Wie stelle ich eine Formel um?

Mathematische und Physikalische Zusammenhänge werden meist mit Hilfe von Formeln dargestellt. Eine Formel stellt den Zusammenhang zwischen verschiedenen physikalischen, geometrischen und mathematischen Größen dar. Willst du eine dieser Größen berechnen, müssen die anderen Größen bekannt sein. Die Gleichung muss zur gesuchten Größe hin umgestellt werden.

→Formeln umstellen – eine der wichtigsten Voraussetzungen zum Lösen von Aufgaben aus der Physik, Mathematik, Chemie und vieles mehr. Gleichungen (Formeln) so umzuformen, so dass die gesuchte Größe alleine auf einer Seite steht, ist prinzipiell nicht schwer. Leider stellt das Umstellen von Formeln für viele Schüler – selbst in der Oberstufe – eine mittelgroße Schwierigkeit dar.

Schwierigkeiten beim Umstellen von Formeln haben zur Folge, dass kaum eine Aufgabe sicher gelöst werden kann, was zu Frustration und manchmal sogar zur Resignation führt. Wenn du jedoch einmal verstanden hast, wie es geht, und gemerkt hast, dass das Formeln umstellen eigentlich ganz einfach ist. Dann führt das nicht nur schlagartig zu besseren Leistungen sondern auch zu mehr Spaß und Motivation im Matheunterricht.

Was ist eine Formel, was eine Gleichung?

Jede Formel hat die Form einer Gleichung. Jede Gleichung besteht aus zwei Seiten und einem Gleichheitszeichen dazwischen. Das Gleichheitszeichen besagt, dass auf beiden Seiten das Gleiche steht – auch wenn es völlig anders aussieht.

Es ist möglich, jede Gleichung zu verändern, indem du etwas hinzuaddiert, subtrahiert oder eine beliebige andere Rechenoperation durchführt. Doch damit die Gleichung erfüllt bleibt, also noch immer auf beiden Seiten das Gleiche steht, muss man jede Rechenoperation immer gleichermaßen auf beiden Seiten durchführen.

Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt, du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.

Mithilfe von →Äuqivalenzumformungen kann eine Gleichung zu einer anderen, äquivalenten Gleichung umgeformt werden, ohne dass die Lösungsmenge verändert wird. 

Dies wird meist dazu verwendet, in einfachere Gleichungen umzuformen und dadurch die ursprüngliche Gleichung zu lösen.

Spannung in der Mechanik – Festigkeitsberechnungen

Es wird angenommen, dass mit dem Schnittverfahren die innere Kraft, die beispielsweise ein Zugstab aufzunehmen hat, mit der Normalkraft gefunden wird. Diese wirkt als innere Spannung auf das jeweilige Bauteil. Es ist jedoch unklar, ob diese innere Kraft den Werkstoff stark oder weniger stark „beansprucht“. Das hängt offenbar davon ab, wie viele Flächenteilchen an der Kraftübertragung beteiligt sind. Als Maß für die Höhe der Beanspruchung des Werkstoffes bietet sich diejenige innere →Kraft an, die von der Flächeneinheit übertragen werden muss. 

Was ist die mechanische Spannung?

Die mechanische Spannung (Formelzeichen σ (kleines Sigma) und τ (kleines Tau) ist ein Maß für die innere Beanspruchung eines Körpers infolge dessen Belastung von außen. Da innerhalb der →Mechanik keine Verwechslungsgefahr mit der elektrischen Spannung besteht, bezeichnet man diese kurz als Spannung.

Die mechanische Normal-Spannung σ auf einer gedachten Schnittfläche A durch einen Körper ist die auf sie bezogene senkrecht auf sie wirkende Komponente Fn einer äußeren Kraft F

Man setzt voraus, dass jedes Flächenteilchen eines Querschnitts gleichmäßig an der Kraftübertragung beteiligt ist. Dadurch ist der Quotient aus der inneren Kraft F und der Querschnittsfläche A ein Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs. 

Der Quotient aus innerer Kraft und der an der Kraftübertragung beteiligten Fläche heißt Spannung. Die Einheit der Spannung muss ebenfalls der Quotient aus einer Krafteinheit (Newton) und einer Flächeneinheit (mm2) sein.

Die Spannungen sind vorstellbar als die pro Flächeneinheit vom Werkstoff aufzunehmende Kraft. Einheit der Spannung ist der Quotient aus einer gesetzlichen Krafteinheit und einer gesetzlichen Flächeneinheit. Statt Spannungen sagt man auch „mechanische“ Spannungen. 

Die äußeren Kräfte ziehen in Richtung der Stabachse. Der Stab verlängert  (dehnt) sich. Die innere Kraft FN steht rechtwinklig auf der Schnittfläche, es entsteht die Normalspannung σz (Zugspannung). 

Die äußeren Kräfte drücken in Richtung der Stabachse. Sie versuchen, die beiden Schnittufer einander näher zu bringen. Der Stab verkürzt sich. Die innere Kraft FN steht normal (rechtwinklig) zur Schnittfläche, es entsteht wieder eine Normalspannung σd (Druckspannung). Jeder auf Zug beanspruchte Körper (Gummifaden, Stahldraht, Zugstab eines Fachwerks usw.) verlängert sich um einen bestimmten Betrag ∆l. Hat der Körper im ungespannten Zustand die Ursprungslänge l0, im gespannten Zustand dagegen die Länge l, so ist seine Verlängerung ∆l die Differenz von Länge l bei Belastung und Ursprungslänge l0.

Quadratische Gleichungen einfach lösen

Um quadratische Gleichungen in allgemeiner Form zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt) oder große Lösungsformel. Wenn die quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, kannst du die p-q-Formel oder kleine Lösungsformel anwenden. Kommt die Variable in einer Gleichung in der 1. und 2. Potenz ( x und x² ) vor, nennt man sie „gemischt quadratische Gleichung“. Kommt in einer Gleichung die Variable in der 2. Potenz (x²) vor , nennt man sie „rein quadratische Gleichung“

quadratische Gleichungen sind  →Gleichungen, die sich in der Form

mit  a ≠ 0 schreiben lassen.

Die Koeffizienten von quadratischen Gleichungen können beliebige reelle Zahlen sein (mit der einzigen Einschränkung, dass a nicht Null sein darf). Um den Umgang mit quadratischen Gleichungen zu lernen, werden oft vorwiegend Beispiele herangezogen, bei denen die Koeffizienten ganzzahlig sind.

Dabei heißt ax2 quadratisches Glied, bx lineares Glied und c konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung. Die Gleichung ist in Normalform, falls a=1, also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch →Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch a≠0 dividiert wird.

In praktischen Anwendungen muss dies nicht unbedingt der Fall sein. Die linke Seite einer quadratischen Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen dieser Parabel.

Was sind Lösungen von quadratischen Gleichungen

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für x eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen. Auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Siehe auch →Quadratische Polynome faktorisieren und →Nullstellen.

Was sind reelle Funktionen?

Eine reellwertige Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte reelle Zahlen sind. Eng verwandt ist der Begriff der reellen Funktion, der aber in der Literatur nicht eindeutig verwendet wird. Reelle Funktionen finden sich in fast allen Teilbereichen der Mathematik. Insbesondere in der Analysis, der Funktionalanalysis und der Optimierung.

Der Begriff der reellen Funktion wird in der mathematischen Literatur nicht einheitlich verwendet. Teilweise ist dieser Begriff synonym zu einer reellwertigen Funktion. Andererseits werden darunter auch nur Funktionen verstanden, deren Definitionsmenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Reelle Funktionen sind Abbildungen. In diesen sind sowohl die Definitionsmenge als auch die Wertemenge Teilmengen von R sind.

Globale Extremstellen einer Funktion geben an, wo ihre Funktionswerte minimal bzw. maximal werden. Die globalen Extrema sind die zugehörigen Funktionswerte.  

An einer lokalen Extremstelle ändert sich die Monotonie der Funktion.

Jedes globale Extremum ist entweder ein lokales Extremum oder es liegt am Rand des Definitionsbereiches. Wir unterscheiden folgende Arten von Extremstellen: lokal oder global und Minimum oder Maximum.

In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von →Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte nennt man Periode. Einfache Beispiele sind Sinus- und Kosinus-Funktionen. Damit du auch Funktionen mit Lücken im Definitionsbereich, wie die Tangens-Funktion, zu den periodischen Funktionen zählen kannst, erlaubt man →Definitionsbereiche mit periodischen Lücken. Eine periodische Funktion besitzt allerdings nicht nur eine Periode. Denn jedes Vielfache einer Periode ist auch wieder eine Periode.

Reelle Funktionen können sich verändern

Ein Änderungsmaß beschreibt die Änderung einer Zahl. Es gibt verschiedene Änderungsmaße.

1. Die absolute Änderung entspricht der Differenz aus „oberem Wert“ minus „unterem Wert“. Sie hat im Unterschied zur relativen oder prozentuellen Änderung eine physikalische Einheit.

2. Die relative oder prozentuelle Änderung ist die absolute Änderung „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Sie hat keine physikalische Einheit.

3. Der Differenzenquotient (die Steigung der Sekante, die mittlere Änderungsrate) beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer abhängigen Größe zur Veränderung einer unabhängigen Größe.

Werde Teil von Lernflix

Bleib´ am Laufenden und versäume keinen neuen Beitrag von lernflix

Newsletter-anmeldunG