Kreisbogen und Radius eines Kreissegments

Ein Kreissektor ist ein Tortenstück eines Kreises. Dieser Teilbereich wird zweimal durch den Kreisradius und einem Kreisbogen b begrenzt. Die Fläche eines Kreissegment berechnest du, indem du vom Flächeninhalt des vorhandenen Kreissektors den Flächeninhalt des Dreiecks abziehst. Der Teil, der zu einem Kreissektor als sichtbare Kreislinie zu sehen ist, wird als Kreisbogen bezeichnet. Der Winkel zwischen den beiden Radien wird als Mittelpunktswinkel bezeichnet. Du kannst diesen sehr oft mithilfe der Trigonometrie berechnen. Der Anteil des Kreisbogens am gesamten Umfang entspricht dem Anteil des Winkels an 360° (gesamter Kreis).

Was ist ein Kreissegment?

Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist in der Geometrie jene Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und der sogenannten Kreissehne begrenzt. Im Gegensatz dazu begrenzt der Kreisbogen und zwei Kreisradien den Kreissektor.

Der Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) α hat seinen Scheitel im Kreismittelpunkt. Beträgt der Zentriwinkel α = 90° hast du ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ist ein halbes Quadrat, du hast dann auch einen Viertelkreis als Kreissektor.

Den Flächeninhalt eines Kreissegments kannst du aus dem Kreisradius r und dem zugehörigen Mittelpunktswinkel α berechnen. Du berechnest dazu den Flächeninhalt des entsprechenden Kreissektors und des in des gleichschenkligen Dreiecks. Ist der Mittelpunktswinkel kleiner als 180°, muss du diese Flächeninhalte subtrahieren (Sektorfläche minus Dreiecksfläche). Bei einem Mittelpunktswinkel über 180° addierst du die Flächeninhalte. Wenn der Zentriwinkel genau 180° ist, ergibt sich für das Kreissegment Halbkreisfläche, und die Fläche des Dreiecks ist 0.

Was ist der Kreisbogen?

Nimmst du auf einem Kreis zwei beliebige Punkte und verbindest diese miteinander und verbindest die Punkte ebenfalls durch Strecken mit dem Mittelpunkt des Kreises entsteht der Kreissektor. Ein Kreisausschnitt wird also rechts und links vom Radius und oben von einem teil des Umfanges des Kreises begrenzt. Dieser zu einem Kreissektor gehörende Teil der Kreislinie wird als Kreisbogen bezeichnet.

Was sind Sehne und die Höhe eines Segmentes?

Die Strecke zwischen deine zwei gewählten Punkten bezeichnet man als Sehne. Diese Sehen s ergibt sich, wenn du eben die zwei Radien einzeichnest und die Schnittpunkte mit der Kreislinie verbindest. Die Formel zur Berechnung der Länge der Sehne lautet s = 2·r·sin(α/2) , wobei α der Zentriwinkel zwischen den Radien ist.

Die Segmenthöhe wird auch Sagitta genannt. Die dazugehörigen Formeln mit denen du die Höhe h berechnest, kannst du mithilfe des →Satzes von Pythagoras herleiten. Denn die Strecke der Differenz von Radius r und Segmenthöhe h bildet mit der halben Kreissehne s ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius r als Hypotenuse in diesem Dreieck.

Wie berechne ich das Biegemoment?

Als Biegung wird in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen (Balken) oder von dünnen Bauteilen bezeichnet. Kräfte verursachen die Biegung, diese Kräfte bewirken wiederum ein Biegemoment.

Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen durch statische und dynamische Beanspruchungen. Diese Änderungen werden entlang der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung, die das Bauteil im unbeanspruchten Zustand hatte, sichtbar. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen. In der technischen Mechanik wirst du vor allem schlanke Bauteile bei der Biegung betrachten. Die Bauteile werden durch außen einwirkende Kräfte gekrümmt. Du kannst dabei zwei Arten von Biegungen unterscheiden. 

  1. Bei der gerade Biegung, wirkt die Kraft, die die Biegung verursacht, in Richtung einer der Hauptträgheitsachsen des betrachteten Querschnitts
  2. Bei der schiefen Biegung wirkt die Kraft in eine andere Richtung als die Hauptträgheitsachsen eines Querschnitts

Wirkt die Kraft, die eine Krümmung an einem Bauteil verursacht, beispielsweise nach unten, erzeugt sie oberhalb der neutralen Faser des Bauteils eine Zugspannung. Unterhalb der neutralen Faser kannst du eine Druckspannung erwarten. Die Belastung durch die Kräfte ist dabei in den Randgebieten des Bauteiles – in den äußeren Randfasern – deutlich höher als innen im Bauteil. Wohingegen keine Biegespannung in der neutralen Faser auftritt Denn an der Stelle, an der sich Druck- und Zugkraft gegenseitig kompensieren, befindet sich genau diese neutrale Faser. Durch die Kompensation der beiden Kräfte ist sie spannungsfrei.

Was ist das Biegemoment?

Das Biegemoment ist wie der Name schon sagt das Moment, das einen Körper oder Bauteil  verbiegt. Das Biegemoment Mb ist für die Biegung von schlanken Körpern verantwortlich. Es löst innere Kräfte in allen Elementen aus, die über den Querschnitt und die Länge des Bauteiles verteilt sind. Ein Biegemoment entsteht durch eine senkrecht zur Längsachse des Körpers wirkende Querkraft F oder durch eine Streckenlast.

Was ist die Biegespannung?

Die Biegespannung ist in einem Querschnitt in y-Richtung linear veränderlich. Diese nimmt an den Rändern des Querschnitts die größten Werte an. Wobei jeweils ein Wert positiv (Zugspannung), der andere negativ (Druckspannung) ist. Biegespannungen sind Zug- und Schubspannungen, die bei der Biegung eines Stabes oder einer Platte aufteten. Biegespannungen kannst du dir ganz leicht am Beispiel eines einseitig eingespannten Balkens verdeutlichen 

Durch eine Kraft wird bei der Verbiegung ein Balken mit der ursprünglichen Länge L auf der Oberseite verlängert, auf der Unterseite gestaucht, folglich wirken an der Oberseite Zugspannungen σZ, an der Unterseite Schubspannungen σbzw. Druckspannung σD.In der Mitte des Balkens gibt es einen Übergangsbereich, eine spannungsfreie Zone, die ihre Länge bei der Biegung nicht ändert. Die Biegespannungen in den einzelnen Schichten wachsen proportional zum Abstand von dieser neutralen Faser an, wenn das lineare Elastizitätsgesetz gilt (Hookesches Gesetz).

 

 

Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment eines Trägerquerschnittes steht in Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment. Mit seiner Hilfe kannst du bei statischen Berechnungen die Verformung eines Trägers unter Krafteinwirkung berechnen. Bei Kräften, die senkrecht zur jeweiligen Bezugsachse stehen, will die auftretende Kraft den Körper biegen bzw. um diese Achse drehen. Wird die Drehung durch ein Festlager verhindert, entsteht ein Biegemoment. Widerstandmomente musst du immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse (x/y) berechnen.

Das Widerstandsmoment W ist eine abgeleitete Größe. Diese ergibt sich in der technischen Mechanik ganz allein aus der Geometrie eines Balkenquerschnitts. Das Widerstandsmoment ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei einer Belastung den innerer Spannungen entgegensetzt. 

Welche Widerstandsmomente gibt es?

  • Bei der Belastung Biegen wird vom axialen oder Biegewiderstandsmoment Wx gesprochen. 
  • bei der Verdrehung (Torsion) wird vom polaren Widerstandsmoment Wp oder dem Torsionswiderstandsmoment Wt gesprochen.

Das Widerstandsmoment eines Querschnitts steht in einfachem geometrischen Zusammenhang mit dem Flächenträgheitsmoment. Mit Hilfe dieses Widerstandsmomentes kannst du über die Querschnitts-Bemessung die Verformung eines Balkens bei Belastung ermitteln. Widerstandsmoment und Flächenträgheitsmoment sind oft in gemeinsamen Tabellen. Abhängig sind diese von den typischen Abmessungen geometrisch einfacher Flächen und standardisierter Materialprofile (z. B. Stahlprofile), in allgemeinen technischen Handbüchern enthalten,.

Bei Kräften senkrecht zu einer Bezugsachse will die Kraft den Körper biegen bzw. – sofern ein Hebel vorhanden – um diese Achse drehen. Widerstandmomente berechnest du immer in Bezug auf die jeweilige Momentenachse.

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

W = I / emax

mit

  • dem Flächenträgheitsmoment I
  • dem maximalen senkrechten Abstand emax der Randfaser (Querschnittsrand) zur neutralen (spannungsfreien) Faser. In der Randfaser treten die gesuchten maximalen Bauteilbeanspruchungen auf.

Die Einheit des Widerstandsmoments ist mm3

Für symmetrische Querschnitte sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich. Deshalb sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich, wenn die Biegekräfte senkrecht zu dieser Symmetrieachse wirken.

Was gibt das Widerstandsmoment an?

Das Widerstandsmoment lässt sich aus dem Flächenträgheitsmoment bestimmen. Es ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein belasteter Balken oder Bauteil der Entstehung von innerer Spannung entgegensetzt.

Das Maß für einen Widerstand gegen eine Biegung heißt axiales Widerstandsmoment oder auch Biegewiderstandsmoment. Du verwendest es, um die mechanischen Spannungen bei einer Biegebelastung zu berechnen.

 

Reihenschaltung in der Elektrotechnik

Reihenschaltung

Die Reihenschaltung (auch Spannungsteilerschaltung oder Serienschaltung) beschreibt in der Elektrotechnik die hintereinander – in Reihe – Schaltung zweier oder mehrerer Bauelemente. Dadurch bildet die Schaltung einen einzigen Strompfad. Zwei Bauelemente sind demnach in Reihe geschaltet, wenn deren Verbindung keine Abzweigung aufweist. Die Anzahl der in Reihe geschalteten Elemente kann beliebig sein. Das Gegenteil zur Reihenschaltung ist eine Parallelschaltung, diese gilt es als eine weitere wesentliche Grundschaltung in der Elektrotechnik.

Bei der Reihenschaltung (auch Hintereinanderschaltung) werden elektrische Bauteile (Widerstände, Kondensatoren, Spannungsquellen etc.) hintereinander geschaltet. Der Strom durchfließt dabei jedes Bauteil.

In der Serienschaltung ist die Summe der Gesamtspannung gleich der Summe aller Teilspannungen. Das bedeutet, an jedem Widerstand fällt eine Teilspannung ab und die Spannung ist an jedem Widerstand unterschiedlich. Merke. Am größeren Widerstand fällt die größere Spannung ab!

Werden zwei gleichgroße Widerstände in Reihe geschaltet, fällt an jedem die Hälfte der Spannung ab. Ist ein Widerstand größer fällt an diesem auch die größere Spannung ab.

Hier addieren sich die einzelnen Widerstände zu einem Gesamtwiderstand. Der Gesamtwiderstand ist also die Summe aller Einzelwiderstände.

Wie verhalten sich die Spannungen in einer Reihenschaltung?

Bei der Reihenschaltung fließt durch alle Widerstände der gleiche Strom. Hingegen teilt sich bei der →Parallelschaltung der Strom auf. Bei einer Parallelschaltung liegt über jeden Widerstand die gleiche Spannung an, bei der Schaltung in Reihe meist nicht.

Man sagt Widerstände sind in „Reihe geschalten“, wenn sie in einer einzigen Leitung miteinander verbunden sind. Da der gesamte Strom, der durch den ersten Widerstand fließt, keinen anderen Weg hat, muss er auch durch den zweiten Widerstand und den dritten und so weiter fließen.

Was ist der Unterschied zwischen Parallel und Reihe?

Eine Parallelschaltung unterscheidet sich von einer Reihenschaltung in folgenden Punkten: Bei einer Reihenschaltung fließt durch alle drei Widerstände der gleiche Strom: I = I1 = I2 = I3. Bei einer Parallelschaltung dagegen fließen unterschiedliche Ströme durch die Widerstände.

Warum teilt sich die Spannung bei der Reihenschaltung?

Da der Strom in der Reihenschaltung überall gleich groß ist, verursachen die ungleichen Widerstände unterschiedliche Spannungsabfälle.

Vergleichsmoment & Vergleichsspannung

Vergleichsmoment

Um zusammengesetzte Beanspruchungen in einem Bauteil berechnen zu können, musst du Vergleichsspannung und Vergleichsmoment berücksichtigen. Beanspruchungen wie Zug (Normalspannung σ), Druck (Normalspannung σ),  →Biegung (Normalspannung σ) oder Torsion (Tangentialspannung τ) sind bereits bekannt. Wenn mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auftreten kannst du bei Zug/Druck oder Biegung die Spannungen addieren, da es sich um Normalspannungen handelt. Bei Schub- und Torsionspannungen geht das ebenfalls.

Warum Vergleichsmoment? 

Bei Biegung und gleichzeitiger →Torsion kannst du aber nicht die Spannungen einfach addieren. Die Biegung ist eine Normalspannung und wirkt normal (orthogonal) auf den Querschnitt. Die Torsion (Tangentialspannung) andererseits wirkt in axialer Richtung im Querschnitt. Eine einfache Addition (Superpositionsprinzip) ist deshalb nicht möglich. Somit musst du eine Vergleichsspannung berechnen.

Warum braucht man Vergleichsspannungen?

Da beide Spannungen rechtwinkelig aufeinander stehen, könnte man ja meinen, dass wir mit Hilfe des Pythagoras eine resultierende Spannung berechnen könnten. Das funktioniert aber schon allein aus der verschiedenartigen Werkstoffreaktion auf die unterschiedlichen Spannungen nicht.

Schön zuerkennen ist dies an den unterschiedlichen Modulen. Während du bei der Normalspannung das Elastizitätsmodul E für Stahl mit ca. 210000 N/mm² aus Tabellen herausliest, nimmst du bei der Schubspannung das Schubmodul G für Stahl mit 81000 N/mm² an.

Um diese Unterschied in  deiner Berechnung optimal zu berücksichtigen, musst du mit einer idealisierten Vergleichsspannung arbeiten. Diese wurde aus der Hypothese der größten Gestaltänderungsenergie ermittelt, da diese Versuche sehr gut übereinstimmen. Deswegen wird sie auch Gestaltsänderungshypothese genannt. Bei den Versuchen wurde festgestellt, dass Tangentialspannungen das Bauteil deutlich höher beanspruchen als Normalspannungen.

Prinzipiell versuchen alle Festigkeitshypothesen darauf abzuzielen, mit einer Vergleichsspannung die zusammengesetzte Wirkung der einzelnen Spannungen auf das Bauteil zu ermitteln.

Die geometrische Addition der einfließenden Spannungen ist bei der Betrachtung der Formel durchaus erkennbar. 

Lediglich einen betriebsabhängigen Faktor, das sogenannte Anstrengungsverhältnis α0, musst du in der Formel berücksichtigen.

Was ist ein Anstrengungsverhältnis?

Das Anstrengungsverhältnis berücksichtigt die Kombination verschiedener Lastfälle im System, die auftreten können

Für Wellen aus Stahl ist dieses näherungsweise bekannt.

α0 ≈ 0,7 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion ruhend (schwellend) Standardfall für Wellen

α0 ≈ 0,1 bei Biegung, wechselnd wirkend und Torsion wechselnd

α0 ≈ 1,5 bei Biegung, ruhend (schwellend) wirkend und Torsion wechselnd

 

Gleichmäßig verzögerte und beschleunigte Bewegung

beschleunigte Bewegung

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung liegt genau dann vor, wenn sich bei einem Körper die Geschwindigkeit in einem gleichen Zeitabstand Δt im gleichem Maße verändert. Der Betrag der Beschleunigung ist somit konstant (a = konstant). Bei einer gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung sind sowohl der Betrag der Beschleunigung als auch die Richtung der Beschleunigung immer gleich. Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen können aber auch auf beliebigen anderen Bahnen erfolgen.

Was ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung?

Gleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind Bewegungen, bei denen die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung konstant sind. Die gleichmäßige Bewegung ist eine geradlinige Bewegung, wenn Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit kollinear sind.  Zwei Vektoren sind kollinear zueinander, wenn sie als Pfeile gedacht zueinander parallel sind. Ist dies nicht der Fall, entsteht eine →Parabel als Bahnkurve. 

Durch die Wahl eines Bezugssystem (Inertialsystems), in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist, erhält man stets eine geradlinige Bewegung. Wenn die Beschleunigung null wird, erhält man die gleichförmige Bewegung. Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegungen sind der freie Fall oder der schräge Wurf ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes.

Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kannst du für Berechnungen Zahlen statt Vektoren verwenden. Es genügt, die Orientierung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors durch das Vorzeichen auszudrücken. Die Bewegungsrichtung kannst du als positiv auszeichnen, die Gegenrichtung als negativ.

Verläuft die gleichmäßige Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere →Vektorform zu verwenden. Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung gleich bleibt, also konstant ist.

Was ist die gleichmäßig verzögerte Bewegung?

Der Unterschied zwischen einer gleichmäßig beschleunigten und einer gleichmäßig verzögerten Bewegung ist, dass der gleichmäßig beschleunigte Körper immer schneller wird. Der gleichmäßig verzögerte Körper wird hingegen aus einer Anfangsgeschwindigkeit heraus immer langsamer. Er wird also abgebremst, bis er schließlich zum Stillstand kommt.

Diese Bremsbewegung ist eine beschleunigte Bewegung. Denn immer dann, wenn sich die Geschwindigkeit des Körpers ändert, findet eine Beschleunigung statt. Im Falle einer Bremsbewegung ist die Beschleunigung negativ und die Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit kleiner.

Wir bezeichnen eine Bewegung als gleichmäßig verzögert, wenn eine konstante Beschleunigung a der Anfangsgeschwindigkeit v0 entgegenwirkt.

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