Der binomische Lehrsatz führt zu den binomischen Formeln. Diese sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, die zum einen das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken erleichtern. Zum anderen erlauben sie die Faktorisierung von Termen. Also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte. Dies stellt bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie Logarithmenausdrücken sehr oft die einzige Lösungsstrategie dar. Im Grunde sind sie Spezialfälle des Distributivgesetzes für algebraische Summen. Jedes Glied der einen wird mit jedem der anderen Summe multipliziert.

Eine der bekanntesten Formeln in der Mathematik ist (a+b)² =a² +2ab+b².

Der →binomische Lehrsatz für den Fall n = 2 heißt erste binomische Formel. Im Grunde ist dies nur ein Spezialfall eines allgemeinen Satzes, des binomischen Lehrsatzes.

Wenn du höhere Potenzen ausrechnen willst, z.B. (a+b)⁴ wird der Rechenaufwand beim Ausmultiplizieren sehr groß.

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms als Polynom n-ten Grades in den Variablen a und b auszudrücken. In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck auszumultiplizieren ist. Der binomische Lehrsatz für den Fall n = 2 heißt erste binomische Formel. Die Koeffizienten dieser Polynomausdrücke sind die →Binomialkoeffizienten

Was ist der Binomialkoeffizient?

Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k-bestimmte Objekte aus einer Menge von n-verschiedenen Objekten auswählen kann. Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge. Der Binominalkoeffizient ist also die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

Mit ihrer Hilfe lassen sich leicht alle Binomialkoeffizienten bis zu einer vorgegebenen Schranke für n bestimmen, ein Schema dafür ist das Pascalsche Dreieck: Der rekursive Teil entspricht dort der Tatsache, dass jede Zahl die Summe der beiden über ihr stehenden Zahlen ist.

Die absolute Häufigkeit (auch Absoluthäufigkeit) gibt an, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintritt, sie gibt somit eine Anzahl an. Hingegen beschreibt die relative Häufigkeit, wie groß der Anteil der absoluten an der Gesamtzahl der Versuche ist. 

Der Begriff Absoluthäufigkeit ist gleichbedeutend mit dem umgangssprachlichen Begriff Anzahl. Sie ist ein Maß der deskriptiven Statistik und soll sich vom Begriff der relativen abgrenzen. Die absolute Häufigkeit ist das Ergebnis einer einfachen Zählung von Objekten oder Ereignissen (besser Elementarereignissen). Sie gibt an, wie viele Elemente mit dem gleichen interessierenden Merkmal gezählt wurden.

Als Anzahl kann sie nur eine natürliche Zahl sein und auch nicht negativ werden. Wegen ihres festen Nullpunkts und der festen ganzzahligen Einheiten ist sie eine Absolutskala. Das heißt, ihr Nullpunkt und die Größe der Einheiten kann nicht sinnvoll verändert werden. Im Gegensatz zur relativen sind die Werte der absoluten also absolut, sprich unveränderlich. Ihr Wertebereich geht von 0 bis Unendlich.

Für den Vergleich von Teilmengen unterschiedlich großer Grundmengen eignet sich hingegen die absolute Häufigkeit nicht. Die Höhe der absoluten Häufigkeiten hängt vom Umfang der betrachteten Grundmenge ab, was diesen Vergleich unsinnig macht. Für einen solchen Vergleich verwendet man deshalb ein normiertes Maß, die relative Häufigkeit.

Wie berechne ich die Häufigkeit?

Relative Häufigkeiten berechnest du bezüglich einer zugrundeliegenden Menge. Diese Menge kann sowohl eine Grundgesamtheit als auch eine Stichprobe sein. Um die relative Häufigkeit zu definieren, nehmen wir an, dass die zugrundeliegende Menge n Elemente aufweist. Unter diesen Elementen tritt H_n(A)-mal das Ereignis A auf. Die relative Häufigkeit kannst du berechnen, indem du die Anzahl der Beobachtungen mit dem Merkmal A durch die Gesamtzahl aller Elemente in der zugrundeliegenden Menge dividierst.

Die relative Häufigkeit berechnest du, indem du die Absoluthäufigkeit eines Merkmals in einer zugrundeliegenden Menge durch die Anzahl der Objekte in dieser Menge teilst. Dadurch erkennst du, dass sie eine Bruchzahl ist und einen Wert zwischen 0 und 1 hat. Du kannst sie somit als Prozentwert angeben

Eine arithmetische Folge (auch arithmetische Progression) ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist. Eine einfache arithmetische Folge stellen die ungeraden natürlichen Zahlen dar: 1,3,5,7,9,…

Als Folge oder Sequenz wird in der Mathematik eine Auflistung (Familie) von endlich oder unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten (beispielsweise Zahlen) bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten.

Die zwei wichtigsten Folgen sind die arithmetische und die geometrische Folge. Sie treten in der Natur (radioaktiver Zerfall, bakterielles Wachstum), den Finanzwissenschaften (Zinsen und Zinseszinsen) und vielen weiteren Bereichen auf. Man sieht zudem, dass ein Wechsel zwischen expliziter und rekursiver Darstellung sehr einfach ist.

Was ist eine arithmetische Folge und eine geometrische Folge?

Du kannst erkennen, dass die Ähnlichkeit der zwei Definitionen nicht zufällig ist, die arithmetische Folge wächst additiv, die geometrische multiplikativ. Die geometrische Folge tritt in vielen Wachstums- und Zerfallsprozessen in der Natur auf, in der Zinsrechnung haben sowohl arithmetische als auch geometrische Folge ihren Platz.

Eine geometrische Folge ist eine regelmäßige mathematische Zahlenfolge mit der Eigenschaft, dass der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant ist.

Die Bezeichnung „geometrische Folge“ leitet sich aus dem geometrischen Mittel ab. Jedes Glied einer geometrischen Folge ist nämlich das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Summierung der Folgenglieder ergibt die geometrische Reihe.

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge, deren n-tes Glied die Summe der ersten n Glieder der zugehörigen geometrischen Folge ist. 

Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Reihen, je nachdem, ob n endlich ist oder nicht. Eine unendliche geometrische Reihe entsteht, wenn bei der geometrischen Reihe n gegen unendlich geht. 

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist die Folge, deren Glieder die Summe der ersten n Glieder (den Partialsummen) einer arithmetischen Folge sind. Arithmetische Reihen sind im Allgemeinen divergent. Es interessieren deshalb vor allem die Partialsummen, die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe. Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen exponentiellen Verzinsung (mit Zinseszinsen), bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt. Sie wird deshalb auch auch Momentanverzinsung, Augenblicksverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung genannt. Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht gegen 0.

Einer der Vorteile der stetigen Verzinsung ist, dass man sich keine Gedanken über die Zinskapitalisierung machen muss, da zu jedem Zeitpunkt kapitalisiert wird. Damit ist die stetige Verzinsung oft auch Grundlage von finanzmathematischen Modellen, da sich diese Verzinsungsart besonders einfach handhaben lässt.

Nicht nur die stetige Verzinsung ist ausschlaggebend

Beim Äquivalenzprinzip ist es egal, ob du den →Barwert oder den Endwert berechnest oder gar auf einen anderen Stichtag verzinst. Das bessere Angebot ist jedesmal besser, und dass zu jedem Zeitpunkt. Das Äquivalenzprinzip ist wichtig. Wenn du z. B. Einzahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten getätigt werden, vergleichst.

Unter einem Cashflow (Zahlungsstrom) kannst du in der Wirtschaftsmathematik eine betriebswirtschaftliche Kennzahl verstehen. Bei dieser Kennzahl stellst du Einzahlungen und Auszahlungen innerhalb eines bestimmten Zeitraums einander gegenüber. Dadurch kannst du Aussagen zur Innenfinanzierung, Liquidität etc. eines Wirtschaftssubjektes machen. Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr.

Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr. Üblich sind beispielsweise Zeiträume von:

•  einem halben Jahr,
• einem Quartal oder
• einem Monat oder
•  tageweise bei Restmonaten

Bei einem Kredit wird in der Regel zwischen Nominalzins und Effektivzins unterschieden. Der Nominalzins – auch Sollzins genannt – ist der Zinssatz für einen Kredit pro Kalenderjahr. Deshalb trägt er häufig als Zusatzkennzeichnung die Abkürzung „p. a.“ (per annum).

Unter einem →unterjährigen Zinssatz versteht man einen Zinssatz, der sich auf Verzinsungsperioden unter einem Jahr bezieht. Durch die Unterteilung in mehrere Zinsperioden ergibt sich durch den Zinseszins ein höherer Jahreszinssatz. Der Zinsfaktor ist ein Begriff aus der Zinsrechnung. Er gibt an, um wie viel das Kapital in einem Jahr wächst. In Formeln der Zinsrechnung ist der Zinsfaktor mit q abgekürzt.

Die Halbwertszeit oder Halbwertzeit ist jene Zeitspanne, nach der eine abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht. In der Medizin und Pharmakologie spricht man von diesem Wert bei dem die Hälfte des Höchstwertes erreicht wird.

Folgt die Abnahme einem Exponentialgesetz, dann bleibt die Halbwertszeit immer die gleiche. Auch wenn man die Restmenge, die nach einer beliebigen Zeit übrig ist, als neue Anfangsmenge nimmt. Bei exponentieller Abnahme charakterisiert daher die Halbwertszeit den zugrunde liegenden Prozess.

Der →radioaktive Zerfall eines gegebenen Radionuklids verläuft exponentiell. Die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, in der die Menge und damit auch die Aktivität eines gegebenen Radionuklids durch den Zerfall auf die Hälfte gesunken ist.

Die biologische Halbwertszeit oder Eliminationshalbwertszeit ist die Zeitspanne, in der in einem Organismus (Mensch, Tier, Pflanze, Einzeller) die Menge einer inkorporierten Substanz durch die Wirkung aller beteiligten biologischen Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung usw.) auf die Hälfte abgesunken ist.

Die Halbwertszeit ist ein exponentieller Prozess

Das Zerfallsgesetz setzt als Menge eine kontinuierliche, als reelle Zahl darstellbare Größe voraus. Es ist aber auch auf ganzzahlige Größen anwendbar. Wie z. B. die Anzahl der Atome in der radioaktiven Substanzprobe. Es beschreibt jeweils den messtechnischen Erwartungswert, also Mittelwert über viele gedachte Einzelmessungen.

Bei einem →exponentiellen Prozess handelt es sich um einen Vorgang, bei dem sich eine Größe exponentiell ändert. Man unterscheidet zwischen exponentiellem Wachstum, bei dem eine Größe immer schneller wächst. Und einer exponentieller Annäherung, bei der sich eine Größe einem festen Wert annähert. Der praktisch wichtigste Spezialfall hiervon ist der exponentielle Zerfall. Bei dieser nähert sich die Größe monoton abnehmend immer langsamer dem Nullwert.

Ist die Abnahme einer Größe proportional zum jeweiligen Wert der Größe selbst. So spricht man von →exponentiellem Zerfall, exponentieller Abnahme oder exponentiellem Abfall.

Die „Generationszeit“ bezeichnet den Zeitraum, in dem eine Population ihre Zellzahl verdoppelt. Die →Verdopplungszeit den Zeitraum für die Verdopplung der Zellmasse. Bakterien vermehren sich durch Zellteilung (Mitose). Dabei werden alle Organellen verdoppelt und das Bakterium teilt sich in eine identische Tochterzelle. Der Prozess kann einige Minuten, Stunden oder Tage dauern.

Als Betragsgleichung wird eine Gleichung bezeichnet, in der der Absolutbetrag eines oder mehrerer Terme vorkommt. Der Begriff ist ein bisschen unscharf, wenn du nicht genau definierst, um welche Arten von Termen es sich dabei handelt. Es stellt sich die Frage, ob es eine oder mehrere reelle Zahlen x gibt, für die die Aussage wahr ist. Und wenn, um welche Werte es sich dabei handelt.

Um eine Betragsgleichung lösen zu können, sollten wir uns erinnern, was der Absolutbetrag einer reellen Zahl ist. Den Betrag einer negativen Zahl erhalten wir, indem wir ”das Minuszeichen weglassen“. Das Problem ist, dass wir zunächst nicht wissen, ob der Betragsterm einen positiven oder eine negativen Wert hat oder Null ist.

Du kannst die Methode der Fallunterscheidung systematisieren, sodass du sie auch auf kompliziertere Betragsgleichungen anwenden kannst. Gleichungen, bei denen von der Variablen direkt oder indirekt der absolute Betrag angegeben ist, sind weder der Gruppe der algebraischen Gleichungen noch der Gruppe der transzendenten Gleichungen zuzuordnen. Beim Lösen von Gleichungen mit Beträgen sind Fallunterscheidungen vornehmen.

Fallunterscheidungen zum Lösen einer Betragsgleichung

Dies wird für lineare und quadratische Gleichungen demonstriert. Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine →quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen. Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können.

Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen Kleinerzeichen, Kleinergleichzeichen, Größergleichzeichen oder Größerzeichen verbunden sind. Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen.

Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt, so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind. Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in →äquivalente Ungleichungen umzuformen. Auch ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.