Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen exponentiellen Verzinsung (mit Zinseszinsen), bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt. Sie wird deshalb auch auch Momentanverzinsung, Augenblicksverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung genannt. Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht gegen 0.

Einer der Vorteile der stetigen Verzinsung ist, dass man sich keine Gedanken über die Zinskapitalisierung machen muss, da zu jedem Zeitpunkt kapitalisiert wird. Damit ist die stetige Verzinsung oft auch Grundlage von finanzmathematischen Modellen, da sich diese Verzinsungsart besonders einfach handhaben lässt.

Nicht nur die stetige Verzinsung ist ausschlaggebend

Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den →Barwert oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot ist jedesmal besser, und dass zu jedem Zeitpunkt. Das Äquivalenzprinzip ist wichtig. Wenn du z. B. Einzahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten getätigt werden, vergleichst.

Unter einem Cashflow (Zahlungsstrom) kannst du in der Wirtschaftsmathematik eine betriebswirtschaftliche Kennzahl verstehen. Bei dieser Kennzahl stellst du Einzahlungen und Auszahlungen innerhalb eines bestimmten Zeitraums einander gegenüber. Dadurch kannst du Aussagen zur Innenfinanzierung, Liquidität etc. eines Wirtschaftssubjektes machen. Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr.

Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr. Üblich sind beispielsweise Zeiträume von:

•  einem halben Jahr,
• einem Quartal oder
• einem Monat oder
•  tageweise bei Restmonaten

Bei einem Kredit wird in der Regel zwischen Nominalzins und Effektivzins unterschieden. Der Nominalzins – auch Sollzins genannt – ist der Zinssatz für einen Kredit pro Kalenderjahr. Deshalb trägt er häufig als Zusatzkennzeichnung die Abkürzung „p. a.“ (per annum).

Unter einem →unterjährigen Zinssatz versteht man einen Zinssatz, der sich auf Verzinsungsperioden unter einem Jahr bezieht. Durch die Unterteilung in mehrere Zinsperioden ergibt sich durch den Zinseszins ein höherer Jahreszinssatz. Der Zinsfaktor ist ein Begriff aus der Zinsrechnung. Er gibt an, um wie viel das Kapital in einem Jahr wächst. In Formeln der Zinsrechnung ist der Zinsfaktor mit q abgekürzt.

Die Halbwertszeit oder Halbwertzeit ist jene Zeitspanne, nach der eine abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht. In der Medizin und Pharmakologie spricht man von diesem Wert bei dem die Hälfte des Höchstwertes erreicht wird.

Folgt die Abnahme einem Exponentialgesetz, dann bleibt die Halbwertszeit immer die gleiche. Auch wenn man die Restmenge, die nach einer beliebigen Zeit übrig ist, als neue Anfangsmenge nimmt. Bei exponentieller Abnahme charakterisiert daher die Halbwertszeit den zugrunde liegenden Prozess.

Der →radioaktive Zerfall eines gegebenen Radionuklids verläuft exponentiell. Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, in der die Menge und damit auch die Aktivität eines gegebenen Radionuklids durch den Zerfall auf die Hälfte gesunken ist.

Die biologische Halbwertszeit oder Eliminationshalbwertszeit ist die Zeitspanne, in der in einem Organismus (Mensch, Tier, Pflanze, Einzeller) die Menge einer inkorporierten Substanz durch die Wirkung aller beteiligten biologischen Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung usw.) auf die Hälfte abgesunken ist.

Die Halbwertszeit ist ein exponentieller Prozess

Das Zerfallsgesetz setzt als Menge eine kontinuierliche, als reelle Zahl darstellbare Größe voraus. Es ist aber auch auf ganzzahlige Größen anwendbar. Wie z. B. die Anzahl der Atome in der radioaktiven Substanzprobe. Es beschreibt jeweils den messtechnischen Erwartungswert, also Mittelwert über viele gedachte Einzelmessungen.

Bei einem →exponentiellen Prozess handelt es sich um einen Vorgang, bei dem sich eine Größe exponentiell ändert. Man unterscheidet zwischen exponentiellem Wachstum, bei dem eine Größe immer schneller wächst. Und einer exponentieller Annäherung, bei der sich eine Größe einem festen Wert annähert. Der praktisch wichtigste Spezialfall hiervon ist der exponentielle Zerfall. Bei dieser nähert sich die Größe monoton abnehmend immer langsamer dem Nullwert.

Ist die Abnahme einer Größe proportional zum jeweiligen Wert der Größe selbst. So spricht man von →exponentiellem Zerfall, exponentieller Abnahme oder exponentiellem Abfall.

Die „Generationszeit“ bezeichnet den Zeitraum, in dem eine Population ihre Zellzahl verdoppelt. Die →Verdopplungszeit den Zeitraum für die Verdopplung der Zellmasse. Bakterien vermehren sich durch Zellteilung (Mitose). Dabei werden alle Organellen verdoppelt und das Bakterium teilt sich in eine identische Tochterzelle. Der Prozess kann einige Minuten, Stunden oder Tage dauern.

Um Gleichungen mit der analytische Methode zu lösen, formt man die Gleichungen solange um, bis die unbekannten Kräfte oder Momente alleine auf einer Seite der Gleichung stehen. Dann kann man den Wert der unbekannten Kraft leicht berechnen.

Soweit es möglich ist, versucht man, die Lösungen einer Bestimmungsgleichung exakt zu ermitteln. Wichtigstes Hilfsmittel dabei sind Äquivalenzumformungen, durch die eine Gleichung schrittweise in andere äquivalente Gleichungen (die also dieselbe Lösungsmenge haben) umgeformt wird, bis man eine Gleichung erhält, deren Lösung einfach bestimmt werden kann.

Eine Kräftegruppe wird als zentrales ebenes Kräftesystem bezeichnet wenn alle Kräfte auf einer Ebene liegen und alle Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden.  In der graphischen Statik werden die Kräfte eines Tragwerks als Vektoren in zwei Plänen dargestellt, dem Lageplan und dem Kräfteplan. Der Lageplan zeigt die Geometrie des Tragwerks mit allen Tragelementen und der Lage der Lasten. Die an und in den Tragelementen vorhandenen Kräfte werden im Kräfteplan dargestellt.

Was ist ein Kräftesystem?

Das Kräftesystem ist ein Begriff aus der Mechanik, der ein System von mechanischen Wechselwirkungen zwischen Körpern bezeichnet. Bei der Analyse von Kräftesystemen geht es darum, unbekannte Kräfte im System zu berechnen, das →Kräftesystem in ein einfacheres, gleichwertiges zu überführen, was weitere Analysen erleichtert, oder die durch die Kräfte bewirkten Beschleunigungen der beteiligten Körper zu ermitteln. Die analytische Methode allgemeiner Kräftesysteme ist ohne den Begriff des Drehmoments nicht möglich.

Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe verharrt oder seinen Bewegungszustand beibehält. Dies stellt Bedingungen an das an ihm angreifende Kräftesystem. In einem Gleichgewichtssystem verschwinden die resultierende Kraft und das resultierende Moment. Früher wurde dies erster und zweiter Hauptsatz der Statik starrer Körper genannt. Ein Kräftesystem, das einen Körper im Gleichgewicht belässt, ist ein „Gleichgewichtssystem“ oder eine Gleichgewichtsgruppe.

Solche Systeme ändern das Gleichgewicht oder die Wirkung des Kräftesystems auf einen starren Körper nicht. Dürfen aber entsprechend zu einem Kräftesystem hinzugefügt oder aus ihm entfernt werden.

Die Zerlegung von Kräften ist der umgekehrte Vorgang zur Bestimmung der Resultierenden. Eine Kraft zerlegst du in Komponenten, deren Resultierende die Kraft selbst ist. Praktisch ist die Zerlegung in paarweise senkrechte Komponenten, was analytisch auf die Darstellung des Kraftvektors bezüglich einer Orthonormalbasis hinaus läuft.

Nur für die Analyse der Wirkung auf starre Körper oder Gleichgewichtsbetrachtungen an deformierbaren Körpern dürfen Kräfte gedanklich hinzugefügt, abgezogen oder verschoben werden. Wenn dich die Schnittreaktionen und die Deformation von Körpern dann darfst du die Kräfte nicht verändern. Nur das Zerlegen in Komponenten oder das Zusammenfassen in einem Punkt angreifender Kräfte zu einer Resultierenden ist immer möglich.

Mathematische und Physikalische Zusammenhänge werden meist mit Hilfe von Formeln dargestellt. Eine Formel stellt den Zusammenhang zwischen verschiedenen physikalischen, geometrischen und mathematischen Größen dar. Willst du eine dieser Größen berechnen, müssen die anderen Größen bekannt sein. Die Gleichung muss zur gesuchten Größe hin umgestellt werden.

→Formeln umstellen – eine der wichtigsten Voraussetzungen zum Lösen von Aufgaben aus der Physik, Mathematik, Chemie und vieles mehr. Gleichungen (Formeln) so umzuformen, so dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht, ist prinzipiell nicht schwer. Leider stellt das Umstellen von Formeln für viele Schüler – selbst in der Oberstufe – eine mittelgroße Schwierigkeit dar.

Schwierigkeiten beim Umstellen von Formeln haben zur Folge, dass kaum eine Aufgabe sicher gelöst werden kann, was zu Frustration und manchmal sogar zur Resignation führt. Wenn du jedoch einmal verstanden hast, wie es geht, und gemerkt hast, dass das Formeln umstellen eigentlich ganz einfach ist. Dann führt das nicht nur schlagartig zu besseren Leistungen sondern auch zu mehr Spaß und Motivation im Matheunterricht.

Was ist eine Formel, was eine Gleichung?

Jede Formel hat die Form einer Gleichung. Jede Gleichung besteht aus zwei Seiten und einem Gleichheitszeichen dazwischen. Das Gleichheitszeichen besagt, dass auf beiden Seiten das Gleiche steht – auch wenn es völlig anders aussieht.

Es ist möglich, jede Gleichung zu verändern, indem du etwas hinzuaddiert, subtrahiert oder eine beliebige andere Rechenoperation durchführt. Doch damit die Gleichung erfüllt bleibt, also noch immer auf beiden Seiten das Gleiche steht, muss man jede Rechenoperation immer gleichermaßen auf beiden Seiten durchführen.

Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt, du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.

Mithilfe von →Äuqivalenzumformungen kann eine Gleichung zu einer anderen, äquivalenten Gleichung umgeformt werden, ohne dass die Lösungsmenge verändert wird. 

Dies wird meist dazu verwendet, in einfachere Gleichungen umzuformen und dadurch die ursprüngliche Gleichung zu lösen.

Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren die innere Kraft, die beispielsweise ein Zugstab aufzunehmen hat, mit der Normalkraft gefunden wird. Diese wirkt als innere Spannung auf das jeweilige Bauteil. Es ist jedoch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark „beansprucht“. Das hängt offenbar davon ab, wie viele Flächenteilchen an der Kraftübertragung beteiligt sind. Als Maß für die Höhe der Beanspruchung des Werkstoffes bietet sich diejenige innere →Kraft an, die von der Flächeneinheit übertragen werden muss. 

Was ist die mechanische Spannung?

Die mechanische Spannung (Formelzeichen σ (kleines Sigma) und τ (kleines Tau) ist ein Maß für die innere Beanspruchung eines Körpers infolge dessen Belastung von außen. Da innerhalb der →Mechanik keine Verwechslungsgefahr mit der elektrischen Spannung besteht, bezeichnet man diese kurz als Spannung.

Die mechanische Normal-Spannung σ auf einer gedachten Schnittfläche A durch einen Körper ist die auf sie bezogene senkrecht auf sie wirkende Komponente F_n einer äußeren Kraft F

Man setzt voraus, dass jedes Flächenteilchen eines Querschnitts gleichmäßig an der Kraftübertragung beteiligt ist. Dadurch ist der Quotient aus der inneren Kraft F und der Querschnittsfläche A ein Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs. 

Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftübertragung beteiligten Fläche heißt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (Newton) und einer Flächeneinheit (mm²) sein.

Die Spannungen sind vorstellbar als die pro Flächeneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen Flächeneinheit. Statt Spannungen sagt man auch „mechanische“ Spannungen. 

Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stabachse. Der Stab verlängert  (dehnt) sich. Die innere Kraft FN steht rechtwinklig auf der Schnittfläche, es entsteht die Normalspannung σz (Zugspannung). 

Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander näher zu bringen. Der Stab verkürzt sich. Die innere Kraft FN steht normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche, es entsteht wieder eine Normalspannung σd (Druckspannung). Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerks usw.) verlängert sich um einen bestimmten Betrag ∆l. Hat der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge l₀, im gespannten Zustand dagegen die Länge l, so ist seine Verlängerung ∆l die Differenz von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge l₀.

Als Betragsgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, in der der Absolutbetrag eines oder mehrerer Terme vorkommt. Der Begriff ist ein bisschen unscharf, wenn du nicht genau definierst, um welche Arten von Termen es sich dabei handelt. Es stellt sich die Frage, ob es eine oder mehrere reelle Zahlen x gibt, für die die Aussage wahr ist. Und wenn, um welche Werte es sich dabei handelt.

Um eine Betragsgleichung lösen zu können, sollten wir uns erinnern, was der Absolutbetrag einer reellen Zahl ist. Den Betrag einer negativen Zahl erhalten wir, indem wir ”das Minuszeichen weglassen“. Das Problem ist, dass wir zunächst nicht wissen, ob der Betragsterm einen positiven oder eine negativen Wert hat oder Null ist.

Du kannst die Methode der Fallunterscheidung systematisieren, sodass du sie auch auf kompliziertere Betragsgleichungen anwenden kannst. Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.

Fallunterscheidungen zum Lösen einer Betragsgleichung

Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert. Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine →quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen. Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können.

Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen Kleinerzeichen, Kleinergleichzeichen, Größergleichzeichen oder Größerzeichen verbunden sind. Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen.

Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt, so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind. Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in →äquivalente Ungleichungen umzuformen. Auch ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.