Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik. Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) trigonometrisch behandelt werden, spricht man von →ebener Trigonometrie. Daneben gibt es die sphärische Trigonometrie. Diese befasst sich mit Kugeldreiecken (sphärischen Dreiecken) und die hyperbolische Trigonometrie. Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie.

Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.

Als Hilfsmittel kannst du die trigonometrischen Funktionen verwenden.  Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen. Sowie Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc). →Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen. Beispielsweise auf Polygone (Vielecke), auf Probleme der und auf Fragen vieler anderer Gebiete.

Die Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreieckes

Besonders einfach ist die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größte Innenwinkel. Ihm liegt die längste Seite (als Hypotenuse bezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten. Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen der Gegenkathete (dem gegebenen Winkel gegenüber) und der Ankathete (benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden.

Auch für allgemeine Dreiecke stehen dir etliche Formeln zur Verfügung. Diese gestatten es, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere der →Sinussatz und der Kosinussatz.

Was ist ein Höhenwinekl und Tiefenwinkel?

Unter einem Höhenwinkel α verstehen wir einen Winkel, der von der Horizontalen aufwärts gemessen wird. Eine Person blickt von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus. Die Spitze dieses Hochhauses sieht die Person unter dem Höhenwinkel α.

Mißt du einen Winkel von einer Horizontalen abwärts, erhältst du den Tiefenwinkel β. Eine Person, die von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus blickt (Horizontale), sieht den Fußpunkt eines Hochhauses unter dem Tiefenwinkel β.

Unter einem Sehwinkel γ verstehen wir die Addition von einem Tiefenwinkel (α) und einem Höhenwinkel (β). Beispiel: Von einer Person, die von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus blickt (Horizontale), erscheint die gesamte Größe eines Hochhauses (Fußpunkt bis Spitze) unter dem Winkel γ.

Abonniere meinen Channel

«

Zurück

1

/

1

Vor

»

Winkelfunktionen im Rechtwinkeligen Dreieck, Sinus, Cosinus, Tangens, Hypotenuse, An-/Gegenkathete

Was ist die Trigonometrie? | Einführung in die trigonometrischen Ansätze | Einheitskreis

Was ist eine Steigung? Wie wende ich die Winkelfunktionen an? | Trigonometrie einfach angwendet

Was ist ein Höhenwinkel? | Anwendungsbeispiel aus der Trigonometrie | Dreiecksberechnungen

Was ist ein Tiefenwinkel? | Sehwinkel | Höhenwinkel | Berechnungsbeispiel aus der Trigonometrie

Wie berechne ich die Fläche eines Dreieckes mit der Trigonometrische Flächenformel? |Winkelfunktion

Wie wende ich die Heron´sche Flächenformel bei einem Dreieck an? | Trigonometrie für Anfänger

Wie kann ich mithilfe der Summensätze trigonometrische Funktionen vereinfachen? | Trigonometrie

Höhenwinkel | Sehwinkel |Trigonometrie | Gleichungen lösen | Summensätze

Kosinussatz und Sinussatz | Seiten und Winkel im Dreieck berechnen | allgemeines Dreieck

Was ist der Sehwinkel, Höhenwinkel & Tiefenwinkel? | Was ist der Sehstrahl und die Sehlinie?

Tangens | Winkelfunktion im rechtwinkeligen Dreieck| Winkelberechnung mit dem Tangens

Steigungswinkel und Steigung einer Geraden

Kartesische Koordinaten in Polare Koordinaten umrechnen | Bestimmung im Koordinatensystem

Sinus und Cosinus im Einheitskreis | Was ist der Einheitskreis? | Kosinus | Sinus | Tangens

Wie berechne ich Kartesische und polare Koordinaten? | Orthogonales Koordinatensystem | Polarwinkel

Kreisbogen im Kreissegment | Radius | Winkel des Kreissegments | Pythagoras | Winkelfunktionen

Rechtwinkeliges Dreieck | Wie wende ich den Pythagoräische Lehrsatz an? | Pythagoras | Dreiecke

Sinussatz | Winkel und Seiten im allgemeinen Dreieck berechnen | Trigonometrie

Zentrales Kraftsystem trigonometrisch lösen

«

Zurück

1

/

1

Vor

»

Die Schuldtilgung beschäftigt sich mit dem finanzmathematischen Vorgängen, die bei der Tilgung (Rückzahlung) einer aufgenommenen Schuld auftreten. Unter einem →Tilgungsplan versteht man eine tabellarische Darstellung der zeitlichen Vorgänge einer Schuldrückzahlung bis hin zur restlosen Tilgung.

Beim Tilgungsdarlehen wird der Darlehensbetrag in gleichbleibenden Tilgungraten zurückbezahlt. Wobei die Darlehenszinsen separat zu entrichten sind. Daher sind für Zins- und Tilgungszahlungen unterschiedliche Zeitintervalle möglich.

Bei der Häufigkeit der Zins- bzw. Tilgungszahlungen kannst du jeweils zwischen monatlich, vierteljährlich, halbjährlich und jährlich wählen. Den Zinssatz kannst du wahlweise als nominalen oder effektiven Jahreszinssatz vorgeben oder berechnen. Je nach Kombination von Zinszahlungsintervall und Tilgungsintervall müssen diese beiden Zinssätze nicht übereinstimmen.

Was ist ein Tilgungsplan?

Alle Zahlungen für Zins und Tilgung werden im Tilgungsplan übersichtlich dargestellt. Der Tilgungsplan zeigt dazu wahlweise auf Jahres- oder Monatsbasis den Verlauf des Schuldenstands und der Zahlungen an. Tilgungsdarlehen bezeichnet man auch als Abzahlungsdarlehen. Das endfällige Darlehen ist ein Sonderfall. Bei diesem wird während der Laufzeit keine Tilgungszahlungen, sondern nur Zinszahlungen geleistet.

Die Tilgung eines Darlehens lässt sich zeitlich ähnlich wie ein Fahrplan aufzeigen. Ausgangspunkt ist immer der eigentliche Darlehensbetrag. Tabellarisch können Fälligkeitszeitpunkt der Jahres-, Quartals- oder Monatsrate, die jeweilige Rate sowie die noch verbleibende Restschuld dargestellt werden. Die zu zahlende Rate setzt sich dabei aus dem Tilgungsbetrag und dem Zinsanteil zusammen. Der Zinsbetrag errechnet sich mit Hilfe des Sollzinssatzes. Grundlage ist die bestehende Restschuld. Die genaue Aufstellung der Zahlungen hängt aber von der Art des Darlehens ab.

Warum ist ein Tilgungsplan wichtig?

Bei langfristigen Darlehen hat der Kreditnehmer ohne Tilgungsplan kaum Überblick über die künftig von ihm zu entrichtenden Zahlungen. Tilgungspläne verleihen Struktur und sind das Grundgerüst jeder (längerfristigen) Darstellung einer Finanzierung. Der Kreditnehmer kann seine regelmäßigen Zahlungspflichten einem eigenständigen Zins- und Tilgungsplan entnehmen.

Ein Tilgungsplan dient zur Erhöhung der Transparenz insbesondere bei Ratenkrediten und Annuitätendarlehen. Dieser verschaft dem Kreditnehmer den Überblick über die von ihm zu leistenden Zahlungen. Aufgrund eines hinreichend detaillierten Tilgungsplans lässt sich bereits bei oberflächlicher Prüfung erkennen, dass sich beim Annuitätendarlehen die →Zinshöhe jeweils innerhalb eines Jahres trotz der vierteljährlich zu leistenden Tilgungsraten nicht verändert. Der Tilgungsplan stellt eine Zahlungsreihe dar, die die Tilgungs- und Zinsausgaben in komprimierter Form wiedergibt.

Eine Schlussrechnung ist eine Rechnung, mit der eine abschließende Abrechnung einer Geldforderung unter Einbeziehung von vorläufigen Rechnungen (Abschlagsrechnungen oder ähnlichem) vorgenommen wird. Der Sprachgebrauch ist jedoch nicht einheitlich; so spricht das Umsatzsteuergesetz insoweit von Endrechnung

Als Teilschlussrechnung bezeichnet man eine Schlussrechnung für einen abgrenzbaren Teil der Sachleistung. Sie steht somit im Gegensatz zur Abschlagsrechnung nicht unter dem Vorbehalt einer endgültigen Abrechnung.

Was ist der Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität?

Indirekte Schlussrechnungen sind ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen
Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen.

Indirekte Proportionalität:

Bei indirekten Schlussrechnungen gilt:
je mehr ….. desto weniger (↑…↓)
und  je weniger ….. desto mehr (↓…↑)

Direkte Schlussrechnungen sind ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen.

Direkte Proportionalität:

Bei direkten Schlussrechnungen gilt:
je mehr …. desto mehr (↑ .. ↑)
und je weniger … desto weniger (↓ .. ↓)

Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinander stehen. Proportionale Größen sind verhältnisgleich, das heißt, bei proportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …)

Was bedeutet verhältnisgleich?

Proportionale Größen sind verhältnisgleich, die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervor. Das Verhältnis der beiden Größen wird Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.

• Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl π
• Bei einem Kauf ist die Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (= 19 %) oder 0,2 (= 20%).
• Die Masse einer Flüssigkeit ist (bei sonst gleichen Bedingungen) proportional ihrem Volumen.

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität, genauer: der Affinität. Für eine reelle →lineare Funktion ist linear jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, deren Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade ist. Proportionalität bedeutet hierbei, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (→Koordinatenursprung) geht (Ursprungsgerade); der Proportionalitätsfaktor bestimmt deren →Steigung.

Unter einer Rente bzw. Rentenzahlung versteht man eine periodische Folge von Zahlungen, die in gleicher Höhe in regelmäßigen Abständen erfolgen. Wird die Rente jeweils zum Ende einer Periode bezahlt, so heißt sie →nachschüssig. Wird sie bereits zum Periodenbeginn ausbezahlt ist sie →vorschüssig. Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Zahlungen auf den Endzeitpunkt der Rente aufgezinst. Der Barwert ist die Summe aller abgezinsten Raten.

Als Renten, Raten oder Annuitäten werden in der Finanzmathematik gleich hohe Einzahlungen und Auszahlungen genannt.

Welche Begriffe sind bei Rentenzahlung wichtig?

Der Endwert einer nachschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der letzten Ratenzahlung.
Der Endwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert eine Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung.
Der Barwert einer nachschüssigen Rente ist der Zeitwert einer Zinsperiode vor der ersten Ratenzahlung.
Der Barwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der ersten Ratenzahlung.

Renten werden grundsätzlich zwischen vor- und nachschüssigen Ein- und Auszahlungen unterschieden. Bei der vorschüssigen Rente wird der Rentenbetrag am Anfang des Jahres oder einer Periode einbezahlt. Die nachschüssigen Rente hingegen wird am Jahresende oder Periodenende be- oder ausgezahlt. Das bedeutet, dass nach derselben Laufzeit die vorschüssige Rente einmal mehr als die nachschüssige verzinst wurde. Um also vom Betrag der nachschüssigen Rente zu dem der vorschüssigen zu kommen, muss man den Betrag einmal mit dem Zinsfaktor multiplizieren.

Was bedeutet unterjährig?

Eine unterjährige Verzinsung liegt vor, wenn der Zuschlag der Zinsen auf das Kapital mehrmals im Jahr erfolgt. Durch die unterjährige Verzinsung wächst angelegtes Kapital noch schneller an. Dies wird in der →Zinsrechnung auch als unterjähriger Zinseszinseffekt bezeichnet.

Neben dem Endwert einer Rente lässt sich auch der zu zahlende Rentenbetrag, die Höhe der Restrate und die Rentendauer berechnen.

Wie bei verzinstem Kapital kannst du natürlich auch bei Renten den Barwert bestimmen. Um von der vorschüssigen Rente zur nachschüssigen zu gelangen, musst du den Endwert lediglich abzinsen. Somit berechnest du, wie viel die Rente wert ist, wenn sie für eine Periode weniger anlegt wird.

Abonniere meinen Channel

«

Zurück

1

/

1

Vor

»

Autokauf Jahreszinssatz berechnen | Rabatt | Zahlungsstrom | Barwert | Nachschüssige Monatsrate

Drittelfinanzierung Autokauf | Barwert | Kreditrückzahlung | Zinsen | Äquivalenzprinzip | Raten

unterjährige Annuität | Laufzeitabhängigkeit der Tilgung und Zinsen | Zinsen | Present Value

Wie berechne ich die Tilgungslaufzeit und die Restannuität? | Schuldtilgung | Finanzmathematik

Wie berechne ich die Restschuld zu einem bestimmten Zeitpunkt? | Annuität | Zinsfaktor | Tilgung

Wie berechne ich die letzte Annuität (Rate)? | Tilgungsplan | Kreditrückzahlung | Zinssatz

Wie erstelle ich einen Tilgungsplan? | Schuldentilgung | Annuitätenberechnung | Tilgungsraten

Grundkenntnisse der Rentenberechnung | Basics für Anfänger | Grundlagen der Finanzmathematik

Wie berechne ich den Endwert einer nachschüssige Rente | Final Value | Grundlagen Finanzmathematik

Wie berechne ich den Barwert einer nachschüssige Rente? | Finanzmathematik | Present Value

Wie berechne ich den Endwert einer vorschüssigen Rente? | Final Value | Grundlagen Finanzmathematik

Wie kann ich den Barwert einer vorschüssigen Rente ermitteln? | Present Value | Finanzmathematik

Wie berechne ich die Ratenhöhe einer vorschüssigen Rente? | Rentenzahlung | Finanzmathematik

Beispiel Finanzmathematik zur Dauer der Rentenzahlung & Höhe der Restrate | nachschüssiger Barwert

Wie berechne ich eine vorzeitige Einmalzahlung bei einer Kreditrückzahlung? | Finanzmathematik

Was ist die Intervallschachtelung bei der Zinssatzberechnung? | Grundlagen Finanzmathematik | Rente

«

Zurück

1

/

1

Vor

»

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x² = -1 lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl. Diese Zahl i (häufig auch j) wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Komplexe Zahlen können in der Form a + b ⋅ i dargestellt werden.  Die Werte a und b sind dabei reelle Zahlen und i ist die imaginäre Einheit.

Warum brauchen ich Komplexe Zahlen?

Der so konstruierte Zahlenbereich der →komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen. Dieser hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften. Diese erweisen sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Das gilt für reelle Zahlen nicht.

Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel). Dieser wird über die komplexen Zahlen hergestellt.

Du kannst jede reelle Zahl als Punkt einer Zahlengerade abbilden. Zur Darstellung von komplexen Zahlen ist eine Erweiterung auf eine zusätzliche Ebene notwendig. Man spricht hier von komplexer Ebene oder Gauß´schen Ebenen. In dieser Ebene können komplexe Zahlen als Punkt oder Zeiger dargestellt werden.

Unter dem →Betrag einer komplexen Zahl versteht man die Länge des Pfeiles in der Gauß`schen Zahlenebene. Der Betrag einer komplexen Zahl wird mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras bestimmt.

Welche bestimmten Formen gibt es?

Die kartesische Binominalform der komplexen Zahlen beschreibt den Abstand zur reellen und imaginären Achse.

Die Polarform (trigonometrische & exponentielle Form) beschreibt die Entfernung zum Ursprung und den Winkel zur reellen Achse

Der Winkel wird dabei auch als Phase oder Argument bezeichnet.

Gemäß Definition entspricht die →Addition komplexer Zahlen der →Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der Gauß´schen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform klarer wird.

Abonniere meinen Channel

«

Zurück

1

/

1

Vor

»

Konjugation einer komplexen Zahl | konjungiert komplexe Zahl | Vorzeichenwechsel im Imaginärteil

Was sind Komplexe Zahlen? | Basics der komplexen Zahlen | Einführung in die komplexen Zahlen

Wie löse ich eine Quadratische Gleichung komplex? | negative Diskriminante | Fundamentalsatz

Wie stelle ich Komplexe Zahlen in der Gauß`schen Ebene dar? | Zahlenebene | Zeigerdarstellung

Wie addiere und subtrahiere ich komplexe Zahlen? | Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen

Wie multipliziere ich komplexe Zahlen? | Multiplikation von komplexen Zahlen | Termmultiplikation

Wie dividiere ich komplexe Zahlen? | Division komplexer Zahlen | i Quadrat | Erweitern von Brüchen

Was ist die trigonometrische Form von komplexen Zahlen? | kartesische Binominalform | Polarform

Wie berechne ich den Betrag einer komplexen Zahl? | Abstandsgröße in der Ebene | Zeigerdarstellung |

Was ist die exponentielle Form der komplexen Zahlen? | Polarform | reellen Achse | Binomialform

Wie multipliziere ich eine komplexe Zahl? | Potenzieren komplexer Zahlen Formel von Moivre

Warum ist i Quadrat minus Eins? | komplexen Zahlen | kartesische Binominalform | Polarform

Wie löse ich komplexe Ungleichungen? | Potenzieren von komplexen Zahlen | Absolutbeträge

«

Zurück

1

/

1

Vor

»

Exponentielles Wachstum, welches auch als unbegrenztes exponentielles Wachstum bezeichnet wird, liegt vor, wenn sich eine Größe in jeweils gleichen Zeitabschnitten (Perioden) immer um denselben Faktor verändert.

→Exponentielles Wachstum (unbegrenztes Wachstum) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess. Bei diesem verändern sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Zuwachsfaktor (a). Der Wert der Anfangsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall oder Abnahme).

Das Wachstum von Mikroorganismen wie beispielsweise Bakterien und Viren, Krebszellen und auch der Weltbevölkerung kann ohne begrenzende Faktoren theoretisch exponentiell steigen. Im Normalfall geht ein anfangs exponentielles Wachstum in ein logistisches Wachstum (mit Wachstumsschranke) über.

Was ist exponentiell?

Das Adjektiv exponentiell stammt aus dem Bereich der Mathematik und beschreibt eine prozentuale (nicht feste) Zunahme oder Abnahme eines Wertes pro Zeiteinheit.

Die exponentielle Zunahme wird auch als exponentielles Wachstum und die exponentielle Abnahme wird auch als exponentieller Zerfall bezeichnet. Es handelt sich um Prozesse, bei denen ein Anfangsbestand pro Zeiteinheit mit dem Faktor a vervielfacht wird.

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit oder Halbwertzeit ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht. Folgt die Abnahme einem Exponentialgesetz, dann ist die Halbwertszeit immer die gleiche, auch wenn man die Restmenge, die nach einer beliebigen Zeit übrig ist, als neue Anfangsmenge nimmt. Bei exponentieller Abnahme charakterisiert daher die Halbwertszeit den zugrunde liegenden Prozess als solchen.

Exponentialfunktionen spielen in den Anwendungen eine große Rolle. Du benötigst diese, um beispielsweise Beschreibungen über Abkling-, Sättigungs- und Wachstumsprozessen zu berechnen. Auch in der Statistik sowie bei gedämpften Schwingungen spielen sie eine besondere Rolle.

Zu den Exponentialfunktionen gelangt man durch Verallgemeinerung des Begriffes der Potenz. →Die Potenzen sind dabei Ausdrücke vom Typ aⁿ. Wobei a die Grundzahl darstellt, die Basis, und n die Hochzahl oder der Exponent ist. Bei einer →Exponentialfunktion ist die Basis a fest, der Exponent dagegen variabel. Deshalb gilt hier auch ein Unterschied zur Potenzfunktion, bei der es sich genau umgekehrt verhält.