Eine Zahlenfolge ist eine →Funktion (f). Man ordnet einer Zahl, die Element der natürlichen Zahlen (ohne Null) ist, einem Wert aus den reellen Zahlen zu. Die natürliche Zahl, der man einem Wert zuordnet, heißt n (Nummer, vergleichbar mit dem x-Wert bei anderen Funktionen, man fängt in aller Regel mit 1 an und nicht mit 0). Der Wert (n-tes Folgeglied) heißt an. Das heißt, statt a1, a2, a3 usw. zu schreiben, fasst man es kurz zu an zusammen.

Zahlenfolgen sind dann arithmetisch, wenn bei den aufeinander folgenden Gliedern die Differenz immer gleich ist (a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = d). Die Differenz wird mit d bezeichnet. a1 bezeichnet das erste Glied.

Beispiel einer arithmetischen Zahlenfolge

3, 8, 13, 18, 23, …
Es gibt nun zwei Möglichkeiten, eine Bildungsvorschrift zu gewinnen. Entweder benutzt man die Möglichkeit, eine rekursive Bildungsvorschrift aufzustellen oder man stellt eine explizite Bildungsvorschrift auf. Bei der rekursiven Bildungsvorschrift gewinnt man immer aus dem vorherigen Glied der Zahlenfolge das nächste Glied und bei der expliziten Bildungsvorschrift kann man durch Einsetzen in die Formel direkt das n-te Glied berechnen. Die explizite Bildungsvorschrift ist sicher von Vorteil, aber beide Möglichkeiten sind erlaubt.

Was sind Zahlenfolgen?

Eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) ist und die eine Teilmenge der reellen Zahlen als Wertebereich besitzt, wird (reelle) Zahlenfolge genannt. Unter der n-ten Partialsumme einer Zahlenfolge
versteht man die Summe der Folgenglieder.

Unter einer Zahlenfolge versteht man eine Menge von (reellen) Zahlen, die so geordnet ist, dass feststeht, welches die erste, zweite, dritte, … Zahl ist.

Bei Zahlenfolgen sind alle Glieder eindeutig den natürlichen Zahlen zugeordnet. Damit ist eine Zahlenfolge eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist und deren Wertebereich eine Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Eine Zahlenfolge heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Glieder besitzt. Wesentlich interessanter sind aber unendliche Zahlenfolgen, bei denen durch ein Bildungsgesetz – eine Formel oder auch eine verbale Vorschrift – angegeben ist, wie man die Glieder der Folge erhält.

Der Kosinussatz ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist sehr eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke (in der Ebene) ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs →Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen.

Was besagen die Kongruenzsätze?

Die Kongruenzsätze SSS (Seite, Seite, Seite) und SWS (Seite, Winkel, Seite) besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel (einschließenden Winke) vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei →Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann.

Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Wann verwende ich den Sinussatz?

Die Seiten eines beliebigen Dreieckes verhalten sich wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel. Der Sinussatz enthält also mehrere Gleichungen. Eine dieser Gleichungen wird somit zur Seitenberechnung oder Winkelbestimmung benutzt. Dafür müssen in der Aufgabenstellung entweder zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel oder eine Seite und zwei Winkel gegeben sein.

Wann verwende ich den Kosinussatz?

Der Kosinussatz besagt, dass das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der anderen Seiten ist. Diese ist gleich dem doppelten Produkt dieser Seiten und des von ihnen eingeschlossenen Winkels.
Der Kosinussatz wird zum Berechnen von Dreiecksparametern verwendet. Vor allem dann, wenn drei Seiten oder zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Die Trigonometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie und somit der Mathematik. Soweit Fragestellungen der ebenen Geometrie (Planimetrie) trigonometrisch behandelt werden, spricht man von →ebener Trigonometrie. Daneben gibt es die sphärische Trigonometrie. Diese befasst sich mit Kugeldreiecken (sphärischen Dreiecken) und die hyperbolische Trigonometrie. Die folgenden Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf das Gebiet der ebenen Trigonometrie.

Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen.

Als Hilfsmittel kannst du die trigonometrischen Funktionen verwenden.  Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen. Sowie Sinus (sin), Kosinus (cos), Tangens (tan), Kotangens (cot), Sekans (sec) und Kosekans (csc). →Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen. Beispielsweise auf Polygone (Vielecke), auf Probleme der und auf Fragen vieler anderer Gebiete.

Die Trigonometrie des rechtwinkeligen Dreieckes

Besonders einfach ist die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks. Da die Winkelsumme eines Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größte Innenwinkel. Ihm liegt die längste Seite (als Hypotenuse bezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man Katheten. Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen der Gegenkathete (dem gegebenen Winkel gegenüber) und der Ankathete (benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden.

Auch für allgemeine Dreiecke stehen dir etliche Formeln zur Verfügung. Diese gestatten es, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere der →Sinussatz und der Kosinussatz.

Was ist ein Höhenwinekl und Tiefenwinkel?

Unter einem Höhenwinkel α verstehen wir einen Winkel, der von der Horizontalen aufwärts gemessen wird. Eine Person blickt von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus. Die Spitze dieses Hochhauses sieht die Person unter dem Höhenwinkel α.

Mißt du einen Winkel von einer Horizontalen abwärts, erhältst du den Tiefenwinkel β. Eine Person, die von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus blickt (Horizontale), sieht den Fußpunkt eines Hochhauses unter dem Tiefenwinkel β.

Unter einem Sehwinkel γ verstehen wir die Addition von einem Tiefenwinkel (α) und einem Höhenwinkel (β). Beispiel: Von einer Person, die von einer kleinen Anhöhe auf ein Hochhaus blickt (Horizontale), erscheint die gesamte Größe eines Hochhauses (Fußpunkt bis Spitze) unter dem Winkel γ.

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Die Schuldtilgung beschäftigt sich mit dem finanzmathematischen Vorgängen, die bei der Tilgung (Rückzahlung) einer aufgenommenen Schuld auftreten. Unter einem →Tilgungsplan versteht man eine tabellarische Darstellung der zeitlichen Vorgänge einer Schuldrückzahlung bis hin zur restlosen Tilgung.

Beim Tilgungsdarlehen wird der Darlehensbetrag in gleichbleibenden Tilgungraten zurückbezahlt. Wobei die Darlehenszinsen separat zu entrichten sind. Daher sind für Zins- und Tilgungszahlungen unterschiedliche Zeitintervalle möglich.

Bei der Häufigkeit der Zins- bzw. Tilgungszahlungen kannst du jeweils zwischen monatlich, vierteljährlich, halbjährlich und jährlich wählen. Den Zinssatz kannst du wahlweise als nominalen oder effektiven Jahreszinssatz vorgeben oder berechnen. Je nach Kombination von Zinszahlungsintervall und Tilgungsintervall müssen diese beiden Zinssätze nicht übereinstimmen.

Was ist ein Tilgungsplan?

Alle Zahlungen für Zins und Tilgung werden im Tilgungsplan übersichtlich dargestellt. Der Tilgungsplan zeigt dazu wahlweise auf Jahres- oder Monatsbasis den Verlauf des Schuldenstands und der Zahlungen an. Tilgungsdarlehen bezeichnet man auch als Abzahlungsdarlehen. Das endfällige Darlehen ist ein Sonderfall. Bei diesem wird während der Laufzeit keine Tilgungszahlungen, sondern nur Zinszahlungen geleistet.

Die Tilgung eines Darlehens lässt sich zeitlich ähnlich wie ein Fahrplan aufzeigen. Ausgangspunkt ist immer der eigentliche Darlehensbetrag. Tabellarisch können Fälligkeitszeitpunkt der Jahres-, Quartals- oder Monatsrate, die jeweilige Rate sowie die noch verbleibende Restschuld dargestellt werden. Die zu zahlende Rate setzt sich dabei aus dem Tilgungsbetrag und dem Zinsanteil zusammen. Der Zinsbetrag errechnet sich mit Hilfe des Sollzinssatzes. Grundlage ist die bestehende Restschuld. Die genaue Aufstellung der Zahlungen hängt aber von der Art des Darlehens ab.

Warum ist ein Tilgungsplan wichtig?

Bei langfristigen Darlehen hat der Kreditnehmer ohne Tilgungsplan kaum Überblick über die künftig von ihm zu entrichtenden Zahlungen. Tilgungspläne verleihen Struktur und sind das Grundgerüst jeder (längerfristigen) Darstellung einer Finanzierung. Der Kreditnehmer kann seine regelmäßigen Zahlungspflichten einem eigenständigen Zins- und Tilgungsplan entnehmen.

Ein Tilgungsplan dient zur Erhöhung der Transparenz insbesondere bei Ratenkrediten und Annuitätendarlehen. Dieser verschaft dem Kreditnehmer den Überblick über die von ihm zu leistenden Zahlungen. Aufgrund eines hinreichend detaillierten Tilgungsplans lässt sich bereits bei oberflächlicher Prüfung erkennen, dass sich beim Annuitätendarlehen die →Zinshöhe jeweils innerhalb eines Jahres trotz der vierteljährlich zu leistenden Tilgungsraten nicht verändert. Der Tilgungsplan stellt eine Zahlungsreihe dar, die die Tilgungs- und Zinsausgaben in komprimierter Form wiedergibt.

Eine Schlussrechnung ist eine Rechnung, mit der eine abschließende Abrechnung einer Geldforderung unter Einbeziehung von vorläufigen Rechnungen (Abschlagsrechnungen oder ähnlichem) vorgenommen wird. Der Sprachgebrauch ist jedoch nicht einheitlich; so spricht das Umsatzsteuergesetz insoweit von Endrechnung

Als Teilschlussrechnung bezeichnet man eine Schlussrechnung für einen abgrenzbaren Teil der Sachleistung. Sie steht somit im Gegensatz zur Abschlagsrechnung nicht unter dem Vorbehalt einer endgültigen Abrechnung.

Was ist der Unterschied zwischen direkter und indirekter Proportionalität?

Indirekte Schlussrechnungen sind ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen
Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen.

Indirekte Proportionalität:

Bei indirekten Schlussrechnungen gilt:
je mehr ….. desto weniger (↑…↓)
und  je weniger ….. desto mehr (↓…↑)

Direkte Schlussrechnungen sind ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen.

Direkte Proportionalität:

Bei direkten Schlussrechnungen gilt:
je mehr …. desto mehr (↑ .. ↑)
und je weniger … desto weniger (↓ .. ↓)

Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinander stehen. Proportionale Größen sind verhältnisgleich, das heißt, bei proportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, …)

Was bedeutet verhältnisgleich?

Proportionale Größen sind verhältnisgleich, die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervor. Das Verhältnis der beiden Größen wird Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.

• Der Kreisumfang ist proportional dem Kreisdurchmesser; der Proportionalitätsfaktor ist die Kreiszahl π
• Bei einem Kauf ist die Mehrwertsteuer proportional dem Nettopreis; der Proportionalitätsfaktor ist der Mehrwertsteuersatz, beispielsweise 0,19 (= 19 %) oder 0,2 (= 20%).
• Die Masse einer Flüssigkeit ist (bei sonst gleichen Bedingungen) proportional ihrem Volumen.

Proportionalität ist ein Spezialfall der Linearität, genauer: der Affinität. Für eine reelle →lineare Funktion ist linear jeder Zusammenhang zwischen zwei Größen, deren Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade ist. Proportionalität bedeutet hierbei, dass diese Gerade durch den Nullpunkt (→Koordinatenursprung) geht (Ursprungsgerade); der Proportionalitätsfaktor bestimmt deren →Steigung.

Unter einer Rente bzw. Rentenzahlung versteht man eine periodische Folge von Zahlungen, die in gleicher Höhe in regelmäßigen Abständen erfolgen. Wird die Rente jeweils zum Ende einer Periode bezahlt, so heißt sie →nachschüssig. Wird sie bereits zum Periodenbeginn ausbezahlt ist sie →vorschüssig. Der Endwert einer Rente ist die Summe aller Zahlungen auf den Endzeitpunkt der Rente aufgezinst. Der Barwert ist die Summe aller abgezinsten Raten.

Als Renten, Raten oder Annuitäten werden in der Finanzmathematik gleich hohe Einzahlungen und Auszahlungen genannt.

Welche Begriffe sind bei Rentenzahlung wichtig?

Der Endwert einer nachschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der letzten Ratenzahlung.
Der Endwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert eine Zinsperiode nach der letzten Ratenzahlung.
Der Barwert einer nachschüssigen Rente ist der Zeitwert einer Zinsperiode vor der ersten Ratenzahlung.
Der Barwert einer vorschüssigen Rente ist der Zeitwert am Tag der ersten Ratenzahlung.

Renten werden grundsätzlich zwischen vor- und nachschüssigen Ein- und Auszahlungen unterschieden. Bei der vorschüssigen Rente wird der Rentenbetrag am Anfang des Jahres oder einer Periode einbezahlt. Die nachschüssigen Rente hingegen wird am Jahresende oder Periodenende be- oder ausgezahlt. Das bedeutet, dass nach derselben Laufzeit die vorschüssige Rente einmal mehr als die nachschüssige verzinst wurde. Um also vom Betrag der nachschüssigen Rente zu dem der vorschüssigen zu kommen, muss man den Betrag einmal mit dem Zinsfaktor multiplizieren.

Was bedeutet unterjährig?

Eine unterjährige Verzinsung liegt vor, wenn der Zuschlag der Zinsen auf das Kapital mehrmals im Jahr erfolgt. Durch die unterjährige Verzinsung wächst angelegtes Kapital noch schneller an. Dies wird in der →Zinsrechnung auch als unterjähriger Zinseszinseffekt bezeichnet.

Neben dem Endwert einer Rente lässt sich auch der zu zahlende Rentenbetrag, die Höhe der Restrate und die Rentendauer berechnen.

Wie bei verzinstem Kapital kannst du natürlich auch bei Renten den Barwert bestimmen. Um von der vorschüssigen Rente zur nachschüssigen zu gelangen, musst du den Endwert lediglich abzinsen. Somit berechnest du, wie viel die Rente wert ist, wenn sie für eine Periode weniger anlegt wird.

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