Im Speziellen wird der geometrische Schwerpunkt von Linien auch Linienschwerpunkt, von Flächen Flächenschwerpunkt und von Körpern Volumenschwerpunkt genannt. Den Schwerpunkt kannst du in einfachen Fällen durch geometrische Überlegungen ermitteln, oder allgemein durch Integration berechnen. Der Schwerpunkt ist ein Gravizentrum.

Der geometrische Schwerpunkt entspricht dem Massenmittelpunkt eines physikalischen Körpers, der aus einen homogenem Material besteht. Er hat überall die gleiche Dichte und lässt sich deshalb auch rein mechanisch durch Balancieren bestimmen.

Flächen haben also auch einen Schwerpunkt. Die Bestimmung des Flächenschwerpunkts ist z. B. für die Berechnung von →Flächenmomenten zweiten Grades in der Festigkeitslehre erforderlich.

Wie berechne ich den Flächenschwerpunkt?

Der Schwerpunkt zusammengesetzter Flächen wird mit dem Momentensatz für Flächen bestimmt. Ist die Fläche unsymmetrisch, muss man die Lage zweier Schwerlinien ermitteln. Ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt S. 

Dafür zerlegst du die gesamte Fläche in Teilflächen mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in ein Rechteck, ein Quadrat etc. Zeichne die Teil-Schwerpunkte S ein. Dann lege einen Momentenbezugspunkt 0 fest, und zwar möglichst so, dass alle Flächenmomente den gleichen Drehsinn erhalten. Wähle die rechte untere Ecke der Fläche und lege durch diesen Punkt ein →rechtwinkliges Achsenkreuz. 

Aus den gegebenen Abmessungen berechnest du die Teilflächen, ihre Schwerpunktsabstände x von der y-Achse und y von der x-Achse und die Gesamtfläche A. Prinzipiell kannst du aber überall diesen Bezugspunkt 0 ansetzen.

Wie berechne ich den Linienschwerpunkt?

Für Linienzüge oder zusammengesetzten Linien wird der Schwerpunkt mit dem Momentensatz für Linien bestimmt. Bei unsymmetrischen Linienzügen musst du die Lage für zwei Schwerlinien bestimmen. Im Übrigen gelten die gleichen Regeln wie für den Momentensatz für Flächen. 

Zerlege den Linienzug in Teillinien mit bekannter Schwerpunktslage, z. B. in zwei Strecken und zeichnet die Teilschwerpunkte S ein. 

Die Lage des Gesamtschwerpunkts S wird angenommen. Dann wird ein Momentenbezugspunkt 0 festgelegt. Bei symmetrischen Linienzügen wählt man dafür zweckmäßig einen Punkt auf der Symmetrielinie. 

Aus den gegebenen Abmessungen des Linienzuges berechnet man die Längen der Teillinien, ihre Schwerpunktsabstände x von der y- Achse und die Gesamtlänge l = l1 + l2 +…+ ln. 

Der Momentensatz für Linien liefert nun wieder eine Bestimmungsgleichung für die Schwerpunktsabstände, mit dieser kannst du nach x0 und y0 auflösen und die Abstände ausrechnen. 

Die mehrdimensionale Analysis betrachtet Funktionen mehrerer reeller Variablen, die oft als ein Vektor beziehungsweise n-Tupel dargestellt werden. Wir kennen bisher Differential- und Integralrechnung für Funktionen, die von einer Variablen abhängen. In Informatikgebieten wie Optimierung und Visual Computing spielen jedoch sehr oft Funktionen eine Rolle, die von mehreren Variablen abhängen. Die Ableitungsregeln für Funktionen einer Variabler übertragen sich direkt auf Funktionen mehrerer Variablen.

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine größere mathematische Vielfalt. Die Begriffe der Norm (als Verallgemeinerung des Betrags), der Konvergenz, der Stetigkeit und der Grenzwerte lassen sich einfach von einer in mehrere Dimensionen verallgemeinern.

Wie ist die mehrdimensionale Analysis zu verstehen?

Die Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen unterscheidet sich von der →eindimensionalen Differentiation. Wichtige Konzepte sind die Richtungs- und die partielle Ableitung, die Ableitungen in einer Richtung beziehungsweise in einer Variable sind. Der Satz von Schwarz stellt fest, wann partielle beziehungsweise Richtungsableitungen unterschiedlicher Richtungen vertauscht werden dürfen. Außerdem ist der Begriff der totalen Differentiation von Bedeutung. Diesen kannst du als die lokale Anpassung einer linearen Abbildung an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion interpretieren und als das mehrdimensionale Analogon der (eindimensionalen) Ableitung verstehen. 

Der Satz von der impliziten Funktion über die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist eine wichtige Aussage der mehrdimensionalen Analysis und kann als eine Grundlage der Differentialgeometrie verstanden werden.

In der mehrdimensionalen Analysis gibt es unterschiedliche Integralbegriffe wie das Kurvenintegral, das Oberflächenintegral und das Raumintegral. Jedoch von einem abstrakteren Standpunkt aus der Vektoranalysis unterscheiden sich diese Begriffe nicht. Zum Lösen dieser Integrale sind der Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel und der Satz von Fubini, welcher es erlaubt, Integrale über n-dimensionale Mengen in iterierte Integrale umzuwandeln, von besonderer Bedeutung. 

Auch die Integralsätze aus der Vektoranalysis von Gauß, Green und Stokes sind in der mehrdimensionalen Analysis von Bedeutung. Du kannst sie als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstehen.

Die Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen misst die Empfindlichkeit gegenüber einer Änderung des Funktionswertes. Der Ausgabewert bezieht sich dabei auf eine Änderung des Arguments (Eingabewertes). Ableitungen sind ein grundlegendes Werkzeug der Analysis. Zum Beispiel ist die Ableitung der Position eines sich bewegenden Objekts in Bezug auf die Zeit die Geschwindigkeit des Objekts. Sie misst, wie schnell sich die Position des Objekts ändert, wenn die Zeit fortschreitet.

Die Ableitung einer Funktion einer einzelnen →Variablen bei einem gewählten Eingabewert ist die Steigung der Tangente. Wenn sie existiert, beschreibt sie die Tangente am Graphen der Funktion an diesem Punkt. Die Tangentenlinie ist die beste lineare Annäherung der Funktion in der Nähe dieses Eingangswertes. Aus diesem Grund wird die Ableitung oft als „momentane Änderungsrate“ beschrieben. Das heißt als das Verhältnis der momentanen Änderung der abhängigen Variablen zu der der unabhängigen Variablen.

Ableitungen können auf Funktionen mehrerer reeller Variablen verallgemeinert werden. Bei dieser Verallgemeinerung wird die Ableitung in eine lineare Transformation umgedeutet. Der Graph ist die beste lineare Annäherung an den Graphen der ursprünglichen Funktion. Die Jacobimatrix ist die Matrix, die diese lineare Transformation in Bezug auf die durch die Wahl der unabhängigen und abhängigen Variablen gegebene Grundlage darstellt. Du kannst sie auf die partiellen Ableitungen in Bezug auf die unabhängigen Variablen berechnen. Für eine reellwertige Funktion mehrerer Variablen reduziert sich die Jacobimatrix auf den Gradientenvektor.

Wie berechnet man die Ableitung?

Der Prozess, eine Ableitung zu finden, nennt man Differenzierung. Den umgekehrte Prozess nennt man Antidifferenzierung. Das fundamentale Theorem der Analysis verbindet Antidifferenzierung mit Integration. Differentiation und →Integration sind die beiden Grundoperationen in der Ein-Variablen-Kalkulation.

Differenzierung ist die Aktion der Berechnung einer Ableitung. Die Ableitung einer Funktion y = f(x) einer Variablen x ist ein Maß für die Rate, mit der sich der Wert y der Funktion in Bezug auf die Änderung der Variablen x ändert. Sie wird Ableitung von f in Bezug auf x genannt. Wenn x und y reelle Zahlen sind und wenn der Graph von f gegen x aufgetragen wird, ist die Ableitung die Steigung dieses Graphen an jedem Punkt.

Steigung einer →linearen Funktion: m = Δy/Δx

Der einfachste Fall, abgesehen vom trivialen Fall einer konstanten Funktion, ist, wenn y eine lineare Funktion von x ist, was bedeutet, dass der Graph von y eine Linie ist. In diesem Fall ist y = f(x) = mx + b, für die reellen Zahlen m und b, und die Steigung m ist gegeben durch:

m = Δy/Δx

wobei das Symbol Δ (Delta) eine Abkürzung für „Veränderung“ ist, und die Kombinationen Δx und Δy beziehen sich auf entsprechende Änderungen.

Eine sorgfältige Vorbereitung ist der Schlüssel zu guten Noten. Am Ende deiner Schulzeit wartet noch eine allerletzte große Prüfung auf dich. Aber keine Sorge, mit meinen folgenden Tipps brauchst du keine Angst vor der Matura zu haben. Der Schlüssel zu deinen Erfolg dafür liegt in einer strukturierten Vorbereitung.

Tipp 1:  Der beste Zeitpunkt um mit deiner Matura Vorbereitung anzufangen, ist spätestens jetzt!

Solltest du bereits mit deiner Vorbereitung aufs Abitur angefangen haben, kannst du diesen Punkt getrost überspringen – für dich gilt: Glückwunsch! Du hast bereits den ersten wichtigen Schritt hinter dir gelassen. Für alle anderen gilt:

Es ist leicht sich Dinge vorzunehmen, aber sie dann doch letztendlich in die Tat umzusetzen ist eine andere Geschichte. „Ich habe noch genug Zeit“, „Erstmal muss ich Dieses oder Jenes erledigen bevor ich mit der Vorbereitung starten kann“, „Die Matura ist doch erst im nächsten Jahr“, „Ich schaffe das auch ohne Planung“ –  Diese Ausreden hast du sicher auch schon gehört, aber das ist jetzt vorbei. Mit dem Abitur stellst du die wichtigste Weiche für den Rest deines Lebens. Ab jetzt ist kein Platz mehr für Ausreden, es müssen Taten folgen!

Tipp 2: Überblick über den Matura Lernstoff verschaffen.

Du benötigst eine klare Übersicht über alle Themen, die für deine Mathe-Matura relevant sind. Am einfachsten ist es, eine Tabelle zu führen, in der du alles Wichtige notierst und deinen Lernfortschritt ständig überprüfen kannst. Betrachte diese Tabelle als Herzstück deiner Abiturvorbereitung an, auf die du immer zurückgreifen kannst, wenn du den Überblick verloren hast oder wissen möchtest, was du bereits gelernt hast.

Tipp 3: Hol dir ruhig Hilfe von Profis

Nachdem du dir einen Überblick verschafft hast, aber festellen musst, dass dir einiges fehlt und  du nicht wirklich weißt, wie und womit du anfangen sollst? Gar kein Problem! Das geht vielen deiner Mitschüler genauso. Des Rätsels Lösung liegt daran sich Hilfe bei der Maturavorbereitung zu holen.

Natrülich kannst du auch direkt mich buchen 😉 In einem kostenlosen Beratungsgespräch zeige ich dir, wie du dich bestens vorbereiten kannst. Ganz individuell und persönlich reden wir über deine Situation und finden einen erfolgreichen Mix aus Einzelnachhilfe, Webinaren oder Intensivkursen für deine Maturavorbereitung.

Tipp 4: Plane feste Zeiten zum Lernen ein

Wann soll ich den ganzen Stoff für die Abiturprüfungen lernen? Wichtig ist, behalte einen kühlen Kopf. Den meisten Stoff, den du für deine Matura brauchst, hast du ja bereits in den letzten Jahren gelernt. In der Abiturvorbereitung geht es hauptsächlich darum, alle wichtigen Themen nochmals zu wiederholen und die letzten Wissenslücken zu schließen.

Den größten Erfolg wirst du haben, wenn du dir zu Beginn deiner Maturavorbereitung einen Wochenlernplan erstellst. In diesem notierst du dir alle Termine, die du in der nächsten Zeit hast. Egal ob Schultermine, Freizeitaktivitäten oder Pflichttermine – du musst es vor Augen sehen, wie viel Zeit du fürs Lernen übrig hast. Im Anschluss füllst du die freien Zeiten zwischen deinen Terminen mit Lernphasen. Achte darauf, dass eine Lernphase sollte nicht länger als 120 min. dauern.

Tipp 5: Lernpausen einplanen

Während deiner Matura-Vorbereitung ist dein Hirn ständig am Arbeiten. Das kostet dich ordentlich Energie! Damit du immer auf dem höchsten Level arbeiten kannst, solltest du deinem Kopf ausreichend Lernpausen gönnen. Andernfalls kann es schnell passieren, dass deine Motivation zu Lernen langsam, aber sicher schwindet.

Damit du deine Lernpausen auch sicher einhältst solltest du diese in deinem Wochen- und Tageslernplan notieren und mit einer Farbe markieren.

 Tipp 6: Der Tag der großen Prüfung

Es ist so weit. Auf diesen Tag hast du lange hin gearbeitet. Jetzt geht es ums Ganze, du wirst heute deine Mathe Matura schreiben. Jetzt ist es Zeit die Früchte deiner Vorbereitung zu ernten.

Hier noch ein paar kurze Motivations-Tipps, damit du deinen Prüfungstag überstehst.

• Denk dran, du hast alles getan, damit du dein Abitur bestehen kannst. Du schaffst das!
• Lass dir am Morgen der Matura genug Zeit zum wach werden. Stell dir früh genug deinen Wecker! Das Schlimmste wäre, wenn du morgens vor der Prüfung schon in Zeitnot gerätst. Nimm dir genug Zeit für ein leckeres Frühstück, dass dir viel Energie für die Maturaprüfung gibt.
• Vermeide Gespräche vor der Prüfung mit deinen Klassenkameraden – sie werden dich nämlich verrückt machen mit Fragen wie „Hast du das gelernt?“, „Kannst du mir das noch schnell erklären?“ Deine Antwort muss klar ein „NEIN“ sein! Es geht jetzt gleich los und du musst deine Gedanken auf deinen Erfolg fokussieren.
• Du hast vergangene Klausuren gerechnet. Du weißt was auf dich zukommt. Blende alles aus, konzentriere dich auf deine Aufgaben und lass dich nicht von anderen Gedanken ablenken!

Ein zentrales Thema in der →Differentialrechnung ist das Tangentenproblem. Du wirst sehen, mit Hilfe von Grenzwerten und Steigungsberechnung ist es gar nicht so schwierig, damit umzugehen.

Beim Tangentenproblem geht es um die Frage, ob in einem bestimmten Punkt einer Kurve eine Tangente vorhanden ist und wie groß deren Steigung ist. Mittels Differenzenquotient und Differentialquotient kannst du diese sehr einfach berechnen.

Das Tangentenproblem

Die Aufgabe, die Tangente an die Bildkurve einer Funktion f(x) zu einem beliebigen Punkt P mit den Koordinaten x und f(x) zu legen, führt bei der Ermittlung der Steigung zu einem Quotienten besonderer Art, dem Differentialquotienten. Die Untersuchung der Eigenschaften des Differentialquotienten einer Funktion ist Gegenstand der Differentialrechnung. Als Voraussetzung dafür solltest du wissen, wie du die Steigung einer Geraden bildest.

Der Graph einer Funktion f verläuft zwischen den Punkten P₁und P₂verschieden steil. Über die →Steilheit des Graphen kannst du an einer bestimmten Stelle x₀zwischen P_x1und P_x2keine genaue Angabe machen. Es lässt sich lediglich eine mittlere Steilheit zwischen P₁und P₂angeben, die der Steigung der Geraden g durch diese Punkte entspricht. Der Graph wird sozusagen zwischen den Punkten P₁und P₂durch die Gerade linearisiert.

Wir suchen die Steigung des Funktionsgraphen im Punkt P₁. Dazu lassen wir den Summanden x immer kleiner werden, bis aus der Sekante eine Tangente wird. Der Wert von y bestimmt die Lage des Punktes P₂. Für x gleich Null fallen P₁und P₂zusammen.

Durch Null darfst du aber nicht teilen, somit musst du zumindest versuchen, so nahe wie möglich an den Nennwert Null heranzukommen – das heißt, du musst den Summanden x möglichst klein werden lassen. Er soll also gegen Null gehen, aber den Wert Null gerade nicht erreichen. Im Differentialquotienten geht dann der Wert für xgegen Null. Und es wird ein Grenzwert (Limes) gebildet.

Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion. Untersucht werden dessen geometrische Eigenschaften. Wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw. Diese Informationen erlauben es, eine Skizze des Graphen anzufertigen, aus der all diese für die Funktion charakteristischen Eigenschaften unmittelbar ablesbar sind.

Eine Tangente ist eine Gerade, die etwas nur berührt, aber nicht schneidet. Legt man zum Beispiel eine Kugel auf ein glattes Brett, so berührt das Brett die Kugel ja nur. Das Brett wäre also eine Tangente an die Kugel. 

Findet man eine Tangente an einen Funktionsgraphen in einem Punkt, dann kann man sagen, dass der Graph in dem Punkt die gleiche Steigung hat wie diese. Also verwendet man Tangenten oft, um gut über die Steigung eines Funktionsgraphen reden zu können.

Wie kann man eine Tangente berechnen?

Wenn du Tangenten an der Stelle x finden willst, machst du folgendes:

x in die →lineare Funktion einsetzen, dann erhält man schon mal den Punkt, an dem die Tangente berührt.

x in die Ableitung einsetzen, dann erhält man die Steigung m.

m und den obigen Punkt in die →Geradengleichung y=m*x+b einseten, dann erhält man b.

Eine Wendetangenten sind Tangenten im Wendepunkt. Waagerechte Tangenten haben die Steigung Null und beschreiben die mögliche Stelle für Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt.

Tangenten (von lateinisch: tangere ‚berühren‘) sind in der Geometrie Geraden, die eine gegebene Kurve in einem bestimmten Punkt berühren. Beispielsweise ist die Schiene für das Eisenbahnrad eine Tangente. Da der Auflagepunkt des Rades ein Berührungspunkt der beiden geometrischen Objekte, Gerade und Kreis, ist. Tangente und Kurve haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung. Tangenten in diesen Punkten sind die beste lineare Näherungsfunktion für die Kurve.

Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x = x₀ eine waagerechte Tangente, wenn dort die erste Ableitung verschwindet, d. h. den Wert null hat: 𝑓′(𝑥₀)=0. Dies kann bedeuten, dass sich dort eine Extremstelle befindet. Also ein Maximum oder Minimum der Funktion, es kann dort aber auch ein Sattelpunkt vorliegen.