Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, gibt die Trägheit eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit bei der Drehung um eine gegebene Achse an (Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung). Damit spielt es die gleiche Rolle wie die Masse im Verhältnis von Kraft und Beschleunigung.

Als Trägheit wird der Widerstand eines Körpers bezeichnet, den er einem von außen kommenden Bewegungsimpuls entgegensetzt. Sie beschreibt somit jene Kraft, die den Körper seinen Ruhe- oder Bewegungszustand beibehalten lässt. Das Gesetz der Trägheit ist im 1. Newton´schen Axiom (Inertialgesetz) definiert.

Was sagt das Trägheitsmoment aus?

Die analogen Größen bei der Rotation sind des Drehmoment und das Trägheitsmoment. Dieses gibt an, wie träge ein drehbar gelagerter Körper gegenüber der Änderung seines Bewegungszustandes ist.

Es hängt von der Massenverteilung in Bezug auf die Drehachse ab. Je weiter ein Massenelement von der Drehachse entfernt ist, desto mehr trägt es zum Trägheitsmoment bei. Der Abstand geht quadratisch in die Berechnung ein. Nimmt die Dichte des Körpers zur Drehachse hin zu, ist sein Trägheitsmoment kleiner, als wenn seine Masse im selben Volumen homogen verteilt wäre.

Ist die Drehachse nicht fest vorgegeben, so reicht zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens eine einzelne Zahl nicht aus. Aus dem Trägheitstensor kannst du das Moment der Trägheit für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt berechnen.

Ist das Trägheitsmoment I_S für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so ist das Trägheitsmoment I_P für eine beliebige parallel verschobene Drehachse

I_P = I_S +md²

Dabei gibt d den Abstand des Schwerpunkts von der parallel verschobenen Drehachse an.

Man kann den Steinerschen Satz für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu musst du den Satz zweimal hintereinander angewenden. Zunächst wird die Drehachse so verschoben, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht und danach auf den gewünschten Zielort.

Wo wirkt es?

Das Trägheitsmoment ist die Kraft, die der Änderung der Winkelgeschwindigkeit entgegenwirkt. Es muss überwunden werden, um eine Drehbewegung zu erzielen. Abseits eines Vakuums musst du immer Energie aufgewenden, um Bewegung zu erzeugen oder zu halten. Das gilt auch für Drehungen.

Mithilfe des Impulssatz (Impuls) kannst du die Geschwindigkeit v nach einem Stoß ermitteln. Sofern du die Geschwindigkeit vor dem Stoß gegeben hast und die Kraft 𝐹 entweder konstant oder als Funktion der Zeit f(t) gegeben ist. Für die Bestimmung der Geschwindigkeit v aus dem Newton´schen Gesetz sind dazu folgende zwei Schritte erforderlich:

• Zunächst bestimmst du die Beschleunigung 𝑎
  aus: ∑𝐹=𝑚𝑎
• dann integrierst du ∫a 𝑑𝑡 = ∫𝑑v

Was bedeutet der Impulssatz?

Das bedeutet, dass der Impulssatz als Alternative zum Newton´schen Gesetz verwendet werden kann. Vor allem dann, wenn die Zeit als wesentlicher Faktor in der Berechnung mitberücksichtigt werden muss. Es gibt aber auch Fälle, da kann das Newton´sche Gesetz nicht verwendet werden. Dort muss die Aufgabenstellung dann schlussendlich mit dem Impulssatz gelöst werden.

Was ist der Impuls?

Der Impuls wird in der Physik verwendet, um den Bewegungszustand eines Körpers genau zu beschreiben. Er hängt von der Masse des Körpers und seiner Geschwindigkeit ab. Wenn zum Beispiel ein Körper beschleunigt, wird auch sein Impuls größer.

Wenn der Impuls eines Körpers verändert wird, so verändert sich die Geschwindigkeit von diesem mit. Eine Veränderung des Impulses für eine bestimmte Zeit entspricht der Kraft, die einwirkt.

Dass es keine Rolle spielt, ob ein Massepunkt oder ein Massepunktsystem betrachtet wird, beruht auf dem →Schwerpunktsatz. Dieser besagt nämlich, dass sich der Massenschwerpunkt eines Systems genauso bewegt, als ob alle Massenpunkte in ihm vereinigt sind und alle äußeren Kräfte nur auf ihn wirken.

Was ist die Impulserhaltung?

Der Impulserhaltungssatz kannst du aus dem zweiten und dritten Newtonschen Axiom herleiten. Wenn keine Kraft auf eine zu untersuchende Masse wirkt, so muss die Differentiation (die Ableitung) des Impulses zwingend Null sein. Das bedeutet, dass der Impuls konstant sein muss. Daraus ergibt sich der Impulserhaltungssatz, dass die Veränderung des Impulses in einem kräftemäßig abgeschlossenen System ebenfalls gleich null ist.

Dabei ist es egal, ob ein Massepunkt oder ein System von Massenpunkten betrachtet wird. Dieser Zusammenhang gilt immer. Als ein kräftemäßig abgeschlossenes System wird ein System bezeichnet, auf das keine Kraft von außen wirkt, die den Impuls verändern könnte.

Eine Flächenpressung ist die Kraft pro Kontaktfläche zwischen zwei Körpern. Sie ist somit eine Druckspannung. Wenn du zwei (Fest)Körper mit einer Kraft F gegeneinander drückst, ergibt sich in den Berührungsflächen zwischen den Körpern eine sogenannte Normallastverteilung. Vereinfacht kannst du dir diese unendliche Anzahl an kleinen Einzelkräften in der Normalkraftverteilung als Einzelkraft ansehen.

Die Normallastverteilung wird normalerweise in der Einheit Pascal (1 Pa = 1 N/m² bzw. 1 MPa = 1 N/mm²) angegeben.

Die Flächenpressung hat – wie eine Spannung – eine Richtung, und sie muss nicht notwendigerweise über die Kontaktfläche konstant verteilt sein. Neben der Normalkraft F_N, die auf die Bauteile wirkt, sind auch Materialeigenschaften als ein weiterer wesentlicher Faktor für diese Beanspruchung verantwortlich. 

Auch sind zusätzlich die Oberflächenkonturen der beteiligten Körper für die Lastverteilung an den Kontaktfläche und die Größe der Kontaktfläche ausschlaggebend.

Für linear-elastische Werkstoffe gilt das Hook´sche Gesetz. Berechnen aknnst du die Flächenpressung üblicherweise auf Basis der Halbraumtheorie. Für spezielle, einfache Körper kannst du die Gleichungen der hertzschen Pressung anwenden.

Es gilt dabei, dass der Druck das Verhältnis zwischen Kraft zur Fläche ist, p = F_N/A. Dabei entnimmst du die zulässige Flächenpressung p_zul , auch Grenzflächenpressung genannt, einer Werkstofftabelle. F_N ist die Normalkraft, die auf die Kontaktfläche A wirkt.

Wo tritt Flächenpressung auf?

zwischen…

• den Zahnflanken von Zahnrädern 
• Bolzenkopf und Auflage
• Bremsbelägen und Bremsscheibe
• dem Kopf einer Schraube und dem zu verschraubenden Teil
• Rad und Schiene bei Eisenbahnen und Kranbahnen
• Wälzkörper und Laufbahn von Wälzlagern
• zwei Bauteilen, die kraftschlüssig über Pressfügen verbunden sind
• etc.

Was ist die Ursache der Flächenpressung?

Ursache jeder Flächenpressung p ist eine auf die Kontaktfläche senkrecht wirkende Kraft F_N. Diese musst du häufig erst aus einer beliebig gerichteten Kraft bestimmen. Werden zwei ebene Flächen aneinander gepresst, somit gilt, dass die Flächenpressung p ist der Quotient aus der normalen Kraft F_N und dem Flächeninhalt A der Berührungsfläche ist. Je nach vorliegender Aufgabe stellst du die Flächenpressungs-Hauptgleichung nach der gesuchten Größe um.

Im Maschinenbau musst du häufig Aufgaben lösen, in denen die Flächenpressung auf geneigten ebenen Flächen zu bestimmen ist. Wie beispielsweise zwischen den Gleitflächen einer Prismenführung.

Sind die Flächeninhalte der Gleitflächen bekannt, kannst du die Flächenpressung berechnen. Im Zweifelsfalle nimmst du dabei den Weg über das exakte Freimachen und das Bestimmen der normalen Kräfte. Jedoch ist es in vielen praktischen Fällen einfacher mit der projizierten Fläche zu rechnen.

Als Biegung wird in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen (Balken) oder von dünnen Bauteilen bezeichnet. Kräfte verursachen die Biegung, diese Kräfte bewirken wiederum ein Biegemoment.

Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen durch statische und dynamische Beanspruchungen. Diese Änderungen werden entlang der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung, die das Bauteil im unbeanspruchten Zustand hatte, sichtbar. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen. In der technischen Mechanik wirst du vor allem schlanke Bauteile bei der Biegung betrachten. Die Bauteile werden durch außen einwirkende Kräfte gekrümmt. Du kannst dabei zwei Arten von Biegungen unterscheiden. 

1. Bei der gerade Biegung, wirkt die Kraft, die die Biegung verursacht, in Richtung einer der Hauptträgheitsachsen des betrachteten Querschnitts
2. Bei der schiefen Biegung wirkt die Kraft in eine andere Richtung als die Hauptträgheitsachsen eines Querschnitts

Wirkt die Kraft, die eine Krümmung an einem Bauteil verursacht, beispielsweise nach unten, erzeugt sie oberhalb der neutralen Faser des Bauteils eine Zugspannung. Unterhalb der neutralen Faser kannst du eine Druckspannung erwarten. Die Belastung durch die Kräfte ist dabei in den Randgebieten des Bauteiles – in den äußeren Randfasern – deutlich höher als innen im Bauteil. Wohingegen keine Biegespannung in der neutralen Faser auftritt Denn an der Stelle, an der sich Druck- und Zugkraft gegenseitig kompensieren, befindet sich genau diese neutrale Faser. Durch die Kompensation der beiden Kräfte ist sie spannungsfrei.

Was ist das Biegemoment?

Das Biegemoment ist wie der Name schon sagt das Moment, das einen Körper oder Bauteil  verbiegt. Das Biegemoment M_b ist für die Biegung von schlanken Körpern verantwortlich. Es löst innere Kräfte in allen Elementen aus, die über den Querschnitt und die Länge des Bauteiles verteilt sind. Ein Biegemoment entsteht durch eine senkrecht zur Längsachse des Körpers wirkende Querkraft F oder durch eine Streckenlast.

Was ist die Biegespannung?

Die Biegespannung ist in einem Querschnitt in y-Richtung linear veränderlich. Diese nimmt an den Rändern des Querschnitts die größten Werte an. Wobei jeweils ein Wert positiv (Zugspannung), der andere negativ (Druckspannung) ist. Biegespannungen sind Zug- und Schubspannungen, die bei der Biegung eines Stabes oder einer Platte aufteten. Biegespannungen kannst du dir ganz leicht am Beispiel eines einseitig eingespannten Balkens verdeutlichen 

Durch eine Kraft wird bei der Verbiegung ein Balken mit der ursprünglichen Länge L auf der Oberseite verlängert, auf der Unterseite gestaucht, folglich wirken an der Oberseite Zugspannungen σ_Z, an der Unterseite Schubspannungen σ_S bzw. Druckspannung σ_D.In der Mitte des Balkens gibt es einen Übergangsbereich, eine spannungsfreie Zone, die ihre Länge bei der Biegung nicht ändert. Die Biegespannungen in den einzelnen Schichten wachsen proportional zum Abstand von dieser neutralen Faser an, wenn das lineare Elastizitätsgesetz gilt (Hookesches Gesetz).

Das Widerstandsmoment eines Trägerquerschnittes steht in Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment. Mit seiner Hilfe kannst du bei statischen Berechnungen die Verformung eines Trägers unter Krafteinwirkung berechnen. Bei Kräften, die senkrecht zur jeweiligen Bezugsachse stehen, will die auftretende Kraft den Körper biegen bzw. um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch ein Festlager verhindert, entsteht ein Biegemoment. Widerstandmomente musst du immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse (x/y) berechnen.

Das Widerstandsmoment W ist eine abgeleitete Größe. Diese ergibt sich in der technischen Mechanik ganz allein aus der Geometrie eines Balkenquerschnitts. Das Widerstandsmoment ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei einer Belastung den innerer Spannungen entgegensetzt. 

Welche Widerstandsmomente gibt es?

• Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment Wx gesprochen. 
• bei der Verdrehung (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment Wp oder dem Torsionswiderstandsmoment Wt gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment. Mit Hilfe dieses Widerstandsmomentes kannst du über die Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung ermitteln. Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind oft in gemeinsamen Tabellen. Abhängig sind diese von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten,.

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. – sofern ein Hebel vorhanden – um diese Achse drehen. Widerstandmomente berechnest du immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse.

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

W = I / e_max

mit

• dem Flächenträgheitsmoment I
• dem maximalen senkrechten Abstand e_max der Randfaser (Querschnittsrand) zur neutralen (spannungsfreien) Faser. In der Randfaser treten die gesuchten maximalen Bauteilbeanspruchungen auf.

Die Einheit des Widerstandsmoments ist mm³

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Was gibt das Widerstandsmoment an?

Das Widerstandsmoment lässt sich aus dem Flächenträgheitsmoment bestimmen. Es ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein belasteter Balken oder Bauteil der Entstehung von innerer Spannung entgegensetzt.

Das Maß für einen Widerstand gegen eine Biegung heißt axiales Widerstandsmoment oder auch Biegewiderstandsmoment. Du verwendest es, um die mechanischen Spannungen bei einer Biegebelastung zu berechnen.

Um zusammengesetzte Beanspruchungen in einem Bauteil berechnen zu können, musst du Vergleichsspannung und Vergleichsmoment berücksichtigen. Beanspruchungen wie Zug (Normalspannung σ), Druck (Normalspannung σ),  →Biegung (Normalspannung σ) oder Torsion (Tangentialspannung τ) sind bereits bekannt. Wenn mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auftreten kannst du bei Zug/Druck oder Biegung die Spannungen addieren, da es sich um Normalspannungen handelt. Bei Schub- und Torsionspannungen geht das ebenfalls.

Warum Vergleichsmoment? 

Bei Biegung und gleichzeitiger →Torsion kannst du aber nicht die Spannungen einfach addieren. Die Biegung ist eine Normalspannung und wirkt normal (orthogonal) auf den Querschnitt. Die Torsion (Tangentialspannung) andererseits wirkt in axialer Richtung im Querschnitt. Eine einfache Addition (Superpositionsprinzip) ist deshalb nicht möglich. Somit musst du eine Vergleichsspannung berechnen.

Warum braucht man Vergleichsspannungen?

Da beide Spannungen rechtwinkelig aufeinander stehen, könnte man ja meinen, dass wir mit Hilfe des Pythagoras eine resultierende Spannung berechnen könnten. Das funktioniert aber schon allein aus der verschiedenartigen Werkstoffreaktion auf die unterschiedlichen Spannungen nicht.

Schön zuerkennen ist dies an den unterschiedlichen Modulen. Während du bei der Normalspannung das Elastizitätsmodul E für Stahl mit ca. 210000 N/mm² aus Tabellen herausliest, nimmst du bei der Schubspannung das Schubmodul G für Stahl mit 81000 N/mm² an.

Um diese Unterschied in  deiner Berechnung optimal zu berücksichtigen, musst du mit einer idealisierten Vergleichsspannung arbeiten. Diese wurde aus der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ermittelt, da diese Versuche sehr gut übereinstimmen. Deswegen wird sie auch Gestaltsänderungshypothese genannt. Bei den Versuchen wurde festgestellt, dass Tangentialspannungen das Bauteil deutlich höher beanspruchen als Normalspannungen.

Prinzipiell versuchen alle Festigkeitshypothesen darauf abzuzielen, mit einer Vergleichsspannung die zusammengesetzte Wirkung der einzelnen Spannungen auf das Bauteil zu ermitteln.

Die geometrische Addition der einfließenden Spannungen ist bei der Betrachtung der Formel durchaus erkennbar. 

Lediglich einen betriebsabhängigen Faktor, das sogenannte Anstrengungsverhältnis α₀, musst du in der Formel berücksichtigen.

Was ist ein Anstrengungsverhältnis?

Das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt die Kombination verschiedener Lastfälle im System, die auftreten können

Für Wellen aus Stahl ist dieses näherungsweise bekannt.

α0 ≈ 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion ruhend (schwellend) Standardfall für Wellen

α0 ≈ 0,1 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion wechselnd

α0 ≈ 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) wirkend und Torsion wechselnd