Flächenschwerpunkt und Linienschwerpunkt berechnen?

Im Speziellen wird der geometrische Schwerpunkt von Linien auch Linienschwerpunkt, von Flächen Flächenschwerpunkt und von Körpern Volumenschwerpunkt genannt. Den Schwerpunkt kann man in einfachen Fällen durch geometrische Überlegungen erhalten, oder allgemein mit Mitteln der Mathematik durch Integration berechnen. Der Schwerpunkt ist ein Gravizentrum.

Der geometrische Schwerpunkt entspricht dem Massenmittelpunkt eines physikalischen Körpers, der aus homogenem Material besteht, also überall die gleiche Dichte hat. Er lässt sich deshalb auch rein mechanisch durch Balancieren bestimmen.

Flächen haben also auch einen Schwerpunkt. Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts ist z. B. für die Berechnung von Flächenmomenten zweiten Grades in der Festigkeitslehre erforderlich.

Wie berechne ich den Flächenschwerpunkt?

Der Schwerpunkt zusammengesetzter Flächen wird mit dem Momentensatz für Flächen bestimmt. Ist die Fläche unsymmetrisch, muss man die Lage zweier Schwerlinien ermitteln. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S. 

Dafür zerlegst du die gesamte Fläche in Teilflächen mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in ein Rechteck, ein Quadrat etc. Zeichne die Teil-Schwerpunkte S ein. Dann lege einen Momentenbezugspunkt 0 fest, und zwar möglichst so, dass alle Flächenmomente den gleichen Drehsinn erhalten. Man wählt hier die rechte untere Ecke der Fläche und legt durch diesen Punkt ein rechtwinkliges Achsenkreuz. 

Aus den gegebenen Abmessungen berechnest du die Teilflächen, ihre Schwerpunktsabstände x von der y-Achse und y von der x-Achse und die Gesamtfläche A. 

Wie berechne ich den Linienschwerpunkt?

Für Linienzüge oder zusammengesetzten Linien wird der Schwerpunkt mit dem Momentensatz für Linien bestimmt. Bei unsymmetrischen Linienzügen musst du die Lage für zwei Schwerlinien bestimmen. Im Übrigen gelten die gleichen Regeln wie für den Momentensatz für Flächen. 

Zerlege den Linienzug in Teillinien mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in zwei Strecken und zeichnet die Teilschwerpunkte S ein. 

Die Lage des Gesamtschwerpunkts S wird angenommen. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt. Bei symmetrischen Linienzügen wählt man dafür zweckmäßig einen Punkt auf der Symmetrielinie. 

Aus den gegebenen Abmessungen des Linienzuges berechnet man die Längen der Teillinien, ihre Schwerpunktsabstände x von der y- Achse und die Gesamtlänge l = l1 + l2 +…+ ln. 

Der Momentensatz für Linien liefert nun wieder eine Bestimmungsgleichung für die Schwerpunktsabstände, mit dieser kannst du nach x0 und y0 auflösen und die Abstände ausrechnen. 

Das Flächenträgheitsmoment 2. Grades

Das Flächenträgheitsmoment wird auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet. Es ist eine in der Festigkeitslehre verwendete geometrische Größe, die zu dessen Verformungs- und Spannungsberechnung bei Biege- und Torsionsbeanspruchung eingeführt wurde. Die verwendeten Formeln enthalten das Flächenträgheitsmoment neben anderen Größen, wie solche für die Belastung und für die Eigenschaften des verwendeten Werkstoffs.

Mit Hilfe des Flächenträgheitsmomentes werden auch diejenigen Belastungen berechnet, deren Überschreiten zum Knicken von Stäben oder Beulen von Schalen führt. Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem (Massen-)Trägheitsmoment verwechselt werden. Welches die Trägheit eines rotierenden Körpers gegenüber einer Winkelbeschleunigung charakterisiert.

Mit dem axialen Flächenträgheitsmoment Ia wird die Querschnitts-Abhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung zusammenfassend beschrieben. Die Verbiegung und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen sind umso kleiner, je größer das axiale Flächenträgheitsmoment ist. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die Ausdehnung in Richtung der angreifenden Kraft.

Wichtig beim Flächenträgheitsmoment

Alle hier genannten Flächenträgheitsmomente werden auf einen speziellen Punkt, nämlich den Flächenschwerpunkt (Flächenmittelpunkt), bezogen. Für alle anderen Punkte kannst du die Flächenträgheitsmomente mit dem Steiner´schen Satz berechnen.

Das Widerstandsmoment W kann man in der linearen Elastizitätstheorie verwenden, um die am Querschnitts-Rand auftretende größte Beanspruchung (Spannung) zu bestimmen. Es ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment und dem Abstand amax des Randes von der neutralen Faser.

Als Widerstandsmoment W wird in der technischen Mechanik eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe bezeichnet. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt.

Bei der Belastung Biegen spricht man vom axialen oder Biegewiderstandsmoment Wax, beim Verwinden (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment Wp oder Torsionswiderstandsmoment Wt gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment. Mit dessen Hilfe kannst du bei der Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung berechnen. Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind, in Abhängigkeit von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten, oft in gemeinsamen Tabellen.

Seilreibung – Grundverständnis und Berechnung

Von Seilreibung spricht man, wenn ein biegeweiches Seil um einen meist runden Gegenstand geschlungen wird und an den zwei Seilenden Kräfte wirken. Aufgrund der Seilreibung ist dabei eine der beiden Kräfte geringer als die andere, ohne dass es zur Bewegung des Seils kommt. Dieser Effekt der Seilreibung wird zum Beispiel beim Befestigen eines Schiffs an einem Poller ausgenutzt. Ein Schiff kann so mit relativ kleiner Kraft festgehalten werden.

Der Hauptgrund für die Entstehung von Seilreibung sind tangentiale Haftreibungskräfte an jenen Stellen, wo das Seil die Flächen des umschlungenen Körpers berührt. Stell dir ein dünnes Seil vor, welches du um einen fest stehenden zylindrischen Körper (Band, Faden) legst. Beide Seilenden belastest du mit Gewichten gleicher Masse m. Das Seil befindet sich im Gleichgewicht (Ruhezustand). 

Daran ändert sich auch dann nichts, wenn du eines der beiden Seilenden durch mehr Gewichte der Masse ∆m zusätzlich belastest und dies bis kurz vor den Rutschvorgang weitermachst. Ursache dafür ist die zwischen Seil und Mantelfläche des Zylinders wirkende Seilreibungskraft FR. Sie ist die Summe jener kleinen Reibungskräfte ∆FR = μ ∆FN, die verteilt auf der ganzen umspannten Mantelfläche wirken: FR = Σ∆FR. 

Wie berechne ich Seilreibung?

Eine Berechnungsgleichung für die größere Seilzugkraft F1 findest du wegen der verschieden großen Teil-Reibungskräfte ∆FR nur mit Hilfe der Differenzial- und Integralrechnung. Dies haben jedoch bereits s chlaue Köpfe für uns getan, zuerst Euler getan, später auch Eytelwein, nach dem auch heute noch die Gleichung F1 = F2 eμα benannt wird. 

Die Eitelwein´sche Gleichung bestätigt die Erfahrungen: Die Seilzugkraft F1 wächst (linear) mit der am anderen Seilende wirkenden Zugkraft F2 und (exponential) mit dem Produkt aus Reibungszahl μ und Umschlingungswinkel α. 

Der Umschlingungswinkel α muss mit der Einheit rad (Radiant) in die Zugkraftgleichung eingesetzt werden. Dazu dient die Umrechnungsbeziehung, wenn der Winkel in Grad vorliegt. 

Häufig wird die Anzahl der Umschlingungen (Windungen) angegeben, z. B. zwei volle Windungen.

Bei allen Seilreibungsaufgaben liegt ein Seil um einen Zylinder (System Zylinder/Seil). Zum Verständnis einer Aufgabe versetzt man sich gedanklich als „Zuseher“ auf den Zylinder und versucht von dort aus, den Richtungssinn der Seilreibungskraft FR zu bestimmen. Es ist dann gleichgültig, ob der Zylinder fest steht oder ob er sich um seine Achse dreht. 

Hast du den Richtungssinn der Seilreibungskraft FR gefunden, weißt du auch, welche der beiden Zugkräfte an den Seilenden die größere Seilkraft F1 ist. Sie ist immer der Seilreibungskraft FR entgegen gerichtet. 

 

Reibung | Haft-, Gleit- und Rollreibung

Reibung ist die Hemmung von Bewegung. Zu unterscheiden ist hierbei zwischen der Haftreibung, bei der keine Bewegung der Körper zueinander stattfindet und der Gleitreibung, bei der sich die Oberflächen relativ zueinander bewegen.

Gleitreibung tritt auf, wenn ein Körper durch eine Kraft gegen einen anderen Körper gedrückt wird und der eine Körper relativ zu dem anderen Körper gleitet. Die sogenannte Gleitreibungskraft entsteht dadurch, dass die Oberflächen der Materialien mit dem Mikroskop betrachtet niemals vollkommen glatt, sondern etwas rauh sind. Dadurch „verhaken“ sich die Teilchen an den beiden Oberflächen miteinander. Dies zeigt sich dann makroskopisch als Kraft, die entgegen der Bewegungsrichtung wirkt. 

Wenn ein Körper mit seiner Gewichtskraft FG = Normalkraft FN  auf eine horizontale Gleitfläche drückt und durch die Kraft F mit gleich bleibender Geschwindigkeit v bewegt wird. Muss er beim Verschieben die Gleitreibungskraft überwinden. Sie wirkt immer tangential in der Berührungsfläche. 

Den Richtungssinn Reibung findest du aus folgender Überlegung: 

Die Reibungskraft versucht, den schnelleren Körper zu verzögern, den langsameren (oder stillstehenden) dagegen zu beschleunigen. Ruhen beide Körper, bestimmt der zu erwartende Bewegungszustand den Richtungssinn der Reibungskraft. 

Der →Kräfteplan zeigt die vier miteinander im Gleichgewicht stehenden Kräfte. Du siehst, dass mit zunehmender Reibungskraft FR der Winkel ρ zwischen Normalkraft FN und einer Ersatzkraft Fe größer wird und dass die Reibungskraft der Tangensfunktion dieses Winkels proportional ist. Man nennt ihn den Reibungswinkel ρ. Seine Tangensfunktion wird als Reibungszahl μ bezeichnet. 

Gleitreibung liegt vor, wenn zwei Körper aufeinander gleiten. Ein Beispiel: Ziehen wir an dem Klotz so stark, dass er sich bewegt, liegt anschließend ein gleiten der beiden Körper vor. Die Geschwindigkeit ist somit ungleich Null. Die Gleitreibung ist dabei geringer als die Haftreibung.

Die Reibungskraft ist proportional zur Gewichtskraft eines Körpers und unabhängig von der Größe der Auflagefläche.

Arten der Reibung

  • Haftreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen haftet, die Körper also relativ zueinander in Ruhe sind.
  • Gleitreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen gleitet, die Körper also relativ zueinander in Bewegung sind.
  • Rollreibung liegt vor, wenn ein Körper auf einem anderen abrollt.

Der Reibungskoeffizient, auch Reibungszahl genannt (Formelzeichen µ oder f), ist eine Größe der Dimension Zahl für das Verhältnis der Reibungskraft zur Anpresskraft zwischen zwei Körpern.

Wann beginnt ein Körper auf einer schiefen Ebene zu rutschen?

Ist die Hangabtriebskraft groß genug, um die zwischen Körper und schiefer Ebene wirkende Reibungskraft zu überwinden, so beginnt der Körper zu gleiten. Schlittenfahren auf einer schiefen Ebene. Je länger also die schiefe Ebene ist, desto kleiner ist die entlang der Ebene wirkende Hangabtriebskraft.

Standsicherheit und Gleichgewichtslagen

Die Standsicherheit oder Kippsicherheit eines aufrecht stehenden Körpers ist umso besser, je größer der Abstand des Lotpunktes des Körper-Schwerpunkts in der Aufstandsfläche von den Rändern (Kippachsen oder Kippkanten) dieser Fläche ist. Der Abstand ist optimal, wenn er von allen Kippkanten gleich groß ist.

Die Standsicherheit baulicher Anlagen betrifft die Einsturz-Gefahr. Im Rahmen des rechnerischen Standsicherheitsnachweises wird sie als Quotient zwischen den aufnehmbaren und den vorhandenen Beanspruchungen eines Tragwerks berechnet.

Man entwickelte verschiedene Normen, die für bestimmte Standsicherheitsnachweise eine erforderliche Standsicherheit definieren. Sie können in Systemversagen und örtliches Versagen untergliedert werden. Bei einem Systemversagen wird das Gesamtsystem instabil. Ein Beispiel dafür wäre das Kippen einer Wand. 

Gleichgewichtslagen 

Die Lage des →Schwerpunkts eines Körpers bezogen auf seine Standfläche bestimmt seine Standsicherheit. Man unterscheidet folgende Gleichgewichtslagen.

  • Stabiles Gleichgewicht: Der Schwerpunkt S wird bei einer Lageänderung gehoben. Hierbei entsteht immer ein rückstellendes Kraftmoment, das den Körper wieder in die Ausgangslage zurückführt.
  • Labiles Gleichgewicht: Der Schwerpunkt S wird bei schon kleiner Lageänderung gesenkt. Hierbei entsteht immer ein ablenkendes Kraftmoment, das den Körper immer weiter aus der Ausgangslage herausführt.
  • Indifferentes Gleichgewicht: Der Schwerpunkt S wird bei kleinster Lageänderung weder gehoben noch gesenkt. Hierbei entstehen weder rückstellende noch ablenkende Kraftmomente.

Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit 

Das Kippen eines Körpers soll untersucht werden: Der skizzierte Körper steht frei beweglich auf einer rauen horizontalen Standfläche. Die waagerecht wirkende →Kraft F greift im Abstand a so hoch über der Standfläche an, dass der Körper nicht nach rechts wegrutscht. Bei genügend großer Kraft F wird der Körper eine Drehbewegung um die Körperkante K (Kippkante) ausführen. Der Körper kippt. 

Im Augenblick des Ankippens wirkt das (rechtsdrehende) Kippmoment Mk = F ⋅ a um die Kippkante K. Zugleich wirkt dem Kippmoment Mk entgegengerichtet (linksdrehend) das Standmoment Ms = FG ⋅ b, das den Körper in der Ruhelage zu halten sucht. 

Der Körper wird nicht kippen, solange das Standmoment Ms größer ist als das Kippmoment Mk. Der Sicherheitsgrad gegen das Kippen wird durch das Verhältnis beider Momente ausgedrückt. Dieses Momentenverhältnis nennt man die Standsicherheit S. 

Ist S = 1, also FG ⋅ b = F ⋅ a, so befindet sich der Körper gerade noch im Gleichgewicht. Bei S < 1 kippt der Körper. Es kann notwendig sein, die Untersuchung zur Standsicherheit für mehrere Kippkanten durchzuführen, zum Beispiel bei beladenen Fahrzeugen und Kränen. 

Beim Berechnen von Ms und Mk addiert man die Kraftmomente jeweils mit positivem Vorzeichen, im Gegensatz zur sonst üblichen Vorzeichenregel. 

Die Culmann Gerade – auch Vierkräfteverfahren

Culmann Gerade

Das Culmann Verfahren (oft auch Vierkräfteverfahren genannt) mit der Culmann Gerade ist ein zeichnerisches Verfahren zur Lösung von Problemen der Statik. Um das Culmann Verfahren anwenden zu können, benötigt man vier Kräfte, deren Richtungen bekannt sind, zusätzlich muss mindestens die Größe einer dieser Kräfte bekannt sein. Das Culmann-Verfahren basiert auf dem Drei-Kräfte-Verfahren, dient jedoch dazu, dieses zu erweitern und zu vereinfachen.

Vier nicht parallele Kräfte sind im Gleichgewicht, wenn die Resultierende je zweier Kräfte eine gemeinsame Wirklinie haben – die Culmann’sche Gerade – und das Krafteck sich schließt. 

Wie ist das Cullman Verfahren anzuwenden?

Zunächst muss die Baugruppe →freigestellt werden. Wie beim Drei-Kräfte-Verfahren können auch hier zwei Kräfte durch eine →resultierende Kraft ersetzt werden. Jetzt kommt jedoch der Umstand dazu, dass sich die Kräfte aufheben müssen (sich zu Null addieren). Somit müssen bei vier Kräften die resultierenden Kräfte vektoriell auf derselben Wirkungslinie liegen, jedoch entgegengesetzt wirken.

Nachdem die Culmann Gerade auf der einen Seite ermittelt wurde, kann diese auf die andere Seite übertragen werden und per Parallelverschiebung können die beiden restlichen Kräfte ermittelt werden.

Es wirken also vier Kräfte mit bekannten Wirklinien und bekanntem Richtungssinn. Für drei von ihnen müssen nur noch die Beträge ermittelt werden. 

Fasst man nun wieder (wie beim 3-Kräfte-Verfahren) gedanklich je zwei Kräfte zu einer Resultierenden zusammen. Diese beiden Resultierenden können nur im Gleichgewicht stehen, wenn sie eine gemeinsame Wirklinie haben. Das kann aber nur die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte I und II sein. 

Du könntest auch sofort die Culmann Gerade aus dem Lageplan in den Kräfteplan parallel verschieben und somit das Krafteck ermitteln. Die auf der gemeinsamen Culmann’schen Geraden wirkenden Resultierenden Kräfte müssen natürlich wieder ein geschlossenes Krafteck ergeben. 

Welche beiden Kräfte jeweils zu ihrer Resultierenden zusammengefasst werden, ist gleichgültig. Unter Umständen ergibt das zwar eine andere Lage der Culmann’schen Geraden und ein anderes Krafteck der beiden Resultierenden, das Ergebnis wird aber hierdurch nicht beeinflusst. Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Vier-Kräfte-Verfahrens ist nur, dass alle vier Wirklinien bekannt sind. 

Wie zeichne ich die Culmann Gerade?

Du zeichnest im maßstäblichen Lageplan die Wirklinie der gegebenen Kraft F1 ein. Nach den Regeln für das Freimachen der Bauteile werden die Wirklinien der noch unbekannten Gleichgewichtskräfte F2, FA und FB ermittelt und ebenfalls in den Lageplan eingetragen. Dann bringst du je zwei Wirklinien miteinander zum Schnitt, z. B. F1 und FA im Schnittpunkt I und F2 und FB im Schnittpunkt II. Jetzt zeichnest du die Culmann’sche Gerade als Verbindungslinie der beiden Schnittpunkte ein. Sie ist die gemeinsame Wirklinie der beiden Teilresultierenden. 

Im Kräfteplan wird zuerst die gegebene Kraft F1 maßstäblich und richtungsgemäß gezeichnet. Dann überträgt man die Culmann’sche Gerade vom Lage- in den Kräfteplan, lässt sie durch Anfangs- oder Endpunkt von F1 laufen und schließt dieses Krafteck durch die zugehörige Kraft FA. Das Krafteck zeigt die Kräfte F1, FA und ihre Teilresultierende. Die gleichgroße zweite Teilresultierende hat einen entgegengesetzten Richtungssinn. Aus ihr und den parallel verschobenen Kräften F2 und FB wird das zweite Teilkrafteck als Zerlegungsdreieck gebildet. Damit ist der Kräftezug aus F1, F2, FB und FA geschlossen. 

Aus der Länge der Kraftpfeile werden dann mit Hilfe des Kräftemaßstabs die Beträge der Gleichgewichtskräfte berechnet. 

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