Jetzt zeichnest du die Culmann’sche Gerade als Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte ein. Sie ist die gemeinsame Wirklinie der beiden Teilresultierenden. 

Im Kräfteplan wird zuerst die gegebene Kraft F1 maßstäblich und richtungsgemäß gezeichnet. Dann überträgt man die Culmann’sche Gerade vom Lage- in den Kräfteplan, lässt sie durch Anfangs- oder Endpunkt von F1 laufen und schließt dieses Krafteck durch die zugehörige Kraft FA. Das Krafteck zeigt die Kräfte F1, FA und ihre Teilresultierende. Die gleichgroße zweite Teilresultierende hat einen entgegengesetzten Richtungssinn. Aus ihr und den parallel verschobenen Kräften F2 und FB wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck gebildet. Damit ist der Kräftezug aus F1, F2, FB und FA geschlossen. 

Aus der Länge der Kraftpfeile werden dann mit Hilfe des Kräftemaßstabs die Beträge der Gleichgewichtskräfte berechnet. 

Der Sinn und Zweck des Freischneidens oder eben auch Freimachen ist alle am Bauteil angreifenden Kräfte zu erfassen. Dabei werden alle angrenzenden Bauteile auf ihre Kräfte reduziert, die sie auf das freizumachende Bauteil ausüben.

Beim Freimachen wird das Bauteil nun von allen angrenzenden Bauteilen getrennt. Zunächst skizzierst du das Bauteile ohne angrenzende Bauteile in seinen groben Konturent. Dann werden die Angriffspunkte (Kreise) der angreifenden Kräfte sowie deren Wirklinien festgelegt.

Unter „Freimachen“ versteht man das Loslösen eines Körpers oder mehrer Körper aus einem Gesamtsystem. Das heißt man löst den Körper aus den Lagern oder aus der Verbindung zu anderen Körpern. Als Ersatz für die inneren Kräfte bzw. Momente bringt man äußere →Kräfte bzw. Momente an den Trennstellen an. Dabei ist die Richtung der Reaktionskräfte unerheblich. Die Rechnung bzw. die grafische Lösung liefert die tatsächliche Orientierung (in der Rechnung durch ein negatives Vorzeichen).

Warum ist das Freimachen so wichtig?

An den Lagern bzw. verbleibenden Körper wirken die gleich großen Kräfte bzw. Momente aber in entgegengesetzter Richtung (actio=reactio). Nun können die Gleichgewichtsbedingungen für die Teilsysteme angesetzt werden und die unbekannten Kräfte und Momente berechnet werden sofern der Körper statisch bestimmt ist.

Beim Freimachen trennst du das Bauteil von allen angrenzenden Bauteilent. Zunächst skizzierst du das Bauteile ohne angrenzende Bauteile in seinen groben Konturen. Dann werden die Angriffspunkte (Kreise) der angreifenden Kräfte sowie deren Wirklinien festgelegt. Anschließend überträgst du den Richtungssinn (Pfeilrichtung) auf das Freigemachte Bauteil. Beginnen solltest du mit den einfachsten Bauteilen.

Um ein Kräftegleichgewicht zu schaffen hat jede Kraft eine gleich große Gegenkraft. So haben die alle Kräfte auf ihrer Wirklinie jeweils eine gleich große Gegenkraft. Dieser Umstand wird auch als Aktionskraft und Reaktionskraft bezeichnet.

Ein wichtiges Element in der Statik ist das sogenannte Freischneiden. Mit dieser Technik kannst du die Inneren Kräfte in einem Bauteil ermitteln.

Als äußere Kräfte werden in der Statik Lasten bezeichnet, die als Aktionen auf das Tragwerk einwirken und die Reaktionskräfte, die daraus resultieren – also Stütz- und Auflagerkräfte. Die äußeren Kräfte stehen in der Statik im Gleichgewicht.

Innere Kräfte sind Kräfte die als Wirkung der äußeren Kräfte im Inneren des Bauteils entstehen. Sie werden durch Freischneiden als Schnittkräfte.