Vergleichsmoment & Vergleichsspannung

Vergleichsmoment

Um zusammengesetzte Beanspruchungen in einem Bauteil berechnen zu können, musst du Vergleichsspannung und Vergleichsmoment berücksichtigen. Beanspruchungen wie Zug (Normalspannung σ), Druck (Normalspannung σ),  →Biegung (Normalspannung σ) oder Torsion (Tangentialspannung τ) sind bereits bekannt. Wenn mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auftreten kannst du bei Zug/Druck oder Biegung die Spannungen addieren, da es sich um Normalspannungen handelt. Bei Schub- und Torsionspannungen geht das ebenfalls.

Warum Vergleichsmoment? 

Bei Biegung und gleichzeitiger →Torsion geht das aber nicht. Die Biegung ist eine Normalspannung und wirkt normal (orthogonal) auf den Querschnitt, während die Torsion (Tangentialspannung) in axialer Richtung im Querschnitt wirkt. Eine einfache Addition (Superpositionsprinzip) ist deshalb nicht möglich. Somit musst du eine Vergleichsspannung berechnen.

Warum braucht man Vergleichsspannungen?

Da beide Spannungen rechtwinkelig aufeinander stehen, könnte man ja meinen, dass wir mit Hilfe des Pythagoras eine resultierende Spannung berechnen könnten. Das funktioniert aber schon allein aus der verschiedenartigen Werkstoffreaktion auf die unterschiedlichen Spannungen nicht.

Schön zuerkennen ist dies an den unterschiedlichen Modulen. Während bei der Normalspannung das Elastizitätsmodul E für Stahl mit ca. 210000 N/mm² zugrunde liegt, wrid bei Schub das Schubmodul G für Stahl mit 81000 N/mm² angenommen.

Um diese Unterschied ein einer Berechnung optimal zu berücksichtigen, musst du mit einer idealisierten Vergleichsspannung arbeiten. Diese wurde aus der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ermittelt, da diese Versuchen entsprechend gut übereinstimmt. Deswegen wird sie auch Gestaltsänderungshypothese genannt. Bei den Versuchen wurde festgestellt, dass Tangentialspannungen das Bauteil deutlich höher beanspruchen als Normalspannungen.

Prinzipiell zielen alle Festigkeitshypothesen darauf ab, mit einer Vergleichsspannung die zusammengesetzte Wirkung der einzelnen Spannungen auf das Bauteil zu erfassen.

Die geometrische Addition der einfließenden Spannungen ist bei der Betrachtung der Formel durchaus erkennbar. 

Lediglich ein betriebsabhängiger Faktor, das sogenannte Anstrengungsverhältnis α0 muss in der Formel berücksichtigt werden.

Was ist ein Anstrengungsverhältnis?

Das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt die Kombination verschiedener Lastfälle im System, die auftreten können

Für Wellen aus Stahl ist dieses näherungsweise bekannt.

α0 ≈ 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion ruhend (schwellend) Standardfall für Wellen

α0 ≈ 0,1 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion wechselnd

α0 ≈ 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) wirkend und Torsion wechselnd