Als Zugkraft wird in der Statik in Anlehnung an den allgemeinen Sprachgebrauch eine Kraft F bezeichnet, die an einem Körper zieht. 

Kräfte werden in der Praxis normalerweise in der Einheit Newton angegeben. Dies entspricht also der Kraft F, die benötigt wird, um eine Masse der gegebenen Schwerkraft (g = 9,81 m/s²) entgegen zu halten oder zu heben.

Zugspannungen entstehen durch Kräfte, die ein Bauteil auf Zug beanspruchen. Das Gegenteil sind Druckspannungen, diese entstehen, wenn auf ein Bauteil Druckkräfte wirken.

Die Wirklinie oder Wirkungslinie ist in der Technischen Mechanik die Gerade, die die Lage einer vektoriellen Kraft im Raum angibt. Zusammen mit dem Richtungssinn ergibt sie die Richtung in der die Kraft wirkt. Durch Angabe des Betrages, der Richtung und des Angriffspunktes kann somit der Kraftvektor beschrieben werden. 

Wie entsteht die Zugkraft?

Die Zugkraft ergibt in diesem Fall eine Schnittreaktion in Form einer Normalkraft quer zum Querschnitt, in dem sich eine Beanspruchung in Form von mechanischen Spannungen einstellt.

Die Zugkraft F_Z eines Flaschenzuges beispielsweise ergibt sich aus eins durch die Anzahl der Seile n mal der Gewichtskraft F_G,L der Last.

In der Statik ist eine Zugkraft stets als positive (+) Kraft definiert. Eine negative Zugkraft entspricht einer Druckkraft. Positiv ist die Zugkraft, wenn sie auf ihrer Wirkfläche (auch Querschnittsfläche) in Richtung ihrer nach außen orientierten Normalen wirkt. Durch eine ziehende Kraft dehnt sich ein realer Körper. Durch eine Druckkraft kann sich ein Bauteil stauchen.

Ziehen äußere Kräfte an einen Körper in Wirkrichtung seiner Stabachse, so spricht man von einer Zugbeanspruchung.

Oftmals ist die Zugkraft eine umgeleitete Druck- oder Scherkraft. Beispielsweise zieht an einem Kranhaken eine Last, indem sie mit dem Anschlagmittel in den Haken drückt, der die Druckkraft durch seine gebogene Form in eine Zugkraft ins Kranseil umlenkt. 

Allgemein wird eine Kraft durch Verbindungstechniken über Formschluss, Kraftschluss oder Stoffschluss übertragen. Beim Formschluss wirken wie beim Kranhaken Druckkräfte rechtwinklig zu den Flächen der Verbindungspartner. Bei Kraftschluss wird die Kraft wie bei Knoten über die Haftreibung tangential zur Wirkfläche eingebracht. Durch Kraftübertragung werden dann diese Kräfte in Zugkräfte umgeleitet.

Feste Materialien (Stäbe, Stangen, Seile, Ketten etc.) und Stoffschluss können Zugkräfte über atomare oder molekulare Kräfte übertragen, bis ihre Zugfestigkeit erreicht ist.

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Die Geometrie wiederum ist die Lehre von zweidimensionalen Figuren wie Punkten, Geraden und Vielecken sowie dreidimensionalen Körpern wie Kugeln und Würfeln. In der elementaren Geometrie wird ein Kreis als Menge aller Punkte mit einem festen Abstand zu einem vorgegebenen Punkt definiert. Die Kreisgleichung beschreibt so jeden Punkt (x,y), der den Abstand r zum Mittelpunkt hat. Ein Kreis (bzw. eine Kreislinie) ist eine Linie in der Ebene bei der jeder Punkt denselben Abstand zu einem bestimmten Punkt, den sogenannten Mittelpunkt, hat. Diesen Abstand nennt man Radius. Dieser wird mit dem Buchstaben r bezeichnet.

Ein Kreis ist natürlich ebenso eine ebene geometrische Figur. Du kannst den Kreis als Menge aller jener Punkte einer Ebene bezeichnen, die den gleichen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt des Kreises) haben. Der Abstand aller Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder der halbe Durchmesser d/2 des Kreises. Er muss eine positive reelle Zahl sein. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Bei der Elementargeometrie untersuchst du geometrische Objekte wie Punkte, Geraden, Dreiecke, Vierecke und Kreise ohne Zuhilfenahme von Methoden aus der linearen Algebra oder Analysis. Ausgehend von Grundbegriffen wie Punkte und Geraden definierst du hier Strecken, Winkel und ebene Figuren.

Was ist die analytische Geometrie?

Die analytische Geometrie ist – wie oben erwähnt – ein Teilgebiet der Geometrie. Mithilfe der analytischen Geometrie kannst du algebraische Hilfsmittel (vor allem aus der linearen Algebra) verwenden, um geometrischer Probleme zu lösen. Sie ermöglicht es dir in vielen Fällen, geometrische Aufgabenstellungen rein rechnerisch zu lösen, ohne eine zeichnerische Anschauung zur Hilfe nehmen zu müssen.

Wenn du bei der Ermittlung solcher geometrischen Probleme ohne Ansätze und ohne Bezug zu einem Zahlensystem auf einer axiomatischen Grundlage einen Lösungsansatz herleitest, bezeichnet man diese Geometrie als synthetische Geometrie.

Die Verfahren der analytischen Geometrie werden in allen Naturwissenschaften angewendet. Vor allem aber in der Physik, wie zum Beispiel bei der Beschreibung von Planetenbahnen. Ursprünglich befasste sich die analytische Geometrie nur mit Fragestellungen der ebenen und der räumlichen (euklidischen) Geometrie. Im allgemeinen Sinn jedoch beschreibt die analytische Geometrie affine Räume beliebiger Dimension über beliebigen Körpern.

Entscheidendes Hilfsmittel der analytischen Geometrie ist ein Koordinatensystem. In der Praxis verwendet man meist ein kartesisches Koordinatensystem. Für manche einfache Fragestellungen, wie etwa die Bestimmung von Schnittpunkten zweier oder mehrer Geraden oder die Untersuchung von Geraden auf Parallelität oder die Berechnung von Teilverhältnissen und vieles mehr, würde allerdings auch ein schiefwinkliges Koordinatensystem ausreichen. Unverzichtbar ist ein kartesisches Koordinatensystem, wenn man Abstände oder Winkel berechnen soll.

Als Biegung wird in der technischen Mechanik eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen, wie Balken oder Bögen oder von dünnen Bauteilen, wie Schalen oder Platten bezeichnet. Typisch für Biegung sind Krümmungsänderungen der Mittellinie oder -fläche gegenüber der Krümmung. Das Bauteil im unbeanspruchten Zustand wird durch statische und dynamische Beanspruchungen verbogen und gekrümmt. Derartige Krümmungen führen zu Biegemomenten und somit zu Biegespannungen.

Durch eine Reduktion der möglichen Dimensionen eines ursprünglichen 3D-Problems wird die Beschreibung der Geometrieveränderung angenähert:

• im Falle von Balken oder Bögen durch eine 1D-Theorie
• im Falle von Schalen oder Platten durch eine 2D-Theorie.

Mit Bestimmung der Biegeverformung kannst du unter Verwendung der kinematischen Gesetzmäßigkeiten der jeweiligen Biegetheorien die Deformations- und Spannungszustände in jedem Punkt des Bauteils berechnen.

Welche Biegung gibt es?

Du solltest zwei verschiedene Biegungen, die aufgrund der Art der Belastung entstehen voneinander unterscheiden können. 

Zum einen erfolgt bei der reinen Biegung die Biegebelastung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils.

Zum anderen erfolgt bei der Querkraftbiegung, die Biegung des Bauteils durch Kräfte, welche als Querkräfte auf den Balken wirken. Dabei entsteht ein Biegemoment wie bei der reinen Biegung. Und zusätzlich dazu eine Querkraft, welche zu Schubspannungen im Bauteil führen. Diese zusätzliche Querkraft berücksichtigst du bei der Berechnung.

Belastest du lange, dünne Bauteile quer zur Bauteilachse mit einem Biegemoment, entstehen →Zug- und Druckspannungen. Bei einem Balken führt dies zu einer Durchbiegung. 

Eine Biegespannung ist derjenige Spannungsanteil in einer Wandung oder einem Querschnitt. Dieser ist linear über die Wanddicke oder den betrachteten Querschnitt zu erkennen. Dieser Anteil ist über den betrachteten Querschnitt proportional zum Abstand von der neutralen Achse verteilt.

Wo tritt die maximale Biegespannung auf?

Die in einer Querschnitts-Fläche des Balkens aufsummierte Biegespannung ist dem Biegemoment an dieser Stelle proportional. Im Querschnitt verläuft die maximale Biegespannung je nach Belastung vom äußeren Rand als maximaler Druckspannung über die neutralen Zone bis hin zum inneren Rand zu einer maximaler Zugspannung.

Das axiale →Widerstandsmoment ist ein Maß für den Widerstand gegen Durchbiegung. Deshalb wird es oft auch als Biegewiderstandsmoment bezeichnet. Für die Größe des Widerstandsmomentes ist allein die Geometrie der jeweils betrachteten Bauteil-Querschnittsfläche ausschlaggebend.

Zur Berechnung des Widerstandsmomentes ist die Definition der exakten Lage der →neutralen Faser innerhalb des Querschnittes Grundvoraussetzung. Die neutrale Faser verläuft exakt durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Ausgehend von dieser Linie lässt sich dann der größtmöglichen Abstand zur Außenkante (Randfaser) ermitteln. Dort sind die höchsten Bauteilbelastungen bzw. die größten Spannungen zu erwarten.

In der Mathematik ist der Einheitskreis jener Kreis, dessen Radius die Länge von genau 1 Einheit hat und dessen Mittelpunkt mit dem Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems der Ebene übereinstimmt.

Der Begriff Einheitskreis enthält die zwei Bestandteile Einheit und Kreis. Mit Kreis ist seine geometrische Form gemeint. Das heißt, es handelt sich um einen Kreis. Die Bezeichnung Einheit bezieht sich auf folgende Beobachtung: Wenn du irgendeinen Punkt entlang des Kreises annimmst, dann besitzt dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt 1 Einheit. Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch.

Für was brauche ich den Einheitskreis?

Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Definition der Winkelfunktionen  Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Winkel erweitern. Zusätzlich erlaubt er dir die charakteristischen Kurven dieser Winkelfunktionen zu konstruieren.

Allgemein ist der Rand eines →Kreises um den Ursprung mit Radius r definiert als jene Ansammlung aller Punkte P, die zum Ursprung den Abstand des Radius r besitzen.

Ein Kreis, dessen Radius die Länge r = 1 LE (Längeneinheit) hat, ist ein Einheitskreis. Ein Winkel im Einheitskreis hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung. Seine Schenkel sind die positive x-Achse und der Radius r.

Mit dem Einheitskreis Kosinus und Sinus erklären

Im Einheitskreis kannst du die Werte von Cosinus und Sinus direkt ablesen. Da die Hypotenuse (Radius r) gleich 1 ist. Somit ist dann die Länge der Ankathete gleich dem Cosinus und die Länge der Gegenkathete ist gleich dem Sinus. Du teilst ja schließlich beide durch die Hypotenuse (→Trigonometrie). Da die Hypothenuse beim Einheitskreis immer 1 ist, ist die Ankathete gleich dem Cosinus und die Gegenkathete gleich dem Sinus. Wie du dann siehst, ist der Cosinus maximal – nämlich exakt 1 – bei einem Winkel von 0° und 180° und minimal – exakt 0 – bei einem Winkel von 90° und 270°.

Der Kosinus- und Sinussatz  ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der →Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für Dreiecke in der Ebene kannst du ja denn Kosinussatz sehr einfach formulieren, für sphärische benötigst du sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Beanspruchst du einen sehr schlanken Stab auf Druck, dann besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Ebenfalls besteht die Gefahr der Knickung, wenn die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittsfläche A sehr groß ist. Das kann auch dann geschehen, wenn der Stab genau in Richtung seiner Achse belastet wird. Und auch dann, wenn die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze (siehe Spannungs-Dehnungsdiagramm oder Hook´sche Gesetz) liegt. 

Die Tragfähigkeit eines solchen Bauteils ist also schon vorher erschöpft. Knickung ist daher auch kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem. Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens – seitlichem Wegknicken – mit zunehmender Länge und abnehmendem Querschintt. 

Durch die besondere Problematik der Knickung führte man zur genauen Definition besonderer Größen ein. Die Knickkraft F_K ist diejenige Kraft, bei der das Ausknicken eines Stabes gerade beginnt. Dividierst du die Knickkraft durch die Querschnittsfläche, erhältst du eine Spannung. Diese bezeichnet man als Knickspannung. Entsprechend der Definition der Knickkraft wirkt die Knickspannung dann, wenn der Stab auszuknicken beginnt. 

Da ein Bauteil nicht ausknicken darf, muss die Druckkraft, die durch die tatsächliche Belastung entsteht, wesentlich kleiner bleiben als die Knickkraft. Das gleiche gilt auch für die tatsächlich im Bauteil vorhandene Druckspannung und für die Knickspannung. Knickkraft und Knickspannung sind also Werte, die in der Praxis niemals erreicht werden dürfen. 

Fazit: Die Knickkraft (Knickspannung) ist diejenige Kraft (Spannung), bei der das Ausknicken beginnt. Die vorhandene Druckkraft muss mit Sicherheit unter der Knickkraft bleiben, ebenso die vorhandene Druckspannung unter der Knickspannung. 

Die Eulergleichung bei elastischer Knickung

Für den Fall, dass die Knickspannung noch unterhalb der Proportionalitätsgrenz des Werkstoffes liegt, hat Euler eine Gleichung für die Knickkraft entwickelt. 

Die Knickkraft, also diejenige Kraft, bei der das Knicken gerade beginnen würde, kannst du allein durch die Führungsverhältnisse verändern. Und zwar dann, wenn sich die Stabenden in Richtung der Stabachse aufeinander zu bewegen. Je sicherer es ist, dass die Druckkraft während des Zusammendrückens exakt in der Stabachse wirkt, desto größer kannst du die Knickkraft ansetzen. 

Je höher die Proportionalitätsgrenze des Werkstoffes liegt, umso kleiner ist der Grenzschlankheitsgrad. Das heißt, umso größer wird der Bereich, für den die Eulergleichung gilt. 

Die Eulergleichung gilt nur, solange dein errechneter Schlankheitsgrad gleich oder größer ist als der angegebene Grenzschlankheitsgrad.

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Wie lange muss man lernen, damit man die Zentral Matura bestehen kann? Pauschal kann man diese Frage nicht so einfach beantworten. Jeder Mensch ist anders, jeder lernt anders und jeder hat sein eigenes Lerntempo. Somit ist die Zeit individuell, wie lange man braucht, um den gesamten Maturastoff so gut zu können, dass er auch in einer Prüfungssituation abrufbar ist und die Matura bestanden wird.

Außerdem reagiert jeder Mensch auf Stress in einer Prüfung anders, die einen haben einen sehr niedrigen Stresslevel, andere werden erst richtig gut, wenn sie sich einer Prüfungssituatuion gegenüber sehen. So können  manche völlig entspannt ihre Beispiele rechnen, während andere Todesangst davor haben und entsprechend zu Blackouts neigen. 

Das macht einen riesigen Unterschied auch in der Vorbereitung. Denn, wer regelmäßig Stresssymptome bei Prüfungen zeigt, wird sich auch mental mehr auf die große Abschlussprüfung vorbereiten müssen, um nicht an einfachen Dingen zu scheitern, wie zum Beispiel, wie der Taschenrechner einzuschalten ist. Die Vorbereitung auf eine Prüfung ist häufig nicht nur mit dem Lernen des Stoffs getan, sondern erfordert auch Mentaltraining.

Kurze oder lange Vorbereitung für die Matura?

Für die Mathematik Matura gilt, wie für alle Prüfungen, dass umso mehr und umso länger natürlich wesentlich eher zum Erfolg führt. Wenn du lediglich die letzen zwei Wochen vor der Matura lernen möchtest, solltest du dir im Klaren darüber sein, dass du viele, viele Stunden täglich in deine Bücher schauen solltest und wirst. Die Frage dabei ist, ob es nicht sinnvoller wäre mit der Vorbereitung etwas früher anzufangen und dafür lediglich vier bis acht Stunden in der Woche für die Mathematik Matura lernen zu müssen.

Wenn du regelmäßig, beispielsweise jeden zweiten Tag 2 Stunden lernen kannst, hast du in dieser Zeit weitaus mehr Stunden gelernt und das Wissen ist wesentlich intensiver in deinem Gehirn verankert. Dein Gehirn benötigt nämlich regelmäßige Anreize, um Verlinkungen durch Neubildung von Synapsen herzustellen. Erfolgreiches Langzeitlernen ist also vor allem eine Frage von ständigen Anreizen über einen längeren Zeitraum.

Natürlich kann man auch mit superintensiven Lernphasen direkt vor der Zentralmatura die Prüfungen schaffen, dass gilt zwar nicht für jeden Menschen und das Risiko des versagens ist natürlich weitaus höher, aber es kann funktionieren. Doch falls du es dir noch aussuchen kannst, empfehle ich dir möglichst regelmäßig ein bisschen was zu tun. Das ist auch wesentlich besser für deine Nerven.

Der Vorteil der längeren Matura Vorbereitung

Der Vorteil einer frühen Vorbereitung für die Matura erklärt sich auch darin, dass du auf mögliche Lern- und Wissenslücken viel relaxter reagieren kannst. Du hast ja noch genügend Zeit um die Lücken zu schließen. Wobei es sehr schwierig wird, Wissenslücken, die recht groß sein können, in lediglich zwei Wochen zu schließen. 

Auch wen die Vorbereitungszeit nicht leicht wird, sie geht vorbei und mit einer guten Vorbereitung ist die halbe Miete schon bezahlt und die Matura ist dir sicher. Egal, um welches Fach es sich handelt – für ein jedes solltest du dich natürlich bestmöglich vorbereiten.

Jede Reise beginnt mit dem ersten Schritt – so auch dein Weg Richtung Matura. Gut vorbereitet und strukturiert, kommst du müheloser ans Ziel als chaotisch und spontan. Strukturiere dein Lernen so, dass du für jenes Fach, das dir am meisten Kopfzerbrechen bereitet, zuerst mit dem Lernen beginnst.

Egal ob du eine längere oder die kurze Vorbereitung wählst, wenn du dabei Hilfe brauchst, werde ich dir mit meiner Erfahrung helfen. 

→ Maturavorbereitungstermin