Als Betragsgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, in der der Absolutbetrag eines oder mehrerer Terme vorkommt. Der Begriff ist ein bisschen unscharf, wenn du nicht genau definierst, um welche Arten von Termen es sich dabei handelt. Es stellt sich die Frage, ob es eine oder mehrere reelle Zahlen x gibt, für die die Aussage wahr ist. Und wenn, um welche Werte es sich dabei handelt.

Um eine Betragsgleichung lösen zu können, sollten wir uns erinnern, was der Absolutbetrag einer reellen Zahl ist. Den Betrag einer negativen Zahl erhalten wir, indem wir ”das Minuszeichen weglassen“. Das Problem ist, dass wir zunächst nicht wissen, ob der Betragsterm einen positiven oder eine negativen Wert hat oder Null ist.

Du kannst die Methode der Fallunterscheidung systematisieren, sodass du sie auch auf kompliziertere Betragsgleichungen anwenden kannst. Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.

Fallunterscheidungen zum Lösen einer Betragsgleichung

Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert. Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine →quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen. Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können.

Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen Kleinerzeichen, Kleinergleichzeichen, Größergleichzeichen oder Größerzeichen verbunden sind. Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen.

Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt, so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind. Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in →äquivalente Ungleichungen umzuformen. Auch ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.