Rationale Exponenten sind also Exponenten aus der Menge der Rationalen Zahlen. In der Mathematik kann man Produkte aus gleichen Faktoren als Potenzen schreiben. Allgemein wird eine Potenz mit aⁿ beschrieben. Das a wird dabei als Basis bezeichnet, das n ist der Exponent – oft auch Hochzahl genannt.

Was ist ein natürlicher Exponent?

Potenzen mit natürlichem Exponenten. Wir potenzieren eine Zahl mit natürlichen Zahlen, also ganzen, positiven Zahlen, wobei wir die Null auch zulassen wollen. Die Zahl nennen wir allgemein a und den Exponenten n (weil er eine natürlich Zahl ist).

Wenn man eine Gleichung mit einem Exponenten in der Form x=5³ hat, braucht man nur 5 · 5 ·5 ausrechnen und erhält den Wert für x. 2. Bei einer Gleichung wie x³=125 zieht man auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, bzw. wie in diesem Fall die 3.

Eine Potenz (von lateinisch potentia ‚Vermögen, Macht‘) ist das Ergebnis des Potenzierens (der Exponentiation), das wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation ist. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt zu sich selbst addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt mit sich selbst multipliziert. Dabei heißt die Zahl, die zu multiplizieren ist, Basis. Wie oft diese Basis als Faktor auftritt, wird durch den Exponenten angegeben.

Was sind Rationale Exponenten?

Der Wert der Potenz hängt nicht davon ab, welche Bruchdarstellung man gewählt hat. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen mit ungeraden Wurzelexponenten zulässt, dann kann man diese Definition auf negative Basen und solche rationale Exponenten erweitern, deren gekürzte Bruchdarstellungen ungerade Nenner haben. Dazu gehören auch Potenzen mit negativen Basen und ganzen Exponenten, weil die Nenner in diesem Fall gleich 1 sind.

Rationale Exponenten sind also Exponenten aus der Menge der →Rationalen Zahlen „Q“ .

Die Hochzahlen sind also Brüche. ¼ ist demnach der rationale Exponent bei x1/4.

Du kannst alle →Rechenregeln für Potenzen auch auf Wurzeln anwenden. Dazu gehören natürlich die Potenzregeln, aber später zum Beispiel auch manche Ableitungsregel.

Die Potenzen mit rationalem Exponenten sind also nur eine andere Schreibweise für Wurzelausdrücke. Das kann gerade an Computern oft hilfreich sein, da ein Wurzelzeichen nicht immer zu finden ist.

Eine reellwertige Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind. Eng verwandt ist der Begriff der reellen Funktion, der aber in der Literatur nicht eindeutig verwendet wird. Reelle Funktionen finden sich in fast allen Teilbereichen der Mathematik. Insbesondere in der Analysis, der Funktionalanalysis und der Optimierung.

Der Begriff der reellen Funktion wird in der mathematischen Literatur nicht einheitlich verwendet. Teilweise ist dieser Begriff synonym zu einer reellwertigen Funktion. Andererseits werden darunter auch nur Funktionen verstanden, deren Definitionsmenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Reelle Funktionen sind Abbildungen. In diesen sind sowohl die Definitionsmenge als auch die Wertemenge Teilmengen von R sind.

Globale Extremstellen einer Funktion geben an, wo ihre Funktionswerte minimal bzw. maximal werden. Die globalen Extrema sind die zugehörigen Funktionswerte.  

An einer lokalen Extremstelle ändert sich die Monotonie der Funktion.

Jedes globale Extremum ist entweder ein lokales Extremum oder es liegt am Rand des Definitionsbereiches. Wir unterscheiden folgende Arten von Extremstellen: lokal oder global und Minimum oder Maximum.

In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von →Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte nennt man Periode. Einfache Beispiele sind Sinus- und Kosinus-Funktionen. Damit du auch Funktionen mit Lücken im Definitionsbereich, wie die Tangens-Funktion, zu den periodischen Funktionen zählen kannst, erlaubt man →Definitionsbereiche mit periodischen Lücken. Eine periodische Funktion besitzt allerdings nicht nur eine Periode. Denn jedes Vielfache einer Periode ist auch wieder eine Periode.

Reelle Funktionen können sich verändern

Ein Änderungsmaß beschreibt die Änderung einer Zahl. Es gibt verschiedene Änderungsmaße.

1. Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus „oberem Wert“ minus „unterem Wert“. Sie hat im Unterschied zur relativen oder prozentuellen Änderung eine physikalische Einheit.

2. Die relative oder prozentuelle Änderung ist die absolute Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie hat keine physikalische Einheit.

3. Der Differenzenquotient (die Steigung der Sekante, die mittlere Änderungsrate) beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe zur Veränderung einer unabhängigen Größe.

Dezimalzahlen nennt man die Zahlen, in denen ein Komma vorkommt (zum Beispiel 6,4 oder 0,7). Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalstellen. Die erste Nachkommastelle steht für die Zehntel, die zweite steht für Hundertstel, die dritte für Tausendstel und so weiter.

Was sind Kommastellen?

Dezimalzahlen werden dazu verwendet um nicht-ganze Zahlen darzustellen, sprich Teile an etwas Ganzem. Man unterscheidet dabei zwischen den Stellen vor und nach dem Komma. Diese nennt man daher auch Vorkommastellen und Nachkommastellen. Die Stellen rechts vom Komma bezeichnet man außerdem noch als Dezimalstellen.

Die Nachkommastellen sind die Stellen hinter dem (rechts vom) Komma einer Dezimalzahl oder allgemeiner einer nicht-ganzen Zahl, die mit einem Stellenwertsystem als Kommazahl dargestellt wird. Im ersten Fall spricht man auch von Dezimalstellen oder Dezimalen.

Wie rechnest du mit Dezimalzahlen?

Du multiplizierst zwei Dezimalzahlen, indem du für die Rechnung zunächst das Komma weglässt. Anschließend zählst du die Nachkommastellen der Faktoren und setzt das Komma an der entsprechenden Stelle im Ergebnis.

Bei der Division von zwei Dezimalzahlen verschiebst du zunächst das Komma in beiden Zahlen gleich weit um so viele Stellen nach rechts, dass der Divisor eine natürliche Zahl ist. Die Verschiebung des Kommas bedeutet, dass beide Zahlen mit der gleichen Zehnerpotenz multipliziert werden.

Bei der Multiplikation mit 10 wurde also eine 0, bei der Multiplikation mit 100 zwei 0 und bei der Multiplikation mit 1000 drei 0 an den ersten Faktor angehängt.

Ist beim Multiplizieren einer der beiden Faktoren eine Dezimalzahl, so muss das Ergebnis der Multiplikation genau so viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie der 1. Faktor.

Sind beim Multiplizieren beide Faktoren Dezimalzahlen, so muss das Ergebnis der Multiplikation genau so viele Dezimalstellen (= Kommastellen) haben wie die beiden Faktoren zusammen.

Periodische Dezimalzahlen entstehen bei der Division mit Rest, wenn du den Rest weiter dividierst. Hat der Divisor nur die Primfaktoren 2 oder 5, so erhältst du eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen. Hat der Divisior als Teiler 3 oder 7, 11, usw. so erhältst du eine periodische Dezimalzahl.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits wissen, was eine Gleichung ist. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung ersten Grades, die Variable x kommt in keiner höheren als der ersten Potenz vor. x ist die Variable.

Eine lineare Gleichung darf keine trigonometrischen Funktionen, wie den Sinus, angewendet auf eine Variable enthalten. Hier wird durch eine Variable geteilt. Das ist in linearen Gleichungen nicht erlaubt. In linearen Gleichungen dürfen Variablen zwar mit Zahlen, aber nicht mit Variablen multipliziert werden.

Eine Gleichung heißt allgemeingültig, wenn sie unabhängig von den Werten der Variablen wahr ist. Die Gleichung x−x=0 ist allgemeingültig, denn für jedes x∈R ist sie wahr.

Wie löse ich eine Lineare Gleichung?

Zunächst fasst du, wenn möglich, die beiden Seiten zusammen. Als nächstes stellst du die Gleichung um. Und zwar so, dass x nur noch alleine, links steht und rechts nur Zahlen. Auf die gleiche Weise kann man immer vorgehen. Erst die beiden Seiten so weit wie möglich zusammenfassen und vereinfachen. Dann weiter vereinfachen durch →Äquivalenzumformungen. Geschickt etwas abziehen, was auf beiden Seiten steht. Schliesslich sollte auf der einen Seite nur noch ein Vielfaches der Variablen stehen und auf der anderen eine Zahl. Man teilt durch die Zahl vor der Variablen und hat die Gleichung gelöst.

Eine lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, in der ausschließlich Linearkombinationen der Unbekannten vorkommen. Kennzeichnend ist für eine lineare Gleichung also, dass jede Unbekannte nur in der ersten Potenz steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt (siehe quadratische Gleichung). Typischerweise sind die Unbekannten einer linearen Gleichung Skalare, meist reelle Zahlen. Im einfachsten Fall einer skalaren Unbekannten x besitzt eine lineare Gleichung die Form a⋅x = b, wobei a und b Konstanten sind.

Welche Arten von linearen Gleichungen gibt es?

Es gibt aber auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten und mit anderen mathematischen Objekten als Unbekannten, beispielsweise Folgen (lineare Differenzengleichungen), Vektoren (lineare Gleichungssysteme) oder Funktionen (lineare Differentialgleichungen). Im allgemeinen Fall besitzt eine lineare Gleichung die Form T(x) = b ,wobei T eine lineare Abbildung ist.

Homogene lineare Gleichungen sind spezielle lineare Gleichungen, bei denen der konstante Term b der Gleichung gleich null ist. Die Lösungen einer homogenen linearen Gleichung bilden einen Untervektorraum des →Vektorraums der Unbekannten und besitzen damit besondere Eigenschaften wie die Gültigkeit des Superpositionsprinzips. 

Die Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung bilden hingegen einen affinen Unterraum, so lässt sich jede Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung als Summe der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Der Lösungsraum einer linearen Gleichung kann über den Kern und den Kokern der linearen Abbildung charakterisiert werden.

Lineare Gleichungen und deren Lösungen werden insbesondere in der linearen Algebra und der linearen Funktionalanalysis studiert, sie spielen aber auch in der Zahlentheorie eine Rolle.

Üblicherweise werden in der Geometrie Geräte wie Zirkel, Lineal und Geodreieck, aber auch der Computer verwendet. Die →Geometrie befasst sich mit geometrischen Transformationen oder dem Messen von geometrischen Größen wie Länge, Winkel, Fläche, Volumen, Verhältnisse usw. Auch komplexere Objekte wie spezielle Kurven oder Kegelschnitte kommen vor. Darstellende Geometrie ist die zeichnerische Darstellung der dreidimensionalen euklidischen Geometrie in der (zweidimensionalen) Ebene.

Welche Grundbegriffe git es in der Geometrie?

Unter einem Quadrat versteht man ein ebenes Viereck mit vier rechten Winkeln und gleich langen Seiten. Ein Quadrat besitzt vier Spiegelungsachsen, nämlich seine Mittellinien, das sind die Verbindungsgeraden der Mitten gegenüberliegender Seiten und die beiden Diagonalen.

Jedes Quadrat ist auch ein Rechteck, nämlich eines mit lauter gleich langen Seiten. Auch ist jedes Quadrat  eine Raute, nämlich eine mit vier rechten Winkeln. Und jedes Quadrat ist außerdem auch ein Parallelogramm, ein symmetrisches Trapez und ein Drachenviereck.

Unter einem Rechteck versteht man ein ebenes Viereck mit vier rechten Winkeln. Insbesondere ist ein Rechteck stets ein konvexes Viereck. Da wegen der rechten Winkel die Gegenseiten parallel zueinander sind, handelt es sich um ein Parallelogramm.

Jedes →Dreieck hat drei Eckpunkte, drei Seiten und drei Winkel. … Für Winkel werden kleine griechische Buchstaben verwendet (zum Beispiel α, β und γ). Dabei ist α der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ am Eckpunkt C. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180 °

Dreiecke können nach ihren Seitenlängen oder ihren Winkeln eingeteilt werden. Um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können, müssen mindestens drei Bestimmungsstücke (Seiten oder Winkel) bekannt sein. Eines dieser Bestimmungsstücke muss eine Seitenlänge sein.

Dreiecke mit drei spitzen Winkeln heißen spitzwinklige Dreiecke, mit einem stumpfen Winkel heißen sie stumpfwinklig. Mit einem rechten Winkel heißen sie rechtwinklige Dreiecke. Im rechtwinkligen Dreieck bilden die Katheten den rechten Winkel.

Das allgemeine Dreieck entsteht, wenn man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte A, B und C durch Strecken verbindet. … Die Aussagen lassen sich auch auf stumpfwinklige Dreiecke, also Dreiecke mit einem stumpfen Innenwinkel, übertragen.

Der Satz von Pythagoras, auch Pythagoräische Lehrsatz genannt, besagt folgendes. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der beiden Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Mathematisch ausgedrückt lautet der Satz des Pythagoras a² + b² = c²

Der Pythagoräische Lehrsatz ist einer der fundamentalen Aussagen der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen Ebenen rechtwinkliger Dreiecke die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates ist.

Als Hypotenuse bezeichnet man die längste der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie ist immer diejenige Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt. Die anderen beiden Seiten bezeichnet man als Katheten. Kennt man die Längen der beiden Katheten kann man damit die Hypotenuse berechnen. Durch geschicktes Umformen können alle Seiten bei gegebener Hypothenuse und einer Seite errechnet werden.

Wann darf ich den Pythagoras verwenden?

Den Satz des Pythagoras darfst du nur anwenden, wenn ein rechter Winkel im Dreieck vorliegt. Die beiden Seiten des Dreiecks, die an diesem Rechten Winkel (90°) liegen, werden üblicherweise mit a und b bezeichnet und die Hypotenuse wird als c bezeichnet.

Wie bei einem →allgemeinen Dreieck gilt auch für ein →Rechtwinkeliges Dreieck, dass die drei Begrenzungslinien des Dreiecks Seiten genannt und diese meist mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet werden. Die Seite a liegt gegenüber dem Eckpunkt A, die Seite b gegenüber dem Eckpunkt B, und die Seite c liegt gegenüber dem Eckpunkt C. Die Summe der drei Innenwinkel beträgt

Winkel werden in Grad (kurz: ° ) und gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Ein Geodreieck hat zwei Skalen zum Messen von Winkeln, eine Seitenskala und eine innere Skala.

Ein rechter Winkel ist ein Winkel von 90° und damit der vierte Teil eines Vollwinkels zu 360°. Zwei Geraden oder Strecken, die sich in einem rechten Winkel schneiden oder berühren, werden als rechtwinklig, senkrecht oder orthogonal bezeichnet.

Winkel messen – Vorgehensweise

• Das Geodreieck muss mit dem Nullpunkt auf dem Scheitelpunkt des Winkels liegen.
• Die eine Hälfte der langen Seite des Geodreiecks muss außerdem auf einer der beiden Halbgeraden liegen.
• Nun musst du noch die richtige Winkelskala auswählen …
• Jetzt kannst du die Größe des Winkels ablesen.