Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung x² = -1 lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl. Diese Zahl i (häufig auch j) wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Komplexe Zahlen können in der Form a + b ⋅ i dargestellt werden.  Die Werte a und b sind dabei reelle Zahlen und i ist die imaginäre Einheit.

Warum brauchen ich Komplexe Zahlen?

Der so konstruierte Zahlenbereich der →komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen. Dieser hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften. Diese erweisen sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt. Das gilt für reelle Zahlen nicht.

Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel). Dieser wird über die komplexen Zahlen hergestellt.

Du kannst jede reelle Zahl als Punkt einer Zahlengerade abbilden. Zur Darstellung von komplexen Zahlen ist eine Erweiterung auf eine zusätzliche Ebene notwendig. Man spricht hier von komplexer Ebene oder Gauß´schen Ebenen. In dieser Ebene können komplexe Zahlen als Punkt oder Zeiger dargestellt werden.

Unter dem →Betrag einer komplexen Zahl versteht man die Länge des Pfeiles in der Gauß`schen Zahlenebene. Der Betrag einer komplexen Zahl wird mithilfe des Lehrsatzes nach Pythagoras bestimmt.

Welche bestimmten Formen gibt es?

Die kartesische Binominalform der komplexen Zahlen beschreibt den Abstand zur reellen und imaginären Achse.

Die Polarform (trigonometrische & exponentielle Form) beschreibt die Entfernung zum Ursprung und den Winkel zur reellen Achse

Der Winkel wird dabei auch als Phase oder Argument bezeichnet.

Gemäß Definition entspricht die →Addition komplexer Zahlen der →Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der Gauß´schen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform klarer wird.

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Exponentielles Wachstum, welches auch als unbegrenztes exponentielles Wachstum bezeichnet wird, liegt vor, wenn sich eine Größe in jeweils gleichen Zeitabschnitten (Perioden) immer um denselben Faktor verändert.

→Exponentielles Wachstum (unbegrenztes Wachstum) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess. Bei diesem verändern sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Zuwachsfaktor (a). Der Wert der Anfangsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall oder Abnahme).

Das Wachstum von Mikroorganismen wie beispielsweise Bakterien und Viren, Krebszellen und auch der Weltbevölkerung kann ohne begrenzende Faktoren theoretisch exponentiell steigen. Im Normalfall geht ein anfangs exponentielles Wachstum in ein logistisches Wachstum (mit Wachstumsschranke) über.

Was ist exponentiell?

Das Adjektiv exponentiell stammt aus dem Bereich der Mathematik und beschreibt eine prozentuale (nicht feste) Zunahme oder Abnahme eines Wertes pro Zeiteinheit.

Die exponentielle Zunahme wird auch als exponentielles Wachstum und die exponentielle Abnahme wird auch als exponentieller Zerfall bezeichnet. Es handelt sich um Prozesse, bei denen ein Anfangsbestand pro Zeiteinheit mit dem Faktor a vervielfacht wird.

Was ist die Halbwertszeit?

Die Halbwertszeit oder Halbwertzeit ist die Zeitspanne, nach der eine mit der Zeit abnehmende Größe die Hälfte des anfänglichen Werts erreicht. Folgt die Abnahme einem Exponentialgesetz, dann ist die Halbwertszeit immer die gleiche, auch wenn man die Restmenge, die nach einer beliebigen Zeit übrig ist, als neue Anfangsmenge nimmt. Bei exponentieller Abnahme charakterisiert daher die Halbwertszeit den zugrunde liegenden Prozess als solchen.

Exponentialfunktionen spielen in den Anwendungen eine große Rolle. Du benötigst diese, um beispielsweise Beschreibungen über Abkling-, Sättigungs- und Wachstumsprozessen zu berechnen. Auch in der Statistik sowie bei gedämpften Schwingungen spielen sie eine besondere Rolle.

Zu den Exponentialfunktionen gelangt man durch Verallgemeinerung des Begriffes der Potenz. →Die Potenzen sind dabei Ausdrücke vom Typ aⁿ. Wobei a die Grundzahl darstellt, die Basis, und n die Hochzahl oder der Exponent ist. Bei einer →Exponentialfunktion ist die Basis a fest, der Exponent dagegen variabel. Deshalb gilt hier auch ein Unterschied zur Potenzfunktion, bei der es sich genau umgekehrt verhält.

Um Grundkenntnisse zur Zinsrechnung zu erlangen, ist es wichtig vorab einige Grundbegriffe zu diesem Thema zu erlangen. Der Barwert beschreibt den Wert von zukünftigen Zahlungen abgezinst auf heute. Er wird verwendet, um Zahlungsströme mit unterschiedlicher Laufzeit und Zinssätzen vergleichbar zu machen. Mit dem Barwert lässt sich der Wert einer Investition auf einen bestimmten Zeitpunkt zurückrechnen. Unabhängig davon, ob dieser in der Gegenwart oder der Vergangenheit liegt.

Der →Endwert wird ebenfalls verwendet, um Investitionen vergleichbar zu machen. Doch anstatt zukünftige Zahlungsströme abzuzinsen, wird genau das Gegenteil gemacht. Der Wert einer Investition wird auf eine zukünftige Periode hochgerechnet.

Welche Begriffe sind noch wichtig bei der Zinsrechnung?

Unter der Zinsdauer, versteht man die Zinstage (Zinsjahre), die für die Berechnung der anfälligen Zinsen herangezogen werden. Ist die Zinsdauer, die zu berechnende Größe, wird sie mittels einer Umkehraufgabe ermittelt.

Als Zins bzw. Zinsen wird der Geldbetrag bezeichnet, mit dem ein Schuldner für geliehenes Kapital bezahlt. In diesem Sinne kann der Zins auch als Preis des Geldes bezeichnet werden. Die Höhe der Zinsen wird in Prozent gemessen und durch den Zinssatz angeben.

Der Zinseszins ist der zusätzliche Zins, der durch die eigentliche Verzinsung erwirtschaftet wird. Sofern man diese reinvestiert.

Das beschränkt sich aber nicht alleine auf die Zinsen bei Anleihen oder aber, wenn man ein Darlehen aufnimmt, auf den Kredit, bei dem der Gläubiger dann vom Zinseszins profitiert. Es kann auch um die Dividende bei Aktien gehen oder die bei Aktien oder anderen Investments erzielten Gewinne. Es geht beim →Zinseszins-Effekt letztlich immer um den Ertrag eines Investments und die Frage: Welchen Unterschied macht es, wenn ich diesen Ertrag nicht herausnehme, sondern umgehend wieder einsetze, sprich reinvestiere?

Unter einer Rente versteht man eine periodische Folge von Zahlungen. Werden die im Voraus vereinbarten Zahlungen nur ausgeführt, wenn am betreffenden Zahlungstermin eine oder mehrere bestimmte Personen noch am Leben sind, spricht man von Leibrenten. Diese sind Gegenstand der Versicherungsmathematik. Werden die vereinbarten Zahlungen unabhängig vom Leben der am Vertrag beteiligten Personen ausbezahlt, spricht man von Zeitrenten.

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Was ist der Barwert? Was ist der Endwert? Zinsdauer? Grundbegriffe aus der Zinsrechnung

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Viele mathematische Sachverhalte gelten nicht nur für bestimmte Zahlen, sondern sind auch allgemein gültig. Somit auch für variable und Terme. So kannst du zum Beispiel 5 + 4 auch in der Form 4 + 5 schreiben. Allgemein drückt man dies mithilfe von Buchstaben aus. Zum Beispiel x + y = y + x wobei x und y für beliebige Zahlen stehen, sozusagen für allgemeine Zahlen stehen. Derartige Buchstaben oder Zeichen heißen Variablen, weil sie für unterschiedliche Zahlen und Werte stehen. Für jede Variable sind jene Zahlen oder Werte anzugeben, die für sie eingesetzt werden dürfen.

Warum brauche ich Variablen?

Es ist dies die einfachste Weise, sich nicht von Vornherein auf bestimmte Zahlen festzulegen, sondern allgemeine Aussagen zu treffen. Da Variablen für Zahlen stehen, die jederzeit eingesetzt werden können, werden sie auch Platzhalter genannt – sie “halten den Platz“ für Zahlen frei. Ein Symbol, wie z.B. x soll für eine Zahl stehen – zunächst wollen wir uns aber nicht festlegen, für welche, und halten es deshalb „variabel“.

Rechenregeln können wir ganz einfach mit Variablen ausdrücken und diese haben allgemeine Gültigkeit. So ist es zum Beispiel wesentlich einfacher das Assoziativgesetz mit Variablen allgemein abzubilden, als mit reellen Zahlen: a + (b + c) = (a + b) + c

Dabei wird ein Ausdruck, der aus Variablen besteht und für den Zahlen eingesetzt werden können, Term genannt. Beispiele für Terme sind y, z + y und (-x), aber auch kompliziertere Ausdrücke wie a² + b²

Die Formulierung von Rechenregeln ist einer der Gründe für die Verwendung von Buchstaben (Variablen) in der Mathematik. Ein anderer besteht darin, kurze und kompakte Berechnungsvorschriften auszudrücken. Wenn du an die vielen, vielen Formeln in der Mathematik denkst, wird dir schnell klar das ohne Variablen diese Formeln nicht sinnvoll dargestellt werden können. So ist es auch wesentlich einfacher eine vorgegebene Formel, die ja meist aus Variablen besteht, viel leichter nach jeden Wert umzuformen, wenn du zunächst mit Variablen rechnest.

Was sind Terme?

Das korrekte mathematische Wort für einen ”Buchstaben-Ausdruck“ ist Term. Ein Beispiel für einen Term ist (a+b) −(a−b) oder 4 · x der Multiplikationspunkt darf hier zwischen der Variablen x und dem Zahlenwert 4 weg gelassen werden, somit kannst du einfach 4x schreiben. Zahlen die bei einer Variable stehen heißen Koeffizienten.

Ausgehend von den Begriffen Variable und Term können zahlreiche interessante, auch für Anwendungen wichtige mathematische Sachverhalte formuliert und neue Erkenntnisse gewonnen werden. Dazu ist es notwendig, →Terme unter Ausnutzung der grundlegenden Rechengesetze umzuformen, beispielsweise zu vereinfachen um diese dann effektiv für weitere Berechnungen zu verwenden.

Mathematische Gleichungen sind mit einer Waage, die im Gleichgewicht ist, verglichen werden. Wenn du auf beiden Seiten der Waage das gleiche Gewicht dazugibst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Auch wenn du auf beiden Seiten der Waage die Gewichte verdoppelst, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Wichtig ist, dass du auf beiden Seiten das Gleiche machst, sonst ist die Waage nicht mehr im Gleichgewicht.

Beim Lösen von mathematischen Gleichungen sollen auch immer auf beiden Seite des Gleichheitszeichens die gleichen Rechenschritte passieren.

Was sind Gleichungen?

Eine Gleichung mit einer Variablen (Unbekannten) ist eine Behauptung der Form Linke Seite = Rechte Seite. Wobei Linke Seite und Rechte Seite Terme darstellen, die von der Variable abhängen. Dabei steht die Variable für ein beliebiges Element einer Grundmenge G, die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein sollte. Ist die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so kannst du üblicherweise annehmen, daß sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist.

Eine Gleichung bleibt dabei wahr, wenn du beide Seiten (rechte Seite und linke Seite vom Gleichheitszeichen) miteinander vertauscht. werden. Auch wenn du beide Seiten der Gleichung entweder mit der gleichen Zahl addierst oder subtrahierst, bleibt sie gleich. Oder auch beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizierst oder durch die gleiche Zahl dividierst (bei einer Divsion darf die Zahl jedoch nicht Null sein).

Wie löse ich eine Gleichung?

Eine Gleichung lösen heißt, jenen Zahlenwert für die angegebene →Gleichungsvariable (a, b, x, y …) suchen, der die Gleichung erfüllt. Also jenen Wert errechnen, den du dann bei einer Probe statt der Variable in die Gleichung einsetzen kannst und die Gleichung eine wahre Aussage darstellt.

Wichtig dabei ist, dass du jeweils beide Seiten der Gleichung mit dem jeweiligen Rechenschritt bearbeitest. Also wenn du zum Beispiel die rechte Seite der Gleichung mit 2 multiplizierts, musst du auch die gesamte linke Seite mit 2 multiplizieren.

Die →Lösung der Gleichung ist ein Element x ∈ G, für welches die Behauptung Linke Seite = Rechte Seite eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und ist üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.